৫০ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [সমন্বিত] - Archived

অপারেশন সার্চলাইট: 
- ১৮ই মার্চ টিক্কা খান, রাও ফরমান আলী 'অপারেশন সার্চলাইট' পরিচালনার নীলনকশা তৈরি করেন।
- ১৯শে মার্চ থেকে পূর্ব পাকিস্তানে ইস্ট বেঙ্গল রেজিমেন্টের বাঙালি সৈন্যদের নিরস্ত্রীকরণ শুরু হয়।
- ২০শে মার্চ সরকার অস্ত্র জমা দেয়ার নির্দেশ জারি করে।
- ঐ দিন জেনারেল ইয়াহিয়া খান তার সামরিক উপদেষ্টা হামিদ খান, জেনারেল টিক্কা খান, জেনারেল পিরজাদা, জেনারেল ওমর প্রমুখকে নিয়ে ঢাকা ক্যান্টনমেন্টে সামরিক প্রস্তুতিকে পূর্ণাঙ্গ রূপ দেন।
- এ সময় প্রতিদিন ৬টি থেকে ১৭টি পর্যন্ত পিআইএ ফ্লাইট বোয়িং ৭০৭ বিমান সৈন্য ও রসদ নিয়ে ঢাকা আসে এবং অসংখ্য সৈন্য ও অস্ত্রশস্ত্র বোঝাই হয়ে আসা জাহাজ চট্টগ্রাম বন্দরে অপেক্ষা করে।
- ২৪শে মার্চ চট্টগ্রাম বন্দরে এম ভি সোয়াত জাহাজ থেকে অস্ত্র ও রসদ খালাস শুরু হয়।
- ২৫শে মার্চ গণহত্যার জন্য বেছে নেওয়া হয়।
- মেজর জেনারেল রাও ফরমান আলীকে ঢাকা শহরে অপারেশন সার্চলাইটের মূল দায়িত্ব দেওয়া হয়।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম, শ্রেণি।

মুক্তিযুদ্ধ সেক্টর:
- ল্যান্স নায়েকমুন্সী আব্দুর রব- ১নং সেক্টর।
- সিপাহি মোস্তফা কামাল- ২নং সেক্টর।
- স্কোয়াড্রন ইন্জিনিয়ার রুহুল আমিন- ১০নং সেক্টর।
- ল্যান্স নায়েক নূর মোহাম্মদ শেখ- ৮নং সেক্টর।
- সিপাহি হামিদুর রহমান- ৪নং সেক্টর।
- ক্যাপ্টেন মহিউদ্দীন জাহাঙ্গির- ৭নং সেক্টর।
- ফ্লাইট লেফটেন্যান্ট মতিউর রহমান- কোনো সেক্টরে ছিলেন না।

উৎস: মুক্তিযোদ্ধা বিষয়ক মন্ত্রণালয়।

জুলাই অভ্যুত্থান:
- বৈষম্যবিরোধী ছাত্র আন্দোলনের প্রথম শহিদ- আবু সাইদ।
- ১৬ জুলাই ২০২৪ সালে তিনি শহিদ হন।
- আবু সাঈদ ২০০১ সালে রংপুরের জেলার পীরগঞ্জ উপজেলার বাবনপুর গ্রামে জন্ম গ্রহন করেন।
- তার বাবা-মা , মকবুল হোসেন ও মনোয়ারা বেগম।
- আবু সাইদ বেগম রোকেয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের ইংরেজি বিভাগের ১২ ব্যাচের শিক্ষার্থী ছিলেন।
- তিনি বিশ্ববিদ্যালয়ের কোটা সংস্কার আন্দোলনের অন্যতম সমন্বায়ক ছিলেন।
- ১৬ জুলাই দুপুরে বেগম রোকেয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের সামনে পার্ক মোড়ে গুলিবিদ্ধ হন আবু সাঈদ।

উৎস: প্রথম আলো।

মুক্তিযুদ্ধ পরিচালনা:
- ১৯৭১ সালের ১০ই এপ্রিল মুজিবনগর সরকার গঠিত হয়।
- তখন সরকার ৪টি সামরিক জোনে বাংলাদেশকে ভাগ করে ৪ জন সেক্টর কমান্ডার নিযুক্ত করে।
- ১১ই এপ্রিল তা পুনর্গঠিত করে ১১টি সেক্টরে বিভক্ত করা হয়।
- এ ছাড়াও  তিনটি ব্রিগেড ফোর্স গঠিত হয়।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

