১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: n একটি জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
২ দ্বারা কোন সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল জোড় সংখ্যা হয়। 
তাই, 2(5n + 3) ও 2(5n + 2) জোড় সংখ্যা। 

এখন, 
n জোড় বলে 5n জোড় হবে, তাহলে (5n + 2)ও জোড় হবে। 

∴ 5n + 3 সংখ্যাটি n এর সকল মানের জন্য বিজোড় হবে। 

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ : ৫। তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ২ক, ৩ক ও ৫ক 
∴ তাদের ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ক = ৩০ক 

প্রশ্নমতে, 
৩০ক = ২৪০০ 
∴ ক = ৮০ 
সুতরাং সংখ্যা তিনটি হলো- 
২× ৮০=১৬০, 
৩× ৮০=২৪০, 
৫× ৮০=৪০০ 
∴ ১৬০, ২৪০ এর ৪০০ এর গ.সা.গু = ৮০ ।

প্রশ্ন: ৩ : ২ এবং ৮ : ৫ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি? 

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: 
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে। 

সুতরাং,
৩ : ২ এবং ৮ : ৫ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো- 
(৩ × ৮) : (২ × ৫) 
= ২৪ : ১০ 
= ১২ : ৫ ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: 
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। 
যেমন- √2, √3, √5, √10 ইত্যাদি। 

মূলদ সংখ্যা: 
- যেসকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q≠0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। 
• ৫/৩ ⇒  সকল সাধারণ ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। 
• √৪ এবং √৯ = ২ এবং ৩ ⇒ সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যা বা সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কতজন বালকের মধ্যে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়? 

সমাধান: 
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু 
১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু = ৫
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে। 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১ : ৪। পুত্রের বয়স ১৬ হলে পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত = ১১ : ৪

ধরি, 
পিতার বয়স = ১১ক 
পুত্রের বয়স = ৪ক

প্রশ্নমতে, 
৪ক = ১৬ 
⇒ ক = ১৬/৪ 
∴ ক = ৪ 

∴ পিতার বয়স = (১১ × ৪) বছর 
= ৪৪ বছর । 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ৬ × ৩৫ 
= ২১০ ।

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যেটি ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৫, ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
৩০)১০০( ৩
        ৯০
__________________
         ১০
∴ তিন অঙ্কের ক্ষুদতম সংখ্যাটি = ১০০ + (৩০ - ১০)
= ১২০ । 

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ৩৬ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = ৯ 
৩য় রাশি = ৩৬ 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ৩৬ 
⇒ মধ্য রাশি = √৩২৪
∴ মধ্য রাশি = ১৮

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১ হলে, বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রমিক সংখ্যা দুইটি = ক এবং (ক + ১) 

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১ 
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১ 
⇒ ২ক = ৪১ - ১ 
⇒ ২ক = ৪০ 
∴ ক = ২০ 

∴ বৃহত্তর সংখ্যাটি = ২১ ।

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ড্রিল করার সময় ছাত্রদের ৮, ১০ এবং ১৫ সারিতে সাজানো হয়। ঐ স্কুলে ন্যূনতম কতজন ছাত্র রয়েছে? 

সমাধান: 
৮, ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু হবে ন্যূনতম ছাত্র সংখ্যা। 
৮, ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ১২০ 

∴ ন্যূনতম ১২০ জন ছাত্র রয়েছে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০ : ১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
ধরি, 
ব্যক্তির আয় = ২০x টাকা
ব্যক্তির ব্যয় =১৫x টাকা 
∴ সঞ্চয় = (২০x - ১৫x) টাকা
= ৫x টাকা 
∴ সঞ্চয় আয়ের শতকরা = {(৫x/২০x) × ১০০}%
= ২৫%

∴ তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা ২৫%।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫৬০ থেকে যত কম ৩৮০ থেকে তার সাড়ে তিনগুণ বেশি। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি ৫৬০ থেকে ক কম এবং 
৩৮০ থেকে ৩.৫ক বেশি

প্রশ্নমতে, 
৫৬০ - ক = ৩৮০ + ৩.৫ক 
⇒ ৪.৫ক = ৫৬০ - ৩৮০ 
⇒ ক = ১৮০/৪.৫ 
⇒ ক = ৪০ 

∴ সংখ্যাটি = (৫৬০ - ৪০)
= ৫২০ ।

প্রশ্ন: ৩/৫, ১/৪, ২/৩ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
৩, ১, ২ এর  ল.সা.গু = ৬ 
৫, ৪, ৩ এর গ.সা.গু = ১ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ৬/১ 
= ৬ । 

প্রশ্ন: ১৩০ টাকা ১/২ : ১/৩ : ১/৪ অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম জন কত টাকা পাবে? 

