ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: x² + 2tx + t² - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 2tx + t² - 4
= (x² + 2tx + t²) - 4
= (x + t)² - 4
= (x + t)² - 2²
= (x + t + 2)(x + t - 2)

প্রশ্ন: s + 1/s = 2 হলে s⁵ - 1/s⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
s + 1/s = 2
বা, s² + 1 = 2s
বা, s² - 2s + 1 = 0
বা, (s - 1)² = 0
বা, s - 1 = 0
∴ s = 1

∴ ‍s⁵ - 1/s⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: যদি b + (1/b) = 7 হয়, তবে b/(b² + b + 1) এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেয়া আছে,
b + (1/b) = 7
⇒ (b² + 1)/b = 7
⇒ (b² + 1) = 7b

এখন,
b/(b² + b + 1)
= b/(7b + b)
= b/8b
= 1/8

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: p² - 23p + 132

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p² - 23p + 132
= p² - 12p - 11p + 132
= p(p - 12) - 11(p - 12)
= (p - 12)(p - 11)

প্রশ্ন: q = 2 এবং p = 7 হলে, 25q² - 70qp + 49p² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
q = 2 এবং p = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25q² - 70qp + 49p²
= (5q)² - 2 × 5q × 7p + (7p)²
= (5q - 7p)²
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [q ও p এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: a + c = 9 এবং a² + c² = 45 হলে, a³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
a² + c² = 45
⇒ (a + c)² - 2ac = 45
⇒ 9² - 2ac = 45
⇒ 81 - 2ac = 45
⇒ - 2ac = 45 - 81
⇒ - 2ac = - 36
∴ ac = 18

এখন,
a³ + c³ = (a + c)³ - 3ac(a + c)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ a³ + c³ এর মান 243 

প্রশ্ন: p² + q² = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?

সমাধান:
p - 1 = √2
⇒ p = 1 + √2

p² + q² = 6
⇒ (1 + √2)² + q² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + q² = 6
⇒ 3 + 2√2 + q² = 6
⇒ q² = 3 - 2√2
⇒ q² = 2 -  2√2 + 1
⇒ q² = (√2)² -  2√2 + 1²
⇒ q² = (√2  - 1)²
⇒ q = √2 - 1
∴ q + 1 = √2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - s² - 2st - t² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - s² - 2st - t²
= 1 - (s + t)²
= (1)² - (s + t)²
= {1 + (s + t)} {1 - (s + t)}
= (1 + s + t) (1 - s - t)

প্রশ্ন: p² = 5 + 2√6 হলে, 1/p এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
p² = 5 + 2√6 
⇒ p² = 3 +  2√6 + 2
⇒ p² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ p² = (√3 + √2)²
∴ p = √3 + √2

এখন, 
 1/p = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/p = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/p = (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
⇒ 1/p = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/p= √3 - √2

প্রশ্ন: x² + xy + y² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

অর্থাৎ, x² + xy + y² কে (x - y) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর x³ - y³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: (p² - 5p + 6) এবং (p² - 7p + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(p² - 5p + 6)
= p² - 3p - 2p + 6
= p(p - 3) - 2(p - 3)
= (p - 3)(p - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(p² - 7p + 12)
= p² - 3p - 4p + 12
= p(p - 3) - 4(p - 3)
= (p - 3)(p - 4)

সাধারণ উৎপাদক = (p - 3)

প্রশ্ন: যদি 3y² - 12y + 3 = 0 হয়, তবে (y + 1/y)³ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3y² - 12y + 3 = 0
⇒ 3y² + 3 = 12y
⇒ 3(y² + 1) = 12y
⇒ (y² + 1) = 4y
⇒ (y²/y) + 1/y = 4
∴ y + 1/y = 4

প্রদত্ত রাশি,
(y + 1/y)³
= 43
= 64

প্রশ্ন: y⁶ - 64 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
y⁶ - 64
= (y³)² - 8²
= (y³ + 8)(y³ - 8)
= (y³ + 2³)(y³ - 2³)
= (y + 2)(y² - 2y + 4)(y - 2)(y² + 2y + 4)
= (y + 2)(y - 2)(y² + 2y + 4)(y² - 2y + 4)

