Math Master

প্রশ্ন: একজন লোক ১০ টাকায় ২০টি কলম ক্রয় করেন এবং ১০ টাকায় ১৫টি কলম বিক্রয় করেন। লোকটির শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত?

সমাধান:
২০টি কলমের ক্রয়মূল্য ১০ টাকা
∴ ১টি কলমের ক্রয়মূল্য ১০/২০ টাকা = ১/২ টাকা

১৫টি কলমের বিক্রয়মূল্য ১০ টাকা
∴ ১টি কলমের বিক্রয়মূল্য ১০/১৫ টাকা = ২/৩ টাকা

∴ লাভ = (২/৩ - ১/২) টাকা
= (৪ - ৩)/৬ টাকা
= ১/৬ টাকা

১/২ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ২/৬ টাকা = ১/৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় ১০০/৩ টাকা = ৩৩.৩৩ টাকা 

প্রশ্ন: যদি a : b = 5 : 9 এবং b : c = 7 : 4 হয়, তাহলে a : b : c =?

সমাধান:
a : b = 5 : 9 = (5 × 7) : (9 × 7) = 35 : 63

b : c = 7 : 4 = (7 × 9) : (4 × 9) = 63 : 36

∴ a : b : c = 35 : 63 : 36

প্রশ্ন: যদি (1/2) + (1/x) = 2 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1/2) + (1/x) = 2
⇒ 1/x = 2 - 1/2
⇒ 1/x = 3/2
∴ x = 2/3

প্রশ্ন: একজন ডিলার একটি পণ্য ১৮০৫ টাকায় বিক্রয় করলে ৫% ক্ষতি হয়। ৫% লাভে বিক্রয় করতে হলে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হতে হবে?

সমাধান:
৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৮০৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১৮০৫ × ১০০)/৯৫
= ১৯০০ টাকা

৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০৫ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১৯০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০৫ × ১৯০০)/১০০ টাকা
= ১৯৯৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৫০ পয়সা, ২৫ পয়সা এবং ১০ পয়সার মুদ্রা ২ : ৫ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। সবগুলো মুদ্রা মিলে যদি ৫১০ টাকা হয় তাহলে ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
৫০ পয়সার মুদ্রা = ২ক টি
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি

প্রশ্নমতে,
২ক × (০.৫) + ৫ক × (০.২৫) + ৩ক × (০.১০) = ৫১০
⇒ ক + ১.২৫ক + .৩ক = ৫১০
⇒ ২.৫৫ক = ৫১০
⇒ ক = ৫১০/২.৫৫
∴ ক = ২০০

∴ ২৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০০ = ১০০০ টি।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মানের অধঃক্রমে সাজানো?

সমাধান:
11/17 = 0.647
9/13 = 0.692
5/8 = 0.625

∴ 9/13 > 11/17 > 5/8

প্রশ্ন: কোন বস্তুর ক্রয়মূল্য যদি বিক্রয়মূল্যের ৬৭% হয়। তাহলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রয়মূল্য ক টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ক এর ৬৭% = (ক × ৬৭)/১০০ = ০.৬৭ক টাকা

∴ লাভ = ক - ০.৬৭ টাকা = ০.৩৩ক টাকা

০.৬৭ক টাকায় লাভ হয় ০.৩৩ক টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ০.৩৩ক/০.৬৭ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.৩৩ক × ১০০)/০.৬৭ক টাকা
= ৪৯.২৫ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ৫। যদি বড় সংখ্যার সাথে ৯ যোগ এবং ছোট সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করা হয় তাহলে বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যার ৩ গুণ হয়। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখাটি ৯ক
ছোট সংখ্যাটি ৫ক

প্রশ্নমতে,
৯ক + ৯ = ৩(৫ক - ৫)
বা, ৯ক + ৯ = ১৫ক - ১৫
বা, ৬ক = ২৪
∴ ক = ৪

∴ বড় সংখ্যাটি ৯ × ৪ = ৩৬

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। 
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,  লব< হর 
সুতরাং প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১

প্রশ্ন: একজন মুদি দোকানির নিকট ১৩.৫০ টাকা কেজি দরের ৮০ কেজি এবং ১৬ টাকা কেজি দরের ১২০ কেজি চাল আছে। লোভী দোকানি বেশি লাভের আশায় চালগুলো মিশিয়ে ফেলল এবং ১৬% লাভে বিক্রয় করল। মিশ্রিত চালের প্রতি কেজির বিক্রয়মূল্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
৮০ কেজি চালের দাম = (১৩.৫০ × ৮০) টাকা = ১০৮০ টাকা
১২০ কেজি চালের দাম = (১৬ × ১২০) টাকা = ১৯২০ টাকা

∴ ২০০ কেজি চালের মোট দাম = (১০৮০ + ১৯২০) টাকা = ৩০০০ টাকা

১৬% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১৬ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১৬/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১১৬ × ৩০০০)/১০০ টাকা
= ৩৪৮০ টাকা

∴ প্রতিকেজি চালের বিক্রয়মূল্য = ৩৪৮০/২০০ টাকা
= ১৭.৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের ১ম ও ২য় শ্রেণির জনপ্রতি ভাড়ার অনুপাত ৬ : ৪ এবং ১ম ও ২য় শ্রেণির যাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৩০। যদি ভাড়া হিসেবে মোট ২৭০০ টাকা উঠে তাহলে ১ম শ্রেণির যাত্রীদের থেকে কত টাকা ভাড়া উঠবে?