• জুলাই গণঅভ্যুত্থান:
- ৮৪৪ জন জুলাই শহীদের নাম গেজেট আকারে প্রকাশ করেছে।
- এর মধ্যে ৬ থেকে ৬০ বছর বয়সী ১০ জন নারীর নাম রয়েছে।
- শহীদ ১০ জন নারীর মধ্যে ৭ জন ঢাকায়, ২ জন নারায়ণগঞ্জে ও ১ জন সাভারে গুলিবিদ্ধ হয়েছিলেন।
- প্রথম নারী শহীদ নাঈমা সুলতানা।
- সময়:  ২০২৪ সালের ১৯ জুলাই রাজধানীর উত্তরার বাসার বারান্দায় গুলিবিদ্ধ হয়ে মারা যায়।

 উৎস: প্রথম আলো।

- ধীরেন্দ্রনাথ দত্ত সর্ব প্রথম বাংলা ভাষাকে রাষ্ট্র ভাষা করার দাবী উত্থাপন করেন।

ভাষা আন্দোলন:
- ভাষা আন্দোলনের সময় পূর্ব বাংলার মুখ্যমন্ত্রী ছিলেন নুরুল আমিন।
- ফিরোজ খান নুন ভাষা আন্দোলনের সময় পূর্ব বাংলার গভর্নর ছিলেন।
- প্রধানমন্ত্রী ছিলেন খাজা নাজিমউদ্দীন।
- বাঙালির মুক্তি সংগ্রামের প্রথম ঘটনা হলো ভাষা আন্দোলন।
- ভাষা আন্দোলনের মধ্য দিয়েই বাঙালি জাতীয়তাবোধের উন্মেষ ঘটে।
- এই আন্দোলনের সূত্রপাত ঘটে ১৯৪৭ সালে এবং চূড়ান্ত রূপ লাভ করে ১৯৫২ সালে।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

প্রথম নির্বাচন: 
- বাংলাদেশের প্রথম জাতীয় সংসদ নির্বাচন ১৯৭৩ সালে।
- নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়ঃ ৭ই মার্চ ১৯৭৩ সালে।
- প্রধান নির্বাচন কমিশনারঃ বিচারপতি এম ইদ্রিস।
- স্বাধীন সার্বভৌম বাংলাদেশের এটিই ছিল সর্বপ্রথম জাতীয় সংসদ নির্বাচন।
- এই নির্বাচনে আওয়ামী লীগ জয় লাভ করে।
- মোট ৩০০টি আসনের মধ্যে আওয়ামী লীগ ২৯৩টি আসন লাভ করে।
- এই নির্বাচনের সূত্রে বঙ্গবন্ধু শেখ মুজিবর রহমান স্বাধীন বাংলাদেশের প্রথম প্রধানমন্ত্রী হয়েছিলেন।
- তিনি ঢাকা-১২ আসন থেকে বিজয়ী হয়েছিলেন।
- মোট আসন: ৩০০।
- সংরক্ষিত মহিলা আসন: ১৫ টি।
- অংশগ্রহণকারী মোট দল: ১৪ টি।

উৎস: মুক্তিযুদ্ধ আর্কাইভ।

মুক্তিযুদ্ধে নারীর অবদান:
- ভাষা আন্দোলন থেকে শুরু করে বাংলাদেশের প্রতিটি আন্দোলন সংগ্রামে পুরুষের পাশাপাশি নারীরাও অংশ নিয়েছেন
- ১৯৭১ সালের মুক্তিযুদ্ধ প্রকৃত অর্থেই ছিল জনযুদ্ধ।
- নারী-পুরুষ নির্বিশেষে সর্বাত্মক এই যুদ্ধে শামিল হয়েছিল সমানভাবে।
- মোট গেজেটভুক্ত নারী মুক্তিযোদ্ধা ২০৩ জন।
- বর্তমানে মোট বীরাঙ্গনা নারী মুক্তিযোদ্ধার সংখ্যা ৪৪৮ জন।
- এদের মধ্যে খেতাবপ্রাপ্ত নারী মুক্তিযোদ্ধা ২ জন।
- ২ জন নারী বীর প্রতীক: ক্যাপ্টেন ডা. সিতারা বেগম এবং তারামন বিবি।

