৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: যদি, a² + b² = 25 এবং ab = 12 হয় তবে, a + b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 25
এবং ab = 12

আমরা জানি,
(a + b)² - 2ab = a² + b²
⇒ (a + b)² - 2 × 12 = 25
⇒ (a + b)² = 25 + 24
⇒ (a + b)² = 49
∴ a + b = 7

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 5 এর সমাধান-

সমাধান:
|1 - 2x| < 5
⇒ - 5 < 1 - 2x < 5
⇒ - 5 - 1 < 1 - 1 - 2x < 5 - 1
⇒ - 6 < - 2x < 4
⇒ - 3 < - x < 2
⇒ 3 > x > - 2
∴ - 2 < x < 3

প্রশ্ন: 5⁰ × 5³ এর মান কত?

সমাধান:
5⁰ × 5³ = 1 × 125 = 125

প্রশ্ন: Log₁₀(0.0001) = ?

সমাধান:
ধরি,
Log₁₀(0.0001) = x
⇒ 10^x = 0.0001
⇒ 10^x = 1/10000
⇒ 10x = 1/10⁴
⇒ 10^x = 10^{- 4}
∴ x = - 4

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং xy = 15 হয়, তবে 2x² + 2y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
এবং xy = 15

আমরা জানি,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
= (8)² - 2 × 15
= 64 - 30
= 34

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= 2 × 34
= 68

প্রশ্ন: মান নির্ণয় কর:

সমাধান:

প্রশ্ন: x² - 1 - y(y - 2) এর একটি উৎপাদক (x + y - 1) হলে, অন্য উৎপাদকটি নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 1 - y(y - 2)
= x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: (p/3) + 3 = (2p/15) + 6 সমীকরণে p এর মান কত?

সমাধান:
(p/3) + 3 = (2p/15) + 6
⇒ (p/3) - (2p/15) = 6 - 3
⇒ (5p - 2p)/15 = 3
⇒ 3p/15 = 3
⇒ p/15 = 1
∴ p = 15

প্রশ্ন: log_x(1/49) = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
log_x(1/49) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/49
⇒ 1/x² = 1/49
⇒ x² = 49
⇒ x² = 7²
∴ x = 7

প্রশ্ন: যদি x² + 1 - √5x = 0 হলে, x² + 1/x² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 1 - √5x = 0
⇒ x² + 1 = √5x
⇒ (x²)/x + 1/x = (√5x)/x [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2. x. 1/x
= (√5)² - 2
= 5 - 2
= 3

প্রশ্ন: 81 এর √3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log_√381
= log_√3(3)⁴
= log_√3{(√3)²}⁴
= log_√3(√3)⁸
= 8 × log_√3(√3)
= 8 × 1
= 8

প্রশ্ন: 2^x + 2^x + 2^x + 2^x = 2⁵ হলে, x  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^x + 2^x + 2^x + 2^x = 2⁵
⇒ 4. 2^x = 2⁵
⇒ 2². 2^x = 2⁵
⇒ 2^{2 + x} = 2⁵
⇒ 2 + x = 5
∴ x = 3

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 75x³ - 3x এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
75x³ - 3x
= 3x(25x² - 1)
= 3x{(5x)² - 1²}
= 3x(5x + 1)(5x - 1)

প্রশ্ন: যদি, 4x = 3y এবং x + y = 35 হয়, তাহলে y = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x = 3y
⇒ x = 3y/4

এবং
x + y = 35
⇒ 3y/4 + y = 35
⇒ (3y + 4y)/4 = 35
⇒ 7y = 35 × 4
⇒ y = (35 × 4)/7
∴ y = 20

প্রশ্ন: যদি a - b - c = 0 হয় তবে, a³ - b³ - c³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b - c = 0
⇒ a - b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ - b³ - c³
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - c³
= c³ + 3abc - c³
= 3abc

প্রশ্ন: x³ এর মান নির্ণয় করুন যখন,

সমাধান:

প্রশ্ন: 3x² - 16x - 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?

সমাধান:
3x² - 16x - 12
= 3x² - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6)(3x + 2)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ১০ যোগ করলে সংখ্যাটির অর্ধেকের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ১০ = ক/২
⇒ (ক + ৩০)/৩ = ক/২
⇒ ২(ক + ৩০) = ৩ক
⇒ ২ক + ৬০ = ৩ক
⇒ ৩ক - ২ক = ৬০
∴ ক = ৬০

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + log81 +..................... + প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + log81 +..................... + প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি
= log31 + log32 + log33 + log34 + .......... + প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি
= 1log3 + 2log3 + 3log3 + 4log3 + ......... + প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি
= log3(1 + 2 + 3 + 4 +.................+13)
= log3{13(13 + 1)/2}
= log3 (13 × 7)
= log3 × 91
= 91log3

প্রশ্ন: যদি x = √6 + √5 হয় তবে, x³ - 1/x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √6 + √5

∴ 1/x = √6 - √5

∴ x - 1/x = √6 + √5 - √6 + √5 = 2√5

প্রদত্ত রাশি = x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3. x. 1/x(x - 1/x)
= (2√5)³ + 3. 2√5
= 8. 5√5 + 6√5
= 40√5 + 6√5
= 46√5

প্রশ্ন: x² + 4x - a যদি (x - 3) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
x² + 4x - a যদি (x - 3) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(3) = 0 হবে
∴ x² + 4x - a = 0
⇒ 3² + 4 × 3 - a = 0
⇒ 9 + 12 - a = 0
⇒ 21 - a = 0
∴ a = 21

