Math Master

একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক
অতএব, ক্ষেত্রফল
= √3/4 × (2a)² বর্গ একক
=  √3/4 × 4a² বর্গ একক
= √3a² বর্গ একক

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50√5 বর্গ একক ও প্রস্থ 10 একক
অতএব, দৈর্ঘ্য = 50√5 বর্গ একক/10 একক = 5√5 একক
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(5√5)² + (10)²} একক = √(125 + 100} একক = 15 একক

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি হলে,
ঐ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √16 সেমি = 4 সেমি
ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 সেমি 

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 4² বর্গ সেমি = 16π বর্গ সেমি
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4 × 2 সেমি = 8 সেমি 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 8/√2 সেমি = 4√2 সেমি 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (4√2)² বর্গ সেমি = 32 বর্গ সেমি 
নির্ণেয় আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = (16π - 32) বর্গ সেমি 

PQR ত্রিভুজের মধ্যমা PS হলে, PQS ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ÷ 2
= n/2

ত্রিভুজটির নির্ণেয় ক্ষেত্রফল
= ১/২ × ২৪ × ২৪ বর্গ সেমি
= ২৮৮ বর্গ সেমি 

[ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ব্যতীত যেকোন এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি হলে, লম্ব = ভূমি = ২৪ সেমি ]

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= (ভূমির দৈর্ঘ্য/4)√{ 4 × (সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য )² - (ভূমির দৈর্ঘ্য)²}
= (4/4)√{ 4 × (5 )² - (4)²}
= √84 বর্গ সেমি 
= 2√21 বর্গ সেমি 

কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 সেমি হলে,
উক্ত ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= 24/3 সেমি
= 8 সেমি 
উক্ত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)² বর্গ একক
= (√3/4) × (8)² বর্গ সেমি
= 16√3 বর্গ সেমি 

প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য  a মিটার হলে, ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² বর্গ মিটার
বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 4) মিটার
অতএব, ক্ষেত্রফল = √3/4 × (a + 4)² বর্গ মিটার

√3/4 × (a + 4)² - √3/4 × a² = 12
⇒ √3/4{(a + 4)² - a²} = 12
⇒ {(a + 4)² - a²} = 12 × 4/√3 = 16√3
⇒ a² + 8a + 16 - a² = 16√3
⇒ 8a = 16√3 - 16
⇒ a = 16(√3 - 1)/8 
⇒ a = 2(√3 - 1) = 2 × 0.732 = 1.46 সেমি 

CAE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (CAD + CDE) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (72/3 + 72/3) বর্গ সেমি 
= 48 বর্গ সেমি
[ CD, CE, CF মধ্যমা হওয়ায় প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হবে ]

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 42/2 = 21 সেমি
ক্ষেত্রফল = π × 21² বর্গ সেমি = 441π সেমি

গোলকের ব্যাসার্ধ = 6/2 = 3 সেমি 
গোলকের আয়তন = 4/3 × π × 3³ = 36π ঘন সেমি

একটি ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে,
আয়তন = 4³ ঘন একক
= 64 ঘন একক 

ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল
= 1/2 × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব 
= 1/2 × (12 + 18) × 6
= 1/2 × 30 × 6
= 90 বর্গ সেমি

মনে করি, মিনারের পাদবিন্দু থেকে ভূতলের ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব x মি
tan45° = 12/x
⇒ 1 = 12/x
⇒ x = 12 সেমি

tanθ অসংজ্ঞায়িত যখন θ সমকোণ 
tan90°
= sin90°/cos90°
= 1/0
= অসংজ্ঞায়িত

সাধারণ উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধ h ও r একক হলে, 
কোণকের আয়তন = 1/3 × π × r³ ঘন একক 
অর্ধ গোলকের আয়তন = 1/2 × (4/3 × π × r³) ঘন একক 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr³ ঘন একক 
নির্ণেয় অনুপাত
= 1/3 × π × r³ : 1/2 × (4/3 × π × r³) : πr³
= 1/3 : 2/3 : 1
= 1 : 2 : 3