Math Master

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

সমাধান:
a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
⇒ x = (a + b)(a - b)/(a - b)
∴ x = a + b

প্রশ্ন:  এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
x - 4 = (x - 4)/x
⇒ x² - 4x = x - 4
⇒ x² - 5x + 4 = 0
⇒ x² - x - 4x + 4 = 0
⇒ x(x - 1) - 4(x - 1) = 0
⇒ (x - 1) (x - 4) = 0

হয়, 
x - 1 = 0
বা, x = 1

অথবা,
x - 4 = 0
বা, x = 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1, 4}

প্রশ্ন: 3x² - x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 3x² - x + 5 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = - 1, c = 5

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 1)² - 4 . 3 . 5
= 1 - 60
= - 59 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 তাই মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হয়।

b² - 4ac < 0 হলে, মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হয়।
b² - 4ac > 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
b² - 4ac = 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হয়।

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে (x - 10) এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6 + 3) = (x/3 + 10)
⇒ 5x/6 - x/3 = 10 - 3
⇒ (5x - 2x)/6 = 7
⇒ 3x = 42
⇒ x = 14
⇒ x - 10 = 14 - 10
∴ x - 10 = 4

প্রশ্ন: যদি 2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y = 8 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 7 ................... (1)
5x - 2y = 8 .................... (2)

(1) × 2 + (2) × 3 হতে পাই,
4x + 6y = 14
15x - 6y = 24
19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
2 . 2 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

প্রশ্ন: y যদি x এর চেয়ে বড় হয় তবে 1/x এর চেয়ে 1/y কী?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
x < y
1/x > 1/y

∴ 1/x এর চেয়ে 1/y ছোট।

প্রশ্ন: যদি 2x² - 7x + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α/β) + (β/α) এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 2x² - 7x + 12 = 0
মূলদ্বয় α , β

আমরা জানি,
∴ মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = - (- 7/2) = 7/2
মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = 12/2 = 6
 
এখন,
α/β + β/α = (α² + β²)/αβ
= {(α + β)² - 2αβ}/αβ
= {(7/2)² - 2 . 6}/6
= {(49/4) - 12}/6
= {(49 - 48)/4}/6
= 1/24

প্রশ্ন: 2xy + y = 14 এবং x = 3 হলে 2y + x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3
এবং 2xy + y = 14
বা, 2 . 3y + y = 14
বা, 7y = 14
বা, y = 14/7
∴ y = 2

এখন,
2y + x = 2 . 2 + 3
∴ 2y + x = 7

প্রশ্ন: x - a = 8 সমীকরণে x কী?

সমাধান:
x - a = 8 সমীকরণে x একটি চলক।

প্রশ্ন: - (4x + 2) - (- 3x - 5) = 3 হলে x = কত?

সমাধান:
- (4x + 2) - (- 3x - 5) = 3
⇒ - 4x - 2 + 3x + 5 = 3
⇒ - x + 3 = 3
⇒ - x = 3 - 3
∴ x = 0

প্রশ্ন: যদি 2x² + mx + 6 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি সমান হয় এবং m > 0 হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 2x² + mx + 6 = 0 কে দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = m, c = 6

মূল দুইটি সমান হলে নিশ্চায়ক, b² - 4ac = 0 হবে।
∴ 2x² + mx + 6 = 0 এর নিশ্চায়ক, b² - 4ac = 0
বা, m² - 4 . 2 . 6 = 0
বা, m² = 48
বা, m = √48
∴ m = 4√3

প্রশ্ন: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
3x - 7y + 10 = 0 ................. (1)
y - 2x - 3 = 0
⇒ y = 2x + 3 ..................... (2)

(1) নং হতে,
3x - 7 × (2x + 3) + 10 = 0
⇒ 3x - 14x - 21 + 10 = 0
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1

x এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
y = 2 . (- 1) + 3
⇒ y = - 2 + 3
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( - 1, 1)

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
3/(y + 3) = 4/(y + 5)
⇒ 4y + 12 = 3y + 15
⇒ 4y - 3y = 15 - 12
∴ y = 3

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার দেড়গুণ এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 25 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = x
বড় সংখ্যাটি = 1.5x = 3x/2

প্রশ্নমতে,
(3x/2) + x = 25
⇒ (3x + 2x)/2 = 25
⇒ 5x = 50
⇒ x = 50/5
∴ x = 10

বড় সংখ্যাটি = 3x/2 = 3 . 10/2 = 15

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৪৪ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x এর ৬০% + ৪৪ = x
বা, {(x × ৬০)/১০০} + ৪৪ = x
বা, (৩x/৫) + ৪৪ = x
বা, (x  - ৩x)/৫ = ৪৪ 
বা, (৫x - ৩x)/৫ = ৪৪
বা, ২x/৫ = ৪৪
বা, x  = (৪৪ × ৫)/২
⸫ x = ১১০

⸫ সংখ্যাটি ১১০

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x  - y + 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x + y = 0 .................. (1)
2x  - y + 3 = 0 .................. (2)

(1) + (2) হতে পাই,
x + y = 0
2x  - y + 3 = 0
3x + 3 = 0
⇒ 3x = - 3
⇒ x = - 3/3
∴ x = - 1

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
 - 1 + y = 0
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (- 1, 1)

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্র সংখ্যার 2/3 অংশ মুসলমান এবং 1/6 অংশ হিন্দু। মুসলমান ছাত্রের সংখ্যা হিন্দু ছাত্রের সংখ্যা অপেক্ষা 120 জন বেশি হলে, স্কুলের ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
স্কুলে ছাত্রসংখ্যা x

প্রশ্নমতে,
(2x/3) - (x/6) = 120
⇒ (4x - x)/6 = 120
⇒ 3x = 120 × 6
⇒ x = 720/3
∴ x = 240

∴ স্কুলের ছাত্র সংখ্যা 240 জন।

প্রশ্ন: (1 + √6) ও (1 - √6) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √6 এবং β = 1 - √6
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 1 + √6 + 1 - √6
∴ α +  β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √6) . (1 - √6)
= (1)² - (√6)²
= 1 - 6
∴ αβ = - 5

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α +  β) x + αβ = 0
বা, x² - 2x - 5 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 2x - 5 = 0