Math Master

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহুর সংখ্যা n = ৬

আমরা জানি,
অন্তস্থ কোণ θ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/৬)
= ১৮০° - ৬০°
= ১২০°

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 4 : 6 : 7 : 9 : 10 হলে, পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 540°

প্রদত্ত অনুপাত = 4 : 6 : 7 : 9 : 10
অনুপাতের যোগফল = 4 + 6 + 7 + 9 + 10 = 36

∴ ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ = {540° এর (4/36)} = 60°
∴ বৃহত্তম অন্তঃস্থ = {540° এর (10/36)} = 150°

∴ পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য = (150° - 60°) = 90°

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৫ হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = ৪ : ৫

ধরি,
১ম বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ একক
∴ ১ম বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৪)^২ বর্গ একক
= ১৬π বর্গ একক

এবং
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৫ একক
∴ ২য় বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৫)^২ বর্গ একক
= ২৫π বর্গ একক

দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = ১৬π : ২৫π
= ১৬ : ২৫

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ১০% কমালে
নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ৩০%
= ১০ - ৩
= ৭

তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(৭)^২ = ৪৯π

∴ ক্ষেত্রফল কমে=  ১০০π - ৪৯π
= ৫১π

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = {(৫১π/১০০π) × ১০০}%
= ৫১%

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটিতে মোট কয়টি বাহু আছে?

সমাধান:
ধরি,
বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ”ক”
∴ বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫°

আমরা জানি,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে, বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ৯০°/২
= ৪৫°

প্রশ্ন: ৩০ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৯ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৯ সেমি
ব্যাস = ৩০ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ OB = ৩০ ÷ ২ = ১৫ সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য CB = √ {(ব্যাসার্ধ)^২ - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)^২}
= √{(১৫)^২ - (৯)^২}
= √(২২৫ - ৮১)
= √১৪৪
= ১২

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = ১২ × ২ = ২৪ সেমি

প্রশ্ন: একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের একটি বহিস্থ কোণ = ৩৬০/বাহু সংখ্যা,
∴ বহিস্থ কোণ = ৩৬০/১০ = ৩৬°

∴ অন্তস্থ কোণ হবে = ১৮০° - ৩৬°
= ১৪৪° [যেহেতু ১টি অন্তস্থ কোণ ও ১টি বহিস্থ কোণ = ১৮০]

এখানে, ১৪৪° কোণ হলো স্থুলকোণ।

∴ একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে স্থুলকোণ।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ২৪০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ২৪০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ২৪০/৬০ বার
= ৪ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ৪ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০× ৪) ডিগ্রি
=১৪৪০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তকোণ গুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n-2) × 180°

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯- ২) × ১৮০°
= ৭ × ১৮০°
= ১২৬০°
= ১২৬০°/ ৯০° সমকোণ
= ১৪ সমকোণ

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অন্তস্থ চতুভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°

∴ ABCD চতুভুজের 
∠A + ∠D = 180°
⇒ ∠A + 100° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 100°
∴ ∠A = 80°

আবার,
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখানে,
BDC চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠A = 80°
BDC চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = x

∴ BDC চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠x = 80° × 2
∴ ∠x = 160°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১২ সেমি এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের, ব্যাস = ১২ সে.মি.
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ =৬ সে.মি 
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি

যেহেতু, বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করে
∴ বৃত্ত দুইটি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ব
= (৬ + 8) সেমি
= ১০ সেমি

প্রশ্ন: 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সেমি দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সেমি?

সমাধান:

ব্যাসার্ধ OB = 3 সেমি
কেন্দ্র হতে বিন্দু C এর দূরত্ব OC = 5 সেমি

এখানে,
OB লম্ব CB

∴  OCB ত্রিভুজ এর জন্য পিথাগোরাসের সূত্র হতে পাই,
OB² + CB² = OC²
⇒ (3)² + CB² = (5)²
⇒ CB² = 25 - 9
⇒ CB² = 16
∴ CB = 4

∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = 4 সেমি

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রে 360° কোণ উৎপন্ন হয়।

∴ অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = 360° ÷ 2
= 180°