সমাধান:
ধরি,
১ম শ্রেণির ভাড়া ৬ক টাকা
২য় শ্রেণির ভাড়া ৪ক টাকা

১ম শ্রেণির যাত্রী সংখ্যা ৭খ
২য় শ্রেণির যাত্রী সংখ্যা ৩০খ

∴ ১ম শ্রেণির মোট ভাড়া : ২য় শ্রেণির মোট ভাড়া = (৬ক × ৭খ) : (৪ক × ৩০খ)
= ৪২কখ : ১২০ কখ
= ৭ : ২০

∴ ১ম শ্রেণির যাত্রীদের থেকে ভাড়া উঠবে = ২৭০০ × (৭/২৭) টাকা = ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: একজন দুষ্ট বিক্রেতা দাবী করে যে, ক্রয়মূল্যেই সে তার দ্রব্য বিক্রয় করে। কিন্তু সে ১ কেজি দ্রব্যের পরিবর্তে ৭৫০ গ্রাম দ্রব্য দেয়। তার শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ধরি,
১ কেজি বা ১০০০ গ্রাম দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ক টাকা
∴ ১ গ্রাম দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ক/১০০০ টাকা
∴ ৭৫০ গ্রাম দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ৭৫০ক/১০০০ টাকা
= ৩০ক/৪০ টাকা
= ৩ক/৪ টাকা

দুষ্ট বিক্রেতা ৭৫০ গ্রাম দ্রব্য বিক্রয় করে ক টাকায়

∴ ৭৫০ গ্রাম দ্রব্যে লাভ হয় = ক - ৩ক/৪ টাকা = ক/৪ টাকা

৩ক/৪ টাকায় লাভ হয় ক/৪ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ৪ক/১২ক টাকা = ১/৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৩ টাকা = ৩৩.৩৩ টাকা

প্রশ্ন: আরিফ ও বাবুর বেতনের অনুপাত ৪ : ৫। আরিফের বেতন ১০% এবং বাবুর বেতন ২০% বৃদ্ধি পেলে তাদের বেতনের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
আরিফের বেতন ৪ক
বাবুর বেতন ৫ক

১০% বৃদ্ধিতে আরিফের বেতন = ৪ক + ৪ক এর ১০% = ৪ক + ০.৪ক = ৪.৪ক

২০% বৃদ্ধিতে বাবুর বেতন = ৫ক + ৫ক এর ২০% = ৫ক + ক = ৬ক

নতুন অনুপাত = ৪.৪ক : ৬ক
= ৪.৪ : ৬
= ৪৪ : ৬০
= ১১ : ১৫

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর লব অপেক্ষা 40 বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি, 
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর x + 4
∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + 4)

ভগ্নাংশটির বর্গ = x²/(x + 4)²
= x²/(x² + 8x + 16)

প্রশ্নমতে,
x² + 8x + 16  - x² = 40 
⇒ 8x + 16 = 40
⇒ 8x = 40 - 16 
⇒ 8x = 24 
∴ x = 3 

ভগ্নাংশটি = 3/(3 + 4) = 3/7 

প্রশ্ন: তানভীর দুটি ঘড়ি একই দামে বিক্রয় করল। ১টি ঘড়িতে তাঁর ১০% লাভ হলো এবং অন্য ঘড়িতে তাঁর ১০% ক্ষতি হলো। মোটের উপর তানভীরের শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘড়ি দুটির বিক্রয়মূল্য ক টাকা

১০% লাভে,
১১০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ক টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (ক × ১০০)/১১০
= ১০ক/১১ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
৯০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ক টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (ক × ১০০)/৯০
= ১০ক/৯ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য ১০ক/১১ + ১০ক/৯ = (৯০ক + ১১০ক)/৯৯ টাকা = ২০০ক/৯৯ টাকা
বিক্রয়মূল্য ক + ক = ২ক টাকা

∴ ক্ষতি = ২০০ক/৯৯ - ২ক টাকা = (২০০ক - ১৯৮ক)/৯৯ টাকা = ২ক/৯৯ টাকা

২০০ক/৯৯ টাকায় ক্ষতি হয় ২ক/৯৯ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় (২ক × ৯৯)/(২০০ক × ৯৯) টাকা = ১/১০০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় ১০০/১০০ টাকা = ১ টাকা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ কাঁদায় এবং অবশিষ্ট ৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির কত মিটার কাঁদায় ও পানিতে আছে?

সমাধান: 
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ 

পানিতে ও কাঁদায় আছে = (১/৫) + (২/৩) অংশ
= (৩ + ১০)/১৫ অংশ
= ১৩/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ১ - (১৩/১৫) অংশ 
= (১৫ - ১৩)/১৫ অংশ
= ২/১৫ অংশ 

প্রশ্নমতে,
২/১৫ অংশ = ৪ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৪ × (১৫/২) মিটার 
= ৩০ মিটার 

∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার।
∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে (৩০ - ৪) মিটার 
= ২৬ মিটার

প্রশ্ন: ৪৫টি লেবু ৪০ টাকায় বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে হলে ২৪ টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪০)/৮০ টাকা
= ৫০ টাকা

২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ৫০)/১০০ টাকা
= ৬০ টাকা

৬০ টাকায় বিক্রয় হয় ৪৫টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় হয় ৪৫/৬০ টি
∴ ২৪ টাকায় বিক্রয় হয় (৪৫ × ২৪)/৬০ টি
= ১৮টি 

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম রাশি ৪ ও মধ্য সমানুপাতী ৮ হলে, ৩য় সমানুপাতী কত?

সমাধান:
১ম রাশি = ৪ 
মধ্য সমানুপাতী = ৮

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৩য় রাশি = (মধ্য রাশি)^২
বা, ৪ × ৩য় রাশি = (৮)^২
বা, ৪ × ৩য় রাশি = ৬৪
বা, ৩য় রাশি = ৬৪/৪
∴ ৩য় রাশি = ১৬