সমাধান: 
এখানে,
ভগ্নাংশের হরগুলোর ল.সা.গু = ১২ 

এখন, 
(১/২) × ১২ : (১/৩) × ১২ : (১/৪) × ১২
বা, ৬ : ৪ : ৩ 
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ৬ + ৪ + ৩ 
= ১৩ 

∴ প্রথম জন পায় = ১৩০ × ৬/১৩
= ৬০ টাকা । 

প্রশ্ন: ছয়টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল 27 হলে, শেষ তিনটির যোগফল - 

সমাধান: 
ধরি, 
ছয়টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 1 + x + 2 = 27 
বা, 3x + 3 = 27 
বা, 3x = 24 
∴ x = 8 

∴ শেষ তিনটির যোগফল = x + 3 + x + 4 + x + 5 
= 3x + 12 
= (3 × 8) + 12 
= 24 + 12 
= 36

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩০৭২ এবং ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু 
∴ গ.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/ল.সা.গু 
বা, গ.সা.গু = ৩০৭২/৯৬
∴ গ.সা.গু = ৩২ । 

প্রশ্ন: ৯০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত = ৭ : ৩
∴ অনুপাতের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
মিশ্রণে কেরোসিনের পরিমাণ = ৯০ এর ৭/১০ লিটার 
= ৬৩ লিটার 
আবার, 
মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = ৯০ এর ৩/১০ লিটার 
= ২৭ লিটার 

ধরি, 
ক লিটার পেট্রোল মিশাতে হবে। 

প্রশ্নমতে, 
৬৩ : (২৭ + ক) = ৩ : ৭ 
বা, ৬৩/(২৭ + ক) = ৩/৭ 
বা, ৮১ + ৩ক = ৪৪১ 
বা, ৩ক = ৪৪১ - ৮১ 
বা, ৩ক = ৩৬০ 
বা, ক = ৩৬০/৩  
∴ ক = ১২০ লিটার।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ । 

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৪ : ৭ 
= (৪ × ৫) : (৭ × ৫) 
= ২০ : ৩৫ 

আবার, 
খ : গ = ৫ : ৭ 
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭) 
= ৩৫ : ৪৯ 

∴ ক : খ : গ = ২০ : ৩৫ : ৪৯ ।

প্রশ্ন: কোনটি মৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। 
যথা - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭। 

∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৬, ১১০ এবং ১৬৫ বিভাজ্য? 

সমাধান: 
যে বৃহত্তম সংখ্যার দ্বারা ৬৬, ১১০ ও ১৬৫ বিভাজ্য সেটি হবে ৬৬, ১১০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু এর সমান 
∴ ৬৬, ১১০ ও ১৬৫  এর গ.সা.গু হলো = ১১ 
∴ সংখ্যাটি = ১১ । 

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৩ : ৭। স্কুলে মোট ছাত্র ছাত্রীর সংখ্যা ১৫০ হলে, ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ছাত্র ছাত্রীর অনুপাত = ৩ : ৭

ধরি,
ছাত্রের সংখ্যা = ৩ক
ছাত্রীর সংখ্যা = ৭ক

প্রশ্নমতে, 
৩ক + ৭ক = ১৫০ 
বা, ১০ক = ১৫০
∴ ক = ১৫

∴ ছাত্রের সংখ্যা = (৩ × ১৫) জন 
= ৪৫ জন ।

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩, ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল কত? 

সমাধান: 
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০ 
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৪ 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল = (৪৩২১০ + ১০২৩৪) 
= ৫৩৪৪৪ ।