স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) - লং কোর্স

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক 
এবং প্রস্থ = ১০০ একক 
∴ ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) বর্গ একক 
= ১০০০০ বর্গ একক 

আবার, 
২০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১২০ একক 
এবং ১০% হ্রাসে প্রস্থ = ৯০ একক 
∴ ক্ষেত্রফল = (১২০ × ৯০) বর্গ একক 
= ১০৮০০ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১০৮০০ - ১০০০০) বর্গ একক 
= ৮০০ বর্গ একক 

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = {(৮০০ × ১০০)/১০০০০}% 
= ৮% । 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গমিটার‌। 

এখন 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার
বাগানের প্রস্থ = 16 মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= (20 × 16) বর্গ মিটার 
= 320 বর্গ মিটার 

আবার, যেহেতু বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 + (2 + 2) মিটার = 24 মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 16 + (2 + 2) মিটার = 20 মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (24 × 20) বর্গ মিটার 
= 480 বর্গ মিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 - 320) বর্গ মিটার 
= 160 বর্গ মিটার। 

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
রেখা (line): 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়। 
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে। 
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে। 
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই। 
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। 
যথা- 
ক) সরলরেখা এবং 
খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান: 
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে" 

অপশন ক) তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব, 

অপশন খ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব, 

অপশন গ) তে, ২ + ৪ = ৬ < ৭; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয় এবং 

অপশন ঘ) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, ∠ABC = কত? 


সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
∠ACD = 120° 
∠BAC = 70° 

আমরা জানি, 
বহিঃস্থ কোণের মান বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের মানের সমষ্টির সমান। 
∴ ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD 
বা, ∠ABC = ∠ACD - ∠BAC 
বা, ∠ABC = 120° - 70° 
= 50° ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা)। 

অন্যদিকে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে? 

সমাধান: 
পরিকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

লম্বকেন্দ্র: 
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে। 

ভরকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 

অন্তকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় কোণ = x 
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x 

শর্তমতে, 
x + x = 180° 
বা, 2x = 180° 
বা, x = 180°/2 
∴ x = 90° 
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = 6a² 

প্রশ্নমতে, 
6a² = 96 
বা, a² = 96/6 
বা, a² = 16 
বা, a = √16 
∴ a = 4 

আমরা জানি, 
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a √3 
= 4√3 মিটার 

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√3 মিটার।

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180° 
ধরি, 
১ম কোণ = 11x 
২য় কোণ = 7x  

শর্তমতে, 
11x + 7x = 180° 
বা, 18x = 180° 
বা, x = 180°/18 
∴ x = 10° 
১ম কোণ = 11 × 10° = 110° 
২য় কোণ = 7 × 10° = 70° 

∴ কোণ দুটির পরিমাণ = 110, 70  । 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সমষ্টি 17 সে.মি.। ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c সে.মি. হলে 
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ সে.মি.= ? 

∴ শর্তমতে,
a + b + c = 17 সে.মি. এবং 
√(a² + b² + c²) = 12 
বা, a² + b² + c² = 144 

এখন, 
(a + b + c)² = (17)²
বা, (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 289 
বা, 144 + 2(ab + bc + ca) = 289 
বা, 2(ab + bc + ca) = 289 - 144 
∴ 2(ab + bc + ca) = 145 

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 145 বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি. 
= ৩৬ বর্গ সে.মি. 

ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি. 
∴ ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি. 
∴ ক = ৬ সে.মি. 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি. 
= ৪ × ৬ সে.মি. 
= ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

প্রশ্ন: সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি চাকা = ৩৬০° 
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে, 
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫° 
= ২৪ টি।

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৩৬ 
বা, ২x + ১২ = ৬৮ 
বা, ২x = ৬৮ - ১২ 
বা, ২x = ৫৬ 
বা, x = ৫৬/২ 
∴ x = ২৮ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ২৮ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার = ৪০ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বেলনের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h 
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1) 
এবং আয়তন = πr²h = 150 ............ (2) 

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই, 
πr²h/2πrh = 150/100 
বা, r/2 = 150/100 
বা, 100r = 300 
বা, r = 300/100 
∴ r = 3 

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী 
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০° 
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০° 
বা, ৩x = ৯০° 
বা, x = ৯০°/৩ 
∴ x = ৩০° 
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০° 

∴ বৃহত্তম কোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০° ।

প্রশ্ন: একটি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা টানা যায়? 

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই। 
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়। 

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ: 
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে। 
যথা- 
i. সমরেখ বিন্দু, 
ii. অসমরেখ বিন্দু এবং 
iii. সমবিন্দু। 

সাধারণ বিন্দু: 
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে। 
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না। 
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়। 
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে। 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ০.২ মিটার। ঐ চৌবাচ্চাটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ০.২ মিটার, 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ০.২ মিটার এবং 
চৌবাচ্চার উচ্চতা = ০.২ মিটার 
∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক 
= (০.২ × ০.২ × ০.২) ঘনমিটার 
= ০.০০৮ ঘনমিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার 
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৩০ মিটার 
= ১২০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সাবানের আয়তন = (৫ x ৪ x ১.৫) ঘন সে.মি. 
= ৩০ ঘন সে.মি. 

আবার, 
বাক্সের আয়তন = (৫৫ x ৪৮ x ৩০) ঘন সে.মি. 
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি. 

∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি 
= ২৬৪০ টি।

প্রশ্ন: ২৫০° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। 
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে। 

∴ ২৫০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে 24 সে.মি. দীর্ঘ জ্যা- এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হবে-

সমাধান: 

চিত্রে, AD = 24/2 = 12
ΔOAD এ OD
= √{(OA)² - (AD)²}
= √{(13)² - (12)²}
= √(169 - 144)
= √25
= 5 

∴ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 সে.মি।

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৫১০ টাকা। রুমটির দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে প্রস্থ কত মিটার? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
মেঝের ক্ষেত্রফল = মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ 
= (৫১০/৮.৫) বর্গমিটার 
= ৬০ বর্গমিটার 

এখন, 
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৬০
বা, প্রস্থ = ৬০/৮
∴ প্রস্থ = ৭.৫ মিটার। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৬০° × ২ 
= ১২০° । 

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 মিটার 
∴ ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 মিটার 

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন 
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= (4)³ /(1)³
= 64/1 
= 64 

∴ গোলক বানানো যাবে = 64 টি।