১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: ২ থেকে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
২ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ১০ টি

∴ ২ এবং ৩০ এর মধ্যবর্তী বললে ২ এবং ৩০ ছাড়া হিসেব করতে হতো। ২ থেকে বলায় ২ সহ হিসেব করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের দশম শ্রেণির টেস্ট পরীক্ষায় মোট ছাত্রের ৭০% জীববিজ্ঞানে এবং ৮০% পদার্থবিদ্যায় পাস করলো। কোনো ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেনি। ৩২০ জন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাস করে থাকলে, পরীক্ষায় মোট কতজন পরিক্ষার্থী ছিল?

সমাধান:
জীববিজ্ঞানে ফেল করে = ১০০% - ৭০% = ৩০%
পদার্থবিদ্যায় ফেল করে = ১০০% - ৮০% = ২০%
জীববিজ্ঞান ও পদার্থবিদ্যায় ফেল করে = ৩০% + ২০% = ৫০%
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করে = ১০০% - ৫০% = ৫০%

এখন,
৫০ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = ১০০
১ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = ১০০/৫০
৩২০ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = (১০০ × ৩২০)/৫০
= ৬৪০ জন

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 15 মি., BC = 18 মি. এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
বা, 135 = (1/2) × 15 × 18 × sin ∠B
বা, 135 = 135 × sin ∠B
বা, sin ∠B = 135/135
বা, sin ∠B = 1
বা, sin ∠B = ‍sin 90°
∴ ∠B = 90°

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ১, ৫/৪, ৩/২ ও ৭/৪ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১, ৫, ৩, ৭ লবগুলোর ল.সা.গু = ১০৫
১, ৪, ২, ৪ হরগুলোর গ.সা.গু = ১

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
বা, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ১০৫/১ = ১০৫

অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ১০৫ সেকেন্ড বা ১ মিনিট ৪৫ সেকেন্ড পর।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে কোনো আসলের ২ বছরে প্রাপ্ত চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ৫২৫ টাকা। বার্ষিক শতকরা অর্ধেক হারে দ্বিগুণ সময়ের জন্য একই আসল হতে কত সরল মুনাফা পাওয়া যাবে?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = {P (1 + r)ⁿ} - P ,
p = আসল
r = ১০% = ০.১
n = ২ বছর

তাহলে, ৫২৫ = P (১ + ০.১)^২ - P
⇒ ৫২৫ = P × (১.১^২ - ১)
⇒ ৫২৫ = P × (২১/১০০)
⇒ P = ২৫০০ টাকা

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
সরল মুনাফা, I = p × n × r
= ২৫০০ × ৪ × .০৫ [সময়, n = ২ × ২ = ৪]
= ৫০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
তাহলে, প্রস্থ = ৩ক × (২/৩) = ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২(৩ক + ২ক) = ১২০
⇒ ১০ক = ১২০
∴ ক = ১২০ / ১০ = ১২ মিটার

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: ৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ৪ হবে?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = {৩০ এর (৭/১০)} = ২১ লিটার
এবং পানির পরিমাণ = {৩০ এর (৩/১০)} = ৯ লিটার

ধরি,
ক লিটার পানি মিশ্রিত করলে অনুপাত ৩ : ৪ হবে।

শর্তমতে,
২১ : (৯ + ক) = ৩ : ৪
বা, ২১/(৯ + ক) = ৩/৪
বা, ২৭ + ৩ক = ৮৪
বা, ৩ক = ৫৭
∴ ক = ১৯

∴ ১৯ লিটার পানি মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২৪ মি, উচ্চতা ৩ মি, পুরুত্ব ৩০ সে. মি। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি., প্রস্থ ৬ সে. মি., উচ্চতা ৬ সে. মি। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২৪ মি. = ২৪০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি. = ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.

এখানে,
দেওয়ালের আয়তন = (২৪০০ × ৩০০ × ৩০) ঘন সেমি
আবার, ইটের আয়তন = (১২ × ৬ × ৬) সে.মি. = ৪৩২ ঘন সেমি

∴ ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন / ইটের আয়তন
= (২৪০০ × ৩০০ × ৩০)/৪৩২
= ৫০০০০
∴ দেওয়ালটি তৈরি করতে প্রয়োজন হবে ৫০,০০০ টি ইট।

প্রশ্ন: 72 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 72 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 72/4 = 18 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 18√2
ব্যাসার্ধ = 18√2/2 = 9√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(9√2)²
= 162π বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিন-সপ্তমাংশের এক-চতুর্থাংশের দুই পঞ্চমাংশের মান ১৫। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক × (৩/৭) × (১/৪) × (২/৫) = ১৫
⇒ ৩ক/৭০ = ১৫ 
⇒ ৩ক = ১০৫০
∴ ক = ৩৫০

∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = ৩৫০ × ২ = ৭০০

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার অনুপাত 7 : 4 : 2। যদি আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন 448 ঘন সে.মি. হয়, তাহলে আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 7a সে.মি.
প্রস্থ = 4a সে.মি.
এবংউচ্চতা = 2a সে.মি.

