ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
৮  এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ২, ৪, ৮
১৫ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ৩, ৫, ১৫

৮ ও ১৫ এর সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১; অতএব ৮ ও ১৫ পরস্পর সহমৌলিক।
একইভাবে, ২১ ও ১৪৩ এর সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১; অতএব ২১ ও ১৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।
এবং ১০ ও ২১ এর সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১; অতএব ২১ ও ১৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।

১২৩১২৩৪৫৬ সংখ্যাটির শেষে ৬ থাকায় সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য
১২৩১২৩৪৫৬ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ২৭ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। তাই সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
১২৩১২৩৪৫৬ সংখ্যাটি ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় ৬ দ্বারাও বিভাজ্য
১২৩১২৩৪৫৬ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ২৭ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। তাই সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
সংখ্যাটির শেষ তিনটি অংক ৪, ৫ ও ৬ দ্বারা গঠিত ৪৫৬ সংখ্যাটি  ৮ দ্বারা বিভাজ্য। তাই সংখ্যাটি অবশ্যই ৮ দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব, ৪৫৫৪৬৩৪৫২, ৮৯৭৪৬৫০০০ ও ৯০৮৪৭৬৫৬৮ পূর্ণবর্গ নয়।
৬৩৬২৫০১৭৬ সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হতে পারে।
২৫২২৪ × ২৫২২৪ = ৬৩৬২৫০১৭৬ যা পূর্ণ বর্গ।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা হওয়ায় এদের গুণফলই নির্ণেয় লসাগু।
এদের গুণফল = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

২৭ = ৩ × ৩ × ৩
১১৭ = ৩ × ৩ × ১৩
১৭১ = ৩ × ৩ × ১৯

২৭, ১১৭ ও ১৭১ এর গ.সা.গু. = ৩ × ৩ = ৯

৫ ও ১ এর লসাগু হচ্ছে ৫।
৫ ও ১ এর গসাগু হচ্ছে ১
৫ এবং ১ এর লসাগু ও গসাগুর যোগফল = ৫ + ১ = ৬

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের লসাগু × সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু
সংখ্যাদ্বয়ের লসাগু × সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু = দুইটি সংখ্যার গুণফল
২৬ × সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু = ৬৫০
সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু = ৬৫০/২৬
সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু = ২৫

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু।
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
১৮৩ = ৩ × ৬১
৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু ৩।
সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৩।

আরিফের বয়স :  আকিবের বয়স = 5 : 3
20 বছর : আকিবের বয়স = 5 : 3
20 বছর/আকিবের বয়স = 5/3
আকিবের বয়স = 20 × 3/5 = 12 বছর
y বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 5 হলে, 
(y + 20)/(y + 12) = 7/5
7y + 84 = 5y + 100
2y = 16
y = 8
8 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 5 হবে।

a / x = (m² + n²) / 2mn
⇒ (a + x) / (a - x) = (m² + n² + 2mn) / ( (m² + n² - 2mn)
⇒ (a + x) / (a - x) = (m + n)² / ( (m - n)²
⇒ √(a + x) / √(a - x) = √(m + n)² / √(m - n)²
⇒ √(a + x) / √(a - x) = (m + n) / (m - n)