Math Master

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = ৩/৭

ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ২/৫

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৭) × (২/৫)
= ৬/৩৫

প্রশ্ন: U = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, A = {1, 5, 10} হলে, A^c =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
U = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 5, 10}

A^c = U - A 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 5, 10}
= {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

প্রশ্ন: যদি P(x) = 1 হয়, তাহলে x ঘটনাটি হলো- 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

∴ কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০

অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০

প্রশ্ন: ১৫, ২৮, ৩৫, ৪০, ১২, ৫৫, ২০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১২
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৫ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫৫ - ১২) + ১
= ৪৩ + ১
= ৪৪

প্রশ্ন: রাতুল ৭০% ক্ষেত্রে সত্য বলে এবং সুমন ২০% ক্ষেত্রে মিথ্যা বলে। একই ঘটনা বর্ণনা করার সময় তাদের একই উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
রাতুলের সত্য বলার সম্ভাবনা = ৭০% = ৭০/১০০ = ০.৭
∴ রাতুলের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.৭ = ০.৩

সুমনের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ২০% = ২০/১০০ = ০.২
∴ সুমনের সত্য বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.২ = ০.৮

∴ একই উত্তর পাওয়া যাবে-
দুইজনই সত্য বলার সম্ভাবনা = ০.৭ × ০.৮ = ০.৫৬
দুইজনই মিথ্যা বলার সম্ভাবনা =০.৩ × ০.২ = ০.০৬

∴ তাদের একইরকম উত্তর দেয়ার সম্ভাবনা = ০.৫৬ + ০.০৬ = ০.৬২

প্রশ্ন: A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25}
⇒ A = {5, 10, 15, 20, 25}

এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা = 5

∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁵ - 1
= 32 - 1
= 31

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 এর চেয়ে বড় হওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} = 10 টি

∴ যোগফল 8 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা​/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 10/36
= 5/18

প্রশ্নঃ 2, 8 এবং 32 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধানঃ
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড়
∴ 2, 8 এবং 32 এর জ্যামিতিক গড় = (2 × 8 × 32)1/3
= (512)^1/3
= (8³)^1/3
= 8

প্রশ্ন: A = {2, 3, 5, 7} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের উপাদান = 4 টি

আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তাঁর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট = 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15 টি

প্রশ্ন: ১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 

এখানে,
২ আছে ৪ বার এবং ৩ আছে ২ বার
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: একটি থলেতে 13 টি নীল বল, 7 টি সবুজ বল এবং 15 টি কালো বল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট বল আছে = (13 + 7 + 15) টি = 35 টি
সবুজ বল আছে = 7 টি

∴ বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 7/35
= 1/5

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/5)
= (5 - 1)/5
= 4/5

প্রশ্ন: ১৩, ৩২, ১৯, ৭, ১৭, ২৯, ৫, ২৭ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই: ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ২৭, ২৯, ৩২
যেহেতু মোট উপাত্ত আছে ৮টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(৮/২) তম পদ + {(৮/২) + ১} তম পদ]/২
= (৪র্থ পদ + ৫ম পদ)/২
= (১৭ + ১৯)/২
=৩৬/২
= ১৮

∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো = ১৮

প্রশ্ন: X ও Y দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(X) = 3/4, P(Y) = 2/5 হলে, P(X ∩ Y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(X) = 3/4
P(Y) = 2/5

আমরা জানি,
P(X ∩ Y) = P(A) × P(B)
= (3/4) × (2/5)
= 6/20
= 3/10

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা = 52
মোট টেক্কার অনুকূল ঘটনা = 4

∴  তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা  = 4/52 = 1/13

প্রশ্ন: 3, 2 এবং 5 দ্বারা সম্ভাব্য সকল সংখ্যা গঠন করে যেকোন একটি সংখ্যা দৈবভাবে চয়ন করলে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
3, 2 এবং 5 এই তিনটি সংখ্যা দ্বারা সংখ্যা গঠন করা যায় = 3! = 6

শেষে 5 কে স্থির রেখে বাকি 2টি সংখ্যাকে সাজানো যায় = 2! = 2

সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা= 2/6 = 1/3

প্রশ্ন: P = {a, b, c, d}, Q = {d, e} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {a, b, c, d}
Q = {d, e}

∴ R = P ∩ Q
= {a, b, c, d} ∩ {d, e}
= {d}

এখন,
R × Q = {d} × {d, e}
= {(d, d), (d, e)}