উৎস: বাংলাদেশ মুক্তিযোদ্ধা কল্যাণ ট্রাস্ট ওয়েবসাইট।

সংবিধান:
- সংবিধানের খসড়া প্রণয়নের লক্ষ্যে খসড়া সংবধিান প্রণয়ন কমিটি গঠন করা হয়: ১১ এপ্রিল, ১৯৭২ সালে।
- খসড়া সংবিধান প্রণয়ন কমিটির প্রথম অধিবেশন অনুষ্ঠিত হয়: ১৭ এপ্রিল, ১৯৭২ সালে।
- খসড়া সংবধিান প্রণয়ন কমিটি সংবিধানের চূড়ান্ত খসড়া প্রণয়ন করেন: ১১ অক্টোবর, ১৯৭২ সালে।
- খসড়া সংবিধান গণপরিষদে উত্থাপিত হয়: ১২ অক্টোবর, ১৯৭২ সালে।
- গণপরিষদে বাংলাদেশের সংবিধান গৃহীত হয়: ৪ নভেম্বর, ১৯৭২ সালে।
- গণপরিষদের সদস্যগণ হস্তলিখিত সংবিধানে স্বাক্ষর করেনঃ ১৪ ডিসেম্বর ও ১৫ ডিসেম্বর, ১৯৭২ সালে।
- বাংলাদেশের সংবিধান কার্যকর হয়: ১৬ ডিসেম্বর, ১৯৭২ সালে।

উৎস: পৌরনীতি, এসএসসি প্রোগ্রাম, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

১৯৬৯ সালের গণঅভ্যুত্থান:
- ১৯৬৯ সালে ১১ দফা দাবি পেশ করে।
- ঊনসত্তরের গণঅভ্যুত্থান ছিল পাকিস্তান প্রতিষ্ঠার পরবর্তীকালের সবচেয়ে বড় আন্দোলন।
- ১৯৬৯ সালের ৪ঠা জানুয়ারি পূর্ব পাকিস্তান ছাত্র ইউনিয়ন (মতিয়া ও মেনন গ্রুপ), পূর্ব পাকিস্তান ছাত্রলীগ ও ডাকসুর নেতৃবৃন্দ মিলে 'সর্বদলীয় ছাত্র সংগ্রাম পরিষদ' গঠন করেন।
- ছাত্র সংগ্রাম পরিষদ বঙ্গবন্ধুর ছয় দফার সাথে মিলিয়ে আরও কয়েকটি দাবি নিয়ে ১১ দফা দাবি পেশ করে।
- ২২শে মার্চ আইয়ুব খান পূর্ব পাকিস্তানের গভর্নর মোনায়েম খানকে অপসারণ করেন।
- ২৫শে মার্চ আইয়ুব খান সেনাপ্রধান জেনারেল ইয়াহিয়া খানের নিকট ক্ষমতা হস্তান্তর করেন।
-  ঊনসত্তরের গণঅভ্যুত্থানে গ্রাম ও শহরের কৃষক ও শ্রমিকদের মাঝে শ্রেণি চেতনার উন্মেষ ঘটে। 

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি, বোর্ড বই।

ভাষা আন্দোলনের পটভূমি:
- ১৯৪৭ সালের ১৪ই আগস্ট ভারত উপমহাদেশ বিভক্ত হয়ে ভারত ও পাকিস্তান সৃষ্টি হয়।
- তৎকালীন পূর্ববঙ্গ পাকিস্তানের একটি অংশে পরিণত হয়।
- পাকিস্তান নামক এই নতুন রাষ্ট্রের শাসকগোষ্ঠী প্রথমেই বাঙালিকে শোষণ করার কৌশল হিসেবে বাংলা ভাষার ওপর আঘাত হানে।
- ১৯৪৭ সালে পাকিস্তান রাষ্ট্র সৃষ্টির পূর্বেই নতুন রাষ্ট্র পাকিস্তানের রাষ্ট্রভাষা কী হবে এ প্রশ্ন দেখা দিয়েছিল।
- সে সময় মুসলিম লীগের প্রভাবশালী নেতারা উর্দুকে পাকিস্তানের রাষ্ট্রভাষা করার পক্ষে মতামত দেন।
- তখনই আবদুল হক ও ড. মুহম্মদ শহীদুল্লাহসহ বাংলার বুদ্ধিজীবী, শিক্ষার্থী ও লেখকগণ এর প্রতিবাদ করেন।
- অধ্যাপক আবুল কাশেমের নেতৃত্বে ভাষা আন্দোলনের প্রথম সংগঠন তমদ্দুন মজলিস গঠিত হয়।
- তমদ্দুন মজলিস ভাষা আন্দোলনের প্রথম পুস্তিকা 'পাকিস্তানের রাষ্ট্রভাষা বাংলা না উর্দু' প্রকাশ করে।
- যেখানে রাষ্ট্রভাষা বাংলা দাবির পক্ষে যুক্তি উপস্থাপন করা হয়।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি, বোর্ড বই।