∴ a এর মান = 21

প্রশ্ন: x এর মান নির্ণয় কর-

সমাধান:

প্রশ্ন: x² + 7x - 120 কে (x - 8) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:
x² + 7x - 120
= x² + 15x - 8x - 120
= x(x + 15) - 8(x + 15)
= (x + 15)(x - 8)

∴ x² + 7x - 120 কে (x - 8) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল = (x + 15)(x - 8)/(x - 8) = (x + 15)

প্রশ্ন: log_√27x = 8/3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_√27x = 8/3
⇒ x = (√27)^8/3
⇒ x = {√(3³)}^8/3
⇒ x = 3^{{(3/2) × (8/3)}}
⇒ x = 3⁴
∴ x = 81

প্রশ্ন: যদি x² = 2x - 1 হয় তবে, x¹¹ + (1/x¹³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = 2x - 1
⇒ x² - 2x + 1 = 2x
⇒ x² - 2. x. 1 + 1² = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রদত্ত রাশি = x¹¹ + (1/x¹³)
= 1¹¹ + (1/1¹³)
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = ?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4
⇒ a + 4/a = 4 [4^x = a ধরে]
⇒ (a² + 4)/a = 4
⇒ a² + 4 = 4a
⇒ a² - 4a + 4 = 0
⇒ a² - 2. a. 2 + 2² = 0
⇒ (a - 2)² = 0
⇒ a - 2 = 0
⇒ a = 2
⇒ 4^x = 2 [a = 4^x বসিয়ে]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: |x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x + 4 < n হবে?

সমাধান:
|x - 3| < 4
বা, - 4 < x - 3 < 4
বা, - 4 + 3 < x - 3 + 3 < 4 + 3
বা, - 1 < x < 7
বা, - 2 < 2x < 14
বা, - 2 + 4 < 2x + 4 < 14 + 4
∴ 2 < 2x + 4 < 18

m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 2 এবং n = 18

প্রশ্ন: log(x²/yz) + log(y²/xz) + log(z²/xy) = কত?

সমাধান:
log(x²/yz) + log(y²/xz) + log(z²/xy)
= log {(x²/yz) × (y²/xz) × (z²/xy)}
= log 1
= 0

প্রশ্ন: x² + 6x - 6y + 9 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² + 6x - 6y + 9 + y²
= x² + (- y)² + (3)² + 2. x. (- y) + 2. (- y). 3 + 2. 3. x + 2xy
= {x + (- y) + 3}² + 2xy
= (x - y + 3)² + 2xy

∴ পূর্ণবর্গ করতে হলে - 2xy যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: 2logx + 2logy = log 81 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
2logx + 2logy = log(81)
⇒ logx² + logy² = log9²
⇒ logx²y² = log9²
⇒ (xy)² = 9²
∴ xy = 9

প্রশ্ন: a = 5c , a/b = c/d এবং d = 3 হলে b/3 = কত?

সমাধান:
a/b = c/d
⇒ 5c/b = c/d [যেহেতু a = 5c]
⇒ 5cd = bc
⇒ b = 5d
⇒ b = 5 × 3
⇒ b = 15

∴ b/3 = 15/3 = 5

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 117 এবং বর্গের যোগফল 250 হলে, সংখ্যা দুইটির বিয়োগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

১ম শর্তানুসারে, xy = 117
২য় শর্তানুসারে, x² + y² = 250

আমরা জানি,
(x - y)² = x² + y² - 2xy
⇒ (x - y)² = 250 - (2 × 117)
⇒ (x - y)² = 250 - 234
⇒ (x - y)² = 16
⇒ (x - y) = √16
∴ ⇒ x - y = ± 4

প্রশ্ন: x + 1/x = 3 হলে (x² + 1)/(x² + 2x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 3
⇒ (x² + 1) / x = 3
⇒ x² + 1 = 3x

প্রদত্ত রাশি = (x² + 1)/(x² + 2x + 1)
= (x² + 1)/(x² + 1 + 2x)
= 3x/(3x + 2x)
= 3x/5x
= 3/5

প্রশ্ন: x² - 2x - 35 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -

সমাধান:
x² - 2x - 35 = 0
⇒ x² - 7x + 5x - 35 = 0
⇒ x(x - 7) + 5(x - 7) = 0
⇒ (x - 7)(x + 5) = 0
∴ x = 7 অথবা - 5

প্রশ্ন: 625(√5)^8x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
625(√5)^8x = 1
⇒ 5⁴. (5^1/2)^8x = 1
⇒ 5⁴. 5^4x = 1
⇒ 5^{(4 + 4x)} = 5⁰
⇒ 4 + 4x = 0
⇒ 4x = - 4
∴ x = - 1

প্রশ্ন: (x + 2y, 5) = (8, x - y) হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
(x + 2y, 5) = (8, x - y) )
x + 2y = 8 ..................(1)
এবং, x - y = 5 ...........(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
x + 2y - x + y = 8 - 5
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 2. 1 = 8
⇒ x + 2 = 8
⇒ x = 8 - 2
∴ x = 6

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (6, 1)

প্রশ্ন: log_ax = 1 , log_ay = 2 , log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

সমাধান:
log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)]
= log_ax³ + log_ay² - logaz [log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 3 + 4 - 3
= 7 - 3
= 4