Math Master

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6 ,7, 8}
এবং,
B = {x ∈ N: x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
= {2, 4 , 6, 8, 10}

∴ A ∩ B = {3, 4, 5, 6 ,7, 8} ∩ {2, 4 , 6, 8, 10}
= {4, 6, 8}

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {4, 6, 8}

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 1990 সালের জুলাই মাসের দ্বিতীয় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 4 দিন। ঐ সপ্তাহে মঙ্গলবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
জুলাই মাসের দ্বিতীয় সপ্তাহে যেকোনো দিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7

যেকোনো দিন বৃষ্টি হওয়া মানে মঙ্গলবার ও হতে পারে।
তাই আমরা বলতে পারি , ঐ সপ্তাহের মঙ্গলবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7

∴ মঙ্গলবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (4/7)
= (7 - 4)/7
= 3/7

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
9 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি

∴ যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?


সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে, U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c, d}
B = {c, d, e, f}

এখন, A ∩ B = {a, b, c, d} ∩ {c, d, e, f}
= {c, d}

(A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)= {a, b, c, d, e, f} - {c, d}
= {a, b, e, f}

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ১২টি কমলা, ১৬টি আপেল এবং ২৪টি পেয়ারা আছে। দৈব্যভাবে একটি ফল নেওয়া হলে ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট ফল আছে = ১২ + ১৬ + ২৪ = ৫২ টি
কমলা আছে = ১২টি

ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/৫২ = ৩/১৩

∴ ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১৩)
= (১৩ - ৩)/১৩
= ১০/১৩

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, কমপক্ষে দুইটি Tale আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ৮টি
অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ৪ টি {HTT, THT, TTH, TTT}

∴ সম্ভাবনা = ৪/৮
= ১/২

প্রশ্ন: ৭২ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৭২ = ২ × ২ × ২× ৩ × ৩ 
∴ ২, ২, ২ ৩ ও ৩ এর প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16} হলে, Q এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}
⇒ Q = {4, 8, 12, 16}

∴ Q এর উপাদান সংখ্যা = 4

অতএব, Q এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৪) = ৩/৪
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৬)= ৫/৬

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= (৩/৪) × (৫/৬)
= ৫/৮

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (৫/৮)
= ৩/৮

প্রশ্ন: x = {2, 3} হলে, P(x) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = {2, 3}

∴ P (x) = {{2}, {3}, {2, 3}, ∅}

∴ P (x) এর উপাদান সংখ্যা 4টি

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি রাজা বা রাণী বা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি,
রাজা = ৪টি, রানী = ৪টি, টেক্কা = ৪টি
∴ তাসটি রাজা বা রানী বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪ + ৪ + ৪) / ৫২
= ১২/৫২
= ৩/১৩

∴ তাসটি রাজা বা রাণী বা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১৩)
= (১৩ - ৩)/১৩
= ১০/১৩

প্রশ্ন: ৩০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

৩০ এর উৎপাদক সমূহ = {১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০}
∴ ৩০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট = {২, ৩, ৫}

অতএব, ৩০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহ হলো {২, ৩, ৫}

প্রশ্ন: ৯টি কাগজের টুকরায় ১ থেকে ৯ পর্যন্ত ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো লেখার পর একটি ঝুড়িতে রাখা হলো। যদি ঝুড়ি থেকে একটি কাগজ দৈব্যভাবে তোলা হয় , তাহলে কাগজটিতে জোর নাম্বার থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৯ টি
এদের মধ্যে জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮
মোট সংখ্যা = ৪ টি

সুতরাং, দৈব্যভাবে জোর সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা = ৪/৯

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 88 জন বাংলায়, 80 জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:

ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।
উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B∩M, যার সদস্য সংখ্যা 70

P = শুধু বাংলায় পাশ করেছে = ৪৪ – 70 = 18 জন
R = শুধু গণিতে পাশ করেছে = 80 – 70 = 10 জন
যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, P∪Q∪R = 18 + 10 + 70 = 98

∴F = উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = 100 – 98 = 2 জন

প্রশ্ন: X ও Y দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(X) = 2/3, P(Y) = 3/4 হলে, P(X ∩ Y) এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
P(X ∩ Y) = P(A) × P(B)
= (2/3) × (3/4)
= 1/2

প্রশ্ন: একজন লোকের ঢাকা থেকে কুমিল্লায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫ এবং কুমিল্লা থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৮। কুমিল্লায় বাসে এবং চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কুমিল্লায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫
চট্রগ্রামে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৮
চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৮)
= ৩/৮

∴ কুমিল্লায় বাসে এবং চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৫) × (৩/৮)
= ৩/১০

প্রশ্ন: ১৪, ২২, ৯, ১৭, ১১, ১৯ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই, ৯, ১১, ১৪, ১৭, ১৯, ২২

যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে, তাই মধ্যক হবে মাঝের দুটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (১৪ + ১৭)/২
=৩১/২
= ১৫.৫

অতএব, ১৪, ২২, ৯, ১৭, ১১, ১৯ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ১৫.৫।

প্রশ্ন: যদি p(A) = 1 হয়, তাহলে A ঘটনাটি কী ঘটনা?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০।
অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০।

∴ A ঘটনাটি একটি নিশ্চিত ঘটনা।

প্রশ্ন: ৪ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।

৪ এর গুণিতকসমূহ = ৪, ৮, ১৬, ২৪, ৩২, . . . ইত্যাদি
∴ ৪ এর গুণিতকের সেট = {৪, ৮, ১৬, ২৪, ৩২, . . . }

অর্থাৎ, ৪ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।