পাক-বাহিনীর আত্মসমর্পণ: 
- সময়: ১৯৭১ সালের ১৬ ডিসেম্বর।
- স্থান: ঢাকার রেসকোর্স (বর্তমানে সোহরাওয়ার্দী উদ্যান) ময়দানে।
- পাকিস্তান ইস্টার্ন কমান্ডের প্রধান লে. জেনারেল আমির আবদুল্লাহ খান নিয়াজী ৯৩ হাজার সৈন্য ও অস্ত্র-শস্ত্রসহ ভারতীয় ইস্টার্ন কামান্ডের প্রধান লে. জেনারেল জগজিৎ সিং আরোরার নিকট আত্মসমর্পণ করেন।
- নিয়াজী পাকিস্তান সরকার ও সেনাবাহিনীর পক্ষ থেকে যৌথ কমান্ডের কাছে আত্মসমর্পণের দলিলে স্বাক্ষর করেন।
- বাংলাদেশ সরকারের পক্ষ থেকে গ্রুপ ক্যাপ্টেন এ কে খন্দকার উপস্থিত ছিলেন।

উৎস: ইতিহাস এসএসসি, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

প্রশ্ন: (xyz)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, a⁰ = 1, যদি a ≠ 0 হয়।

∴ (xyz)⁰ = 1

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

প্রশ্ন: log₃(9/243) এর মান কত?

সমাধান:
= log₃(9/243)
= log₃(1/27)  
= log₃(3^-3)   
= - 3 × log₃(3)
= - 3 × 1
= - 3

প্রশ্ন:  = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: সাবিনা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ২০০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে আগের মাসের তুলনায় ২৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। সাবিনা ১৫তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ২০০০
সাধারণ অন্তর, d = ২৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ১৫তম পদ = ২০০০ + (১৫ - ১) × ২৫০
= ২০০০ + ১৪ × ২৫০
= ২০০০ + ৩৫০০
= ৫৫০০

∴ সাবিনা ১৫তম মাসে সঞ্চয় করবেন ৫৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36 এর মান কত?

সমাধান:
= 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36
= 2log₅(5²) + 3log₇(7³) + 4log₆(6²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₇7 + 4 × 2log₆6
= 4log₅5 + 9log₇7 + 8log₆6
= 4 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1   [ log_aa = 1]
= 4 + 9 + 8
= 21

প্রশ্ন: 2, p, q, 54 একটি গুণোত্তর ধারার পরপর চারটি পদ হলে, pq এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
চতুর্থ পদ = 54
⇒ ar³ = 54
⇒ 2 × r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

∴ দ্বিতীয় পদ, p = a × r^{2 - 1} = a × r
= 2 × 3 = 6
∴ তৃতীয় পদ, q = a × r^{3 - 1} = a × r² 
= 2 × 3² = 18

∴ pq = 6 × 18 = 108

প্রশ্ন: ১ হতে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫০ × (৫০ + ১)/২
= (৫০ × ৫১)/২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

∴ ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১২৭৫ 

প্রশ্ন: log_ba³ = 3m এবং log_ab⁵ = 5n হলে, mn = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3m
⇒ 3 × log_ba = 3m
⇒ log_ba = m

আবার,
log_ab⁵ = 5n
⇒ 5 × log_ab = 5n
⇒ log_ab = n

∴ mn = log_ba × log_ab
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ...... ধারাটির কোন পদ 125 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 125
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁶
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদ 125

