নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: 3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{3(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 1 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 1
⇒ - x = 4
∴ x = - 4

প্রশ্ন: log₃(1/81) = কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃(3^{- 4})
= - 4 × log₃3  [log_a(mⁿ) = n . log_am]
= - 4 × 1  [log_aa = 1]
= - 4

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ [আমরা জানি, a⁰ =1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

প্রশ্ন: 2, 4, 6, 8,..... অনুক্রমটির 20 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
2, 4, 6, 8, ... এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = 2 + (20 - 1) × 2
= 2 + (19) × 2
= 2 + 38
= 40

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ 12 তম পদ = 3 × 2^{(12 - 1)}
= 3 × 2¹¹
= 3 × 2048
= 6144

প্রশ্ন: log_x(0.0001) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.0001) = - 4
⇒ x^{- 4} = 0.0001  [log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ x^{- 4} = 1/10000
⇒ x^{- 4} = 1/10⁴
⇒ x^{- 4} = (1/10)⁴
⇒ x^{- 4} = 10^{- 4}
∴ x = 10

প্রশ্ন: 10 + x + y + 640 +.......... গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, y হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ y = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, y = 10 × 4²
বা, y = 10 × 16
∴ y = 160

প্রশ্ন: (81)^0.45 × (81)^0.30 = ?

সমাধান:
(81)^0.45 × (81)^0.30
= (81)^{(0.45 + 0.30)}
= (81)^0.75
= (81)^75/100
= (81)^3/4
= (3⁴)^(3/4)
= 3³
= 27

প্রশ্ন: log_a(b³) = 3x এবং log_b(a³) = 3y হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, log_a(b³) = 3x
⇒ 3log_a(b) = 3x
⇒ log_a(b) = x

আবার, log_b(a³) = 3y
⇒ 3log_b(a) = 3y
⇒ log_b(a) = y

আমরা জানি, log_a(b) × log_b(a) = 1
সুতরাং, xy = loga(b) × logb(a)
∴