ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: যদি দুইটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তবে ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো কেমন হয়?

সমাধান:

যখন দুটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তখন তারা একটি ছেদবিন্দুতে চারটি কোণ তৈরি করে। এই কোণগুলোর মধ্যে বিপরীত দিকে মুখ করা কোণগুলোকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

এই বিপ্রতীপ কোণগুলো সবসময় সমান হয়।

প্রশ্ন: 315° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ 180° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই 315° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: দুটি টায়ারের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 2। ছোট টায়ারের (বৃত্তাকার) ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গ সে. মি. হলে বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?

সমাধান:
টায়ারের ক্ষেত্রফল বলতে এখানে বৃত্তাকার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে,

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ধরি, ছোট টায়ারের ব্যাসার্ধ = r সে. মি.
বড় টায়ারের ব্যাসার্ধ = 2r সে. মি. (অনুপাত 1 : 2)।

∴ ছোট টায়ারের ক্ষেত্রফল, πr² = 200 বর্গ সে. মি.

∴ বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2r)² = 4πr² = 4 × 200 = 800 বর্গ সে. মি.

সুতরাং, বড় টায়ারের ক্ষেত্রফল 800 বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: 5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল। 
5x - 2y + 8 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = 5x + 8
∴ y = (5/2)x + 4  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 5/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল, 
2x + 5y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 5y = - 2x + 10  
⇒ y = - (2/5)x + (10/5)
∴ y = - (2/5)x + 2
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - (2/5)

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂
= (5/2) × (- 2/5) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের অনুপাত 2 : 3 হলে, মূল কোণটি কত?

সমাধান:
মনে করি, 
মূল কোণ = 2x
পূরক কোণ = 3x

আমরা জানি,
একটি কোণ ও তার পূরক কোণের যোগফল = 90°
⇒ 2x + 3x = 90° 
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 90°/5
∴ x = 18°

∴ মূল কোণ = 2x = 2 × 18° = 36°

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের কোণসমূহের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ : ৯ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণসমূহের অনুপাত = ৩ : ৫ : ৭ : ৯
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৪

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
মনে করি,  প্রতি অংশের মান = x°

প্রশ্ন অনুসারে, 
৩x° + ৫x° + ৭x° + ৯x° = ৩৬০°
⇒ ২৪x° = ৩৬০°
⇒ x° = ৩৬০°/২৪
∴ x = ১৫°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ × ১৫° = ৪৫°
এবং বৃহত্তম কোণ = ৯ × ১৫° = ১৩৫°

∴ অন্তর = বৃহত্তম কোণ - ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৩৫° - ৪৫° = ৯০°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর = ৯০°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সেন্টিমিটার। 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা তার ভূমির ১/৩ অংশ হলে উচ্চতা কত? 

সমাধান:
ধরি, 
ভূমি = b মিটার
উচ্চতা, h = b/৩ মিটার

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
১৯২ = b × (b/৩) 
⇒ b^২/৩ = ১৯২
⇒ b^২ = ১৯২ × ৩ 
⇒ b^২ = ৫৭৬ 
⇒ b = √৫৭৬ 
∴ b = ২৪ মিটার

∴ উচ্চতা, h = ২৪/৩ = ৮ মিটার

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = (6 × 2) = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√2 × x = 12
⇒ x = 12/√2

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (12/√2)² বর্গ সে.মি.
= 144/2 বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
 পরিধিস্থ কোণ = 47.5°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
= 2 × 47.5°
= 95°
 
সুতরাং কেন্দ্রঃস্থ কোণ 95°। 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা 27 সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:
​
​
দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = 27
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (2/3) × 27 = 18 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৭৫ বর্গসেন্টিমিটার এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৫ সেন্টিমিটার। অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল ১৭৫ বর্গসেন্টিমিটার
একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = ২৫ সেন্টিমিটার
অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য, d₂ = ? 

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
১৭৫ = (১/২) × ২৫ × d₂
⇒ ২৫ × d₂ = ৩৫০ 
⇒ d₂ = ৩৫০/২৫
⇒ d₂ = ১৪ 
∴ d₂ = ১৪ 

অতএব, অন্য কর্ণটির দৈর্ঘ্য ১৪ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 88 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 88 সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
2πr = 88
⇒ r = 88/2π
⇒ r = 88/{2 × (22/7)}
⇒ r = (88 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 14

অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত একক? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ একক
এবং সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
⇒ 150 = (1/2) × 25 × অপর বাহু 
⇒ 25 × অপর বাহু = 300 
⇒ অপর বাহু = 300/25 
∴ অপর বাহু = 12 একক 

সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 একক

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। আবার দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের মূল দৈর্ঘ্য l মিটার এবং মূল প্রস্থ w মিটার।
∴ মূল ক্ষেত্রফল = (l × w) বর্গ মিটার 

দেওয়া আছে,
প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে (নতুন প্রস্থ = w + ১০) ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ l × (w + ১০) = Iw + ৩০০
⇒ Iw + ১০l = Iw + ৩০০
⇒ ১০l = ৩০০
∴  l = ৩০ মিটার

আবার, 
দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে (নতুন দৈর্ঘ্য = l + ১৫) ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ (l + ১৫) × w = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w + lw = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w = ৪৫০
∴ w = ৩০ মিটার
∴ মূল ক্ষেত্রফল = l × w = ৩০ × ৩০ = ৯০০ বর্গমিটার

সুতরাং, মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ৯০০ বর্গমিটার।