প্রশ্ন: 81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^4x = 1
⇒3⁴ × (3^1/2)^4x = 1
⇒ 3⁴ × 3^2x = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 3⁰
⇒ 4 + 2x = 0
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৮ এবং সাধারণ অন্তর ৫ হলে ধারার ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৫
= ৮ + (৯৯ × ৫)
= ৮ + ৪৯৫
= ৫০৩

∴ ধারার ১০০তম পদ হলো ৫০৩

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 128 + 512 + 2048 + ...... ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 128
দ্বিতীয় পদ = 512
সাধারণ অনুপাত, r = 512 ÷ 128 = 4

∴ চতুর্থ পদ = a × r³
= 128 × 4³
= 128 × 64
= 8192

∴ ধারাটির পরবর্তী পদ হবে 8192

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 5^{x + 2} = 1/125 হবে?

সমাধান:
5^{x + 2} = 1/125
⇒ 5^{x + 2} = 1/(5³)
⇒ 5^{x + 2} = 5^{- 3}
⇒ x + 2 = - 3
⇒ x = - 3 - 2
∴ x = - 5

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= a + 14d

প্রশ্নমতে,
a + 14d = 92

আমরা জানি, প্রথম n পদের সমষ্টি:
S_n = (n/2) × [2a + (n - 1)d]
∴ প্রথম 29টি পদের সমষ্টি,
S₃₀ = (29/2) × [2a + (29 - 1)d]
= (29/2) × (2a + 28d)
= (29/2) × [2(a + 14d)]
= 29 × (a + 14d)
= 29 × 92
= 2668

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5b - 3)] = log₁₀[10(b + 2)]
⇒ 25b - 15 = 10b + 20
⇒ 15b = 35
⇒ b = 35/15
∴ b = 7/3

প্রশ্ন: 25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 25
সাধারণ অনুপাত, r = 50/25 = 2

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3200
⇒ 25 × 2^{n - 1} = 3200
⇒ 2^{n - 1} = 3200/25
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {25 × (2⁸ - 1)}/(2 - 1)
= 25 × (256 - 1)
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: d¹⁰ × d^-7 × d^-2 × d^-1 × d⁰ = কত?

সমাধান:
d¹⁰ × d^-7 × d^-2 × d^-1 × d⁰
= d^{10 - 7 - 2 - 1 + 0} 
= d⁰
= 1

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ........ + ১৯৯ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১৯৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৯৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৯৯
⇒ ৩ + (n - ১) × ৪ = ১৯৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৯৬
⇒ n - ১ = ১৯৬/৪
⇒ n - ১ = ৪৯
⇒ n = ৫০

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (৫০/২) × {২ × ৩ + (৫০ - ১) × ৪}
= ২৫ × {৬ + ৪৯ × ৪}
= ২৫ × {৬ + ১৯৬}
= ২৫ × ২০২
= ৫০৫০

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8  [log_ab = c ⇒ a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8
⇒ √x³ = 2³
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

প্রশ্ন: 3 + 3/4 + 3/16 + 3/64 + ...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/4)/3 = 1/4 < 1

∴ অসীমতক সমষ্টি, S = a/(1 - r)
= 3/(1 - 1/4)
= 3/(3/4)
= 3 × (4/3)
= 4

প্রশ্ন: 5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x
= 5^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^x . 5
= 5^x . 5¹
= 5^{x + 1}

প্রশ্ন: 81^0.15 × 81^0.10 = ?

সমাধান:
81^0.15 × 81^0.10
= 81^{0.15 + 0.10}
= 81^0.25
= (3⁴)^0.25
= (3⁴)^1/4
= 3¹
= 3

প্রশ্ন: একজন কৃষক প্রথম দিনে 1টি গাছ রোপণ করলো, দ্বিতীয় দিনে 2টি গাছ রোপণ করলো, তৃতীয় দিনে 4টি গাছ রোপণ করলো। এভাবে প্রতিদিন গাছ রোপণ দ্বিগুণ হচ্ছে। তাহলে 12 দিনে মোট কত গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2

n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

∴ 12 দিনের মোট গাছের সংখ্যা,
S₁₂ = 1 × (2¹² - 1)/(2 - 1)
= (4096 - 1)/1
= 4095

প্রশ্ন: 625√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₅(625√5)
= log₅(625 × √5)
= log₅(5⁴ × 5^1/2)
= log₅5^{(4 + 1/2)}
= log₅5^(9/2)
= (9/2) × log₅5
= (9/2) × 1
= 9/2