নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: 52 খানা তাসের মধ্য হতে 1টি তাস দৈবভাবে উঠানো হলে, তাসটির লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52 খানা তাসের মধ্যে,
লাল তাস থাকে = 26টি
কালো তাস থাকে = 26টি

টেক্কা মোট 4টি;
যার মধ্যে লাল টেক্কা 2টি
কালো টেক্কা 2টি

∴ লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা = 2/52 = 1/26

প্রশ্ন: A = {1, 3, 4, 5, 6} হলে প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে, প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 5
∴ প্রদত্ত সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2⁵ - 1
= 31

প্রশ্ন: “EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“Equation" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃
= 336

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?


সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে, 
U = {1, 2, 3, 4, 6}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}

এখন, A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 4, 6}
= {2, 4}
(A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 6} - {2, 4}
= {1, 3, 6}

প্রশ্ন: 30 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
30 এর উৎপাদকগুলো হল {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
মৌলিক উৎপাদক গুলো হলো = {2, 3, 5}

প্রশ্ন: ৮ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৩ জন বালক ও ৩ জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
8 জন বালক হতে প্রতিবারে 3 জন বালক বেছে নেয়া যায় = ⁸C₃ = 56 উপায়ে
8 জন বালিকা হতে প্রতিবারে 3 জন বালিকা বেছে নেয়া যায় = ⁶C₃ = 20 উপায়ে

∴ মোট বেছে নেয়া যায় = 56 × 20
= 1120

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2015 সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 4 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2015 সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 4 দিন।

বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 4/7
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 4/7)
=(7 - 4)/7
= 3/7

প্রশ্ন: ‍যদি a + b = c হয়, তবে a, b ও c এর গড় কত?

সমাধান:
a, b ও c এর গড় = (a + b + c)/3
= (c + c)/3  [a + b = c]
= 2c/3

প্রশ্ন: P = {a, b}, Q = {b, c} এবং R = {3, 4} হলে (P ∩ Q) ∪ R এর উপাদান সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
এখন, P ∩ Q = {a, b} ∩ {b, c}
= {b}
(P ∩ Q) ∪ R = {b} ∪ {3, 4}
= {b, 3, 4}

∴ (P ∩ Q) ∪ R এর উপাদান সংখ্যা 3টি।

প্রশ্ন: 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
2 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4) × (n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে কালো বল 10টি, লাল বল 18টি এবং সাদা বল আছে 20টি। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে = (10 + 18 + 20) টি
= 48টি
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 20/48
= 5/12

বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/12)
= 7/12

প্রশ্ন: ৫, ৬, ৭, ৯, ১০, ১৫, ৯, ৭, ১১, ৬, ৯ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে ৯ সবচেয়ে বেশি বার অর্থাৎ তিনবার আছে।
তাই প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ৯।

প্রশ্ন: উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য নিম্নের কোনটি?

সমাধান:
* উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে পরিসর বলে।
* সাধারণত কোনো চলকের যে মানটি সবচেয়ে বেশিবার উপস্থাপিত হয়, তাকে বলা হয় প্রচুরক।
* শ্রেণির উচ্চ সীমা ও নিম্ন সীমার যোগফলকে ২ দ্বারা ভাগ করে শ্রেণি মধ্যমান পাওয়া যায়।
* কোন শ্রেণিতে প্রকৃত উচ্চ সীমা ও নিম্ন সীমার পার্থক্য বলে শ্রেণি ব্যবধান।

প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720

প্রশ্ন: 12 টি বই হতে 4টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যেখানে 1টি নির্দিষ্ট বই সর্বদাই অন্তভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
12 টি বই হতে 4টি বই বাছাই করা যাবে যেখানে 1টি বই সর্বদা অন্তভুক্ত থাকবে এরুপ বাছাই সংখ্যা = ^{12 - 1}C_{4 - 1}
= ¹¹C₃
= 165

প্রশ্ন: ১৯৯৬ সালে ফেব্রুয়ারী মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৪৫ সে.মি.। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

সমাধান:
১৯৯৬ সাল ৪ দ্বারা বিভাজ্য। তাই ১৯৯৬ Leap year.
Leap Year এ ফেব্রুয়ারী মাস ২৯ দিনে হয়।

∴ ঐ মাসে মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (২৯ × ০.৪৫)  সে.মি.
= ১৩.০৫ সে.মি.

প্রশ্ন: সৈয়দপুর থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 576 কি.মি.। চট্টগ্রাম হতে একটি ট্রেন ভোর 6 টায় ছেড়ে দুপুর 2 টায় সৈয়দপুর পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সৈয়দপুর থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 576 কি.মি.
ট্রেনটি ভোর 6 টায় ছেড়ে দুপুর 2 টায় পৌঁছে।
∴ মোট সময় = 8 ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= 576/8 কি.মি./ঘণ্টা
= 72 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: “ADMISSION" শব্দটির A ও D কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
“ADMISSION" শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 9টি
যার মধ্যে 2টি I এবং 2টি S বিদ্যমান।

A ও D কে বাদ দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = 1260
আবার, 
A ও D কে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 2! = 2

∴ মোট সাজানো সংখ্যা = (1260 × 2)
= 2520

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 18 ও 30 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, 
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6
18 এর গুণনীয়কগুলো 1, 2, 3, 6, 9, 18
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

আবার,
30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6
30 এর গুণনীয়কগুলো 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
∴ B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} ∩ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
= {1, 2, 3, 6}

প্রশ্ন: একটি কলেজের অধ্যাপকের 3টি খালি পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 12 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹²C₁ = 12
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹²C₂ = 66
3 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹²C₃ = 220

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 12 + 66 + 220
= 298

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = কত?

সমাধান:
এখানে, P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
12 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12}
3 এর গুনিতক 3, 6, 9, 12, ....
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

∴ P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

প্রশ্ন: ৫, ৭, ৮ এবং a এর গড় মান ৬.৫ হলে a এর মান কত?

সমাধান:
৫, ৭, ৮ এবং a এর সমষ্টি = (৬.৫ × ৪) = ২৬
৫, ৭, ৮ এর সমষ্টি = (৫ + ৭ + ৮) = ২০

a এর মান = (২৬ - ২০) = ৬

প্রশ্ন: "MILLENNIUM" শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?

সমাধান:
"MILLENNIUM" শব্দটিতে 10টি অক্ষর আছে।
তন্মধ্যে 2টি M, 2টি L এবং ২টি N আছে।
প্রথমে ও শেষে M থাকবে এরুপে সাজানো সংখ্যা = 8!/(2! 2! 2!)
= 5040