প্রশ্নমতে,
7a × 4a × 2a =448
⇒ 56a3 = 448
⇒ a3 = 8
∴ a = 2

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 7 × 2 = 14 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে প্রথমে ৩০% হ্রাস করা হলো, তারপর হ্রাসকৃত সংখ্যাকে ৩০% বাড়ানো হলো। নতুন প্রাপ্ত সংখ্যাকে কত শতাংশ বাড়ালে তা শুরুতে নেয়া সংখ্যাটির সমান হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ১০০
৩০% হ্রাসের পর সংখ্যাটি = ১০০ - ১০০ এর ৩০%
= ১০০ - (১০০ × ৩০/১০০)
= ৭০ টাকা

৩০% বাড়ালে নতুন সংখ্যা = ৭০ + (৭০ এর ৩০%)
= ৭০ + ২১
= ৯১ টাকা

অর্থাৎ ১০০ তথা শুরুর সংখ্যাটি পেতে হলে = {(১০০ - ৯১)/৯১} × ১০০ %
= (৯/৯১) × ১০০ %
= ৯.৮৯%

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৪, ৫, ৬ এবং ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
প্রতি ক্ষেত্রে অবশিষ্ট থাকে,
৪ - ১ = ৩
৫ - ২ = ৩
৬ - ৩ = ৩
৭ - ৪ = ৩

∴ ৪, ৫, ৬ ও ৭ এর ল.সা.গু = ৪২০
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি (৪২০ - ৩) = ৪১৭

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% সরল সুদে ২০০০ টাকার কত বছরের সুদ ৩০০ টাকা?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ২০০০ টাকা
সুদ, I = ৩০০ টাকা
সুদের হার, r = ৫% = ৫/১০০
সময় (বছর) n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ n = I/Pr
= ৩০০/ {২০০০ × (৫/১০০)}
= ৩০০/১০০
= ৩ বছর

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার ৫০ শতাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = ক
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক^২
সরলরেখাটির ৫০ শতাংশ = ৫০ক/১০০ = ক/২
সরলরেখাটির ৫০ শতাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/২)^২
= ক^২/৪

∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের = ক^২ ÷ (ক^২/৪)
= ক^২ × (৪/ক^২)
= ৪ গুণ

প্রশ্ন: ৪, ৮, ৫ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
১ম রাশি/২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি
⇒ ৪/৮ = ৫/৪র্থ রাশি
⇒ ৪র্থ রাশি = (৫ × ৮)/৪
= ১০

অতএব, চতুর্থ সমানুপাতী ১০।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৪৪ সে.মি. ও ১৫৪ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr^২ বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr^২/২πr = ১৫৪/৪৪
⇒ r/২ = ১৫৪/৪৪
⇒ r = (১৫৪ × ২)/৪৪ = ৭

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ৭)
= ১৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(বাহু)²
এখন, (√3/4)(বাহু)² = 64√3
⇒ (1/4)(বাহু)² = 64
⇒ (বাহু)² = 64 × 4
⇒ (বাহু)² = 256
⇒ বাহু = 16

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = 16 + 16 + 16
= 48 সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।

প্রশ্ন: ৮০০০ এর শতকরা ৩ ভাগ অপেক্ষা ৮০০০ এর শতকরা ৯ ভাগ কত বেশি?

সমাধান:
৮০০০ এর ৩%
= ৮০০০ এর ৩/১০০
= ২৪০

৮০০০ এর ৯%
= ৮০০০ এর ৯/১০০
= ৭২০

বেশি = (৭২০ - ২৪০) = ৪৮০

প্রশ্ন: ঘনকের ধার ‍5 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = 5 একক

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক
= 6 × 5² বর্গ একক
= 150 বর্গ একক

প্রশ্ন: ক একটি মৌলিক সংখ্যা এবং ক, খ দ্বারা বিভাজ্য নয়। ক এবং খ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
যেহেতু ক একটি মৌলিক সংখ্যা, তাহলে ক এর উৎপাদক হবে ক এবং ১।
আবার ক, খ দ্বারা বিভাজ্য নয়,
তাহলে দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু  = সংখ্যা দুইটির গুণফল
= ক × খ
= কখ

প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের নিচের প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর নিচের প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়়ী,
২৫^২ = ২০^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ২৫^২ - ২০^২
⇒ ক^২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ ক = √২২৫
∴ ক = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৬% সুদে ২০০০ টাকার ৪ বছরের সুদাসল কত?

সমাধান: আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়) / ১০০
= (২০০০ × ৬ × ৪) / ১০০
= ৪৮০ টাকা

∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ৪৮০ + ২০০০
= ২৪৮০ টাকা

অর্থাৎ, ২০০০ টাকার ৪ বছরের সুদাসল হবে ২৪৮০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১০ মিটার ও ১২ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ১২
= ৬০ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × √৬০ মিটার
= ৪ × √(৪ × ১৫) মিটার
= ৮√১৫ মিটার

প্রশ্ন: কোনো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে। যদি সেই সংখ্যাটির তিন গুণকে ৭ দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ধরি,
মূল সংখ্যাটি p = ৭ক + ৩

তাহলে,
৩p = ৩(৭ক + ৩)
⇒ ৩p = ২১ক + ৯
⇒ ৩p = ৭(৩ক + ১) + ২
⇒ ৩p = ৭(৩ক + ১) + ২

সুতরাং ৩p কে ৭ দ্বারা ভাগ করলে ২ অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 48 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (48/4) × √(4 × 40² - 48²)
= 12 × √(4 × 1600 - 2304)
= 12 × √(6400 - 2304)
= 12 × √4096
= 12 × 64
= 768 বর্গ সে.মি.

∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 768/4 = 192 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: হিমেলের বয়সের ৪০% রাকিবের বয়সের ২৫% এর সমান। তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
হিমেলের বয়স ক বছর এবং রাকিবের বয়স খ বছর

ক এর ৪০% = খ এর ২৫%
⇒ ৪০ক/১০০ = ২৫খ/১০০
⇒ ৪০ক = ২৫খ
⇒ ক/খ = ২৫/৪০
⇒ ক/খ = ৫/৮
∴ ক : খ = ৫ : ৮