শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: 3p - 7q + 10 = 0 এবং q - 2p - 3 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
3p - 7q + 10 = 0 ................. (1)
এবং q - 2p - 3 = 0
⇒ q = 2p + 3 ..................... (2)

(1) নং হতে,
3p - 7 × (2p + 3) + 10 = 0
⇒ 3p - 14p - 21 + 10 = 0
⇒ - 11p = 11
∴ p = - 1

p এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
q = 2 . (- 1) + 3
⇒ q = - 2 + 3
∴ q = 1

নির্ণেয় সমাধান (p, q) = (-1, 1)

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৭' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯" সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "১" সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "০" আছে ১১ বার।

প্রশ্ন:

সমাধান:

∴ 1/(y + 2) = 7/16

প্রশ্ন: a + b = 16 হলে, ab এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 16

∴ a ও b এর সর্বোচ্চ মান হতে পারে যথাক্রমে, a = 8 এবং b = 8
∴ ab এর বৃহত্তম মানab এর বৃহত্তম মান = 8 × 8 = 64

বিকল্প সমাধান:
বৃহত্তম মান = (সমষ্টি/2)² = (16/2)² = 64

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৩। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
তাহলে,বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৩
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৩
⇒ ২ক = ৪৩ - ১
⇒ ক = ৪২/২
∴ ক = ২১

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২১

প্রশ্ন: F এর মান 140 হলে, C/5 = R/4 = (F - 32)/9 সমীকরণে C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
C/5 = R/4 = (F - 32)/9

সমীকরণ থেকে পাই,
C/5 = (F - 32)/9
⇒ C = 5(F - 32)/9
= 5(140 - 32)/9
= 60

প্রশ্ন: x + 3y = 40 এবং y = 3x হয় তাহলে y = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 3y = 40
এবং y = 3x

∴ x + 3(3x) = 40
⇒ x + 9x
⇒ 10x = 40
∴ x = 4

∴ y = 3 × 4 = 12

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে a(p - a) = b(p - b) হবে?

সমাধান:
a(p - a) = b(p - b)
⇒ ap - a² = bp - b²
⇒ ap - bp = a² - b²
⇒ p(a - b) = (a + b)(a - b)
⇒ p = {(a + b)(a - b)}/(a -b)
∴ p = a + b

প্রশ্ন: ৪৮১__৬৭৩ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে,  শূন্যস্থানে নিচের কোন সংখ্যাটি বসবে? 

সমাধান:
• "কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভ্যজ্য হলে, সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।"

এখানে,
৪ + ৮ + ১ + ৬ + ৭ + ৩ = ২৯
২৯ + ২ = ৩১ ;যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৯ + ৫ = ৩৪ ;যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৯ + ৬ = ৩৫ ;যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৯ + ৭ = ৩৬ ;যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। [৩৬/৯ = ৪]

৪৮১৭৬৭৩/৯ = ৫৩৫২৯৭

প্রশ্ন: 3a + 5b = 0 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে?

সমাধান:
সমীকরণটির চলক দুটি।
যেহেতু চলক দুটি তাই সমীকরণও দুটি হলে, এর সমাধান হবে একটি।

এখানে, চলক দুটি কিন্তু সমীকরণ একটি, তাই সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান হতে পারে।
কারণ, a এর মান যতগুলো বসানো হবে b এর ততগুলো মান পাওয়া যাবে।
একইভাবে,  b এর মান যতগুলো বসানো হবে a এর ততগুলো মান পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৫০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯
৫০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩

∴ ৫০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর = ৭৯ - ৫৩
= ২৬

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
⇒ 15 + 5x = 20 + 4x
⇒ 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5 

প্রশ্ন: ৫২৭৪৩৫ সংখাটিতে ৭ এর স্থানীয় মান এবং ৩ এর স্বকীয় মানের পার্থক্য কত?

সমাধান:
৫২৭৪৩৫ সংখাটিতে ৭ এর স্থানীয় মান = ৭০০০
৫২৭৪৩৫ সংখাটিতে ৩ এর স্বকীয় মান = ৩

∴ পার্থক্য = ৭০০০ -৩
= ৬৯৯৭

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q≠0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।

- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √16, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

∴ 11/2 = 5.5 মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার বিপরীত ভগ্নাংশের যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের সমান। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক + (১/ক) = ২ক
⇒ ১/ক = ক
⇒ ক^২ = ১
∴ ক = ± ১

প্রশ্ন: দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 36 হলে তাদের সর্বনিম্ন যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a ও b

এখন,
36 = a × b ;সমষ্টি = a + b
∴ 36 = 36 × 1 = 36  ;সমষ্টি = 36 + 1 = 37
∴ 36 = 18 × 2 = 36  ;সমষ্টি = 18 + 2 = 20
∴ 36 = 12 × 3 = 36  ;সমষ্টি = 12 + 3 = 15
∴ 36 = 9× 4 = 36  ;সমষ্টি = 9 + 4 = 13
∴ 36 = 6 × 6 = 36  ;সমষ্টি = 6 + 6 = 12 (সর্বনিম্ন)

∴ a ও b এর সর্বনিম্ন মানের যোগফল = 12

প্রশ্ন: a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2b = 3c এবং abc = 36
 ∴2b = 3c
⇒ b = 3c/2

এখন,
abc = 36
বা, 2b × bc = 36
বা, 2 × 2b²c = 2 × 36
বা, (2b)² × c = 72
বা, (3c)² × c = 72
বা, 9c³ = 72
বা, c³ = 72/9
বা, c³ = 8
বা, c³ = 2³
∴ c = 2

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৪২০। প্রথম ৫টির গড় ৩৬, শেষ ৪টির গড় ৪৭। ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৫টি সমষ্টি = (৩৬ × ৫) = ১৮০
শেষ ৪টির সমষ্টি = (৪৭ × ৪) = ১৮৮
তাহলে এই নয়টি সংখ্যার যোগফল হয় = (১৮০ + ১৮৮) = ৩৬৮

দেওয়া আছে, ১০টি সংখ্যার যোগফল = ৪২০

∴ ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি (৪২০ - ৩৬৮) = ৫২

প্রশ্ন: 2a - 3 একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, সংখ্যাটির পরবর্তী জোড় সংখ্যা কত?

সমাধান:
যেকোনো বিজোড় সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে সেই সংখ্যাটির পরবর্তী জোড় সংখ্যা পাওয়া যায়।
∴ 2a - 3 সংখ্যাটির পরবর্তী জোড় সংখ্যা =  2a - 3 + 1
= 2a - 2

প্রশ্ন: যদি 'ক' কে ৭ দিয়ে ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ ৫ থাকে। যদি ৩ক কে ৭ দিয়ে ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক ×ভাগফল) + ভাগশেষ

∴ ক = (৭ × ১) + ৫ [ভাগফল সর্বনিম্ন ১ হলে]
= ১২

ক = ১২ হলে, ৩ক = ৩ × ১২ = ৩৬

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = ১

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে।  প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা = {(4 × 20) - 8} জন
= 72 জন

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫৫৪ থেকে যত কম, ৪৮২ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৫৫৪ - ক = ক - ৪৮২
⇒ ২ক = ৫৫৪ + ৪৮২
⇒ ২ক = ১০৩৬
⇒ ক =১০৩৬/২
∴ ক = ৫১৮
∴ সংখ্যাটি = ৫১৮

বিকল্প সমাধান:
সংখ্যাটি = (৫৫৪ + ৪৮২)/২ = ৫১৮