প্রশ্ন: যদি p - q - r = 0 হয় তবে, p³ - q³ - r³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - q - r = 0
⇒ p - q = r

প্রদত্ত রাশি = p³ - q³ - r³
= (p - q)³ + 3pq(p - q) - r³
= r³ + 3pqr - r³
= 3pqr

প্রশ্ন: b² + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
b² + 7b - 120
= b² - 8b + 15b - 120
= b(b - 8) + 15(b - 8)
= (b - 8)(b + 15)

প্রশ্ন: p³ + ap + 5 = 0 এর একটি সমাধান যদি 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p³ + ap + 5 = 0
যেহেতু সমীকরণটির একটি সমাধান 1, সেহেতু p = 1 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

এখন, p = 1 বসিয়ে পাই,
(1)³ + a(1) + 5 = 0
⇒ 1 + a + 5 = 0
⇒ a + 6 = 0
∴ a = - 6
অতএব, a এর মান - 6

প্রশ্ন: যদি x⁴ - 6x² + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x⁴ - 6x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = 6x²
⇒ (x⁴ + 1)/x² = 6
⇒ x² + (1/x²) = 6
⇒ {x - (1/x)}² + 2.x.(1/x) = 6
⇒ {x - (1/x)}² = 6 - 2 
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = ± 2

প্রশ্ন: a² - 10a + P বহুপদী রাশিটি যদি a - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a² - 10a + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি a² - 10a + P বহুপদী রাশিটি a - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ a² - 10a + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16

প্রশ্ন: যদি x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z) হয়, তাহলে (x + y + z) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z)
⇒ x² + y² + z² + 3 = 2x + 2y + 2z
⇒ (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 0
⇒ (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1 
একইভাবে, y = 1, z = 1

প্রদত্ত রাশি, 
x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3
∴ x + y + z = 3

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,
সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: a⁵ + (1/a⁵) = 6 হলে, a⁵ - (1/a⁵) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a⁵ - 1/a⁵)² = (a⁵ + 1/a⁵)² - 4.a⁵.(1/a⁵) [∵ (m - n)² = (m + n)² - 4mn]
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = (6)² - 4
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = 36 - 4
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = 32
⇒ a⁵ - 1/a⁵ = √32
⇒ a⁵ - 1/a⁵ = √(16 × 2)
∴ a⁵ - 1/a⁵ = 4√2

প্রশ্ন: p³ - 9 + (p + 1)³ রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p³ - 9 + (p + 1)³
p³ - 9 + p³ + 3p² + 3p + 1
= 2p³ + 3p² + 3p - 8
= 2p³ - 2p² + 5p² - 5p + 8p - 8
= 2p²(p - 1) + 5p(p - 1) + 8(p - 1)
= (p - 1)(2p² + 5p + 8)

প্রশ্ন: যদি a = √12 + 3 হয়, তবে a³ - (27/a³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = √12 + 3

এখন, 
1/a = 1/√12 + 3
= (√12 - 3)/(√12 + 3)(√12 - 3)
= (√12 - 3)/{(√12)² - 3²}
= (√12 - 3)/(12 - 9)
= (√12 - 3)/3
∴ 3/a = √12 - 3

∴ a - (3/a) = √12 + 3 - √12 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - (27/a³) = a³ - (3/a)³
= {a - (3/a)}³ + 3 . a . (3/a){a - (3/a)}      ;[a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)]
= 6³ + (9 × 6)
= 216 + 54
= 270

প্রশ্ন : যদি x² + 1/x² = 34 হয়, তবে (x + 1/x) এর মান কত?

সমাধান :
x² + 1/x²= 34
⇒ (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 34
⇒ (x + 1/x)² = 36
∴ x + 1/x = ±6

প্রশ্ন: 2√2p³ + 125 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
2√2p³+ 125
= (√2 × √2 × √2) p³ + 125  [ কারণ, √2 × √2 = (√2)² = 2 ]
= (√2p)³ + 5³
= (√2p + 5 )(2p² - 5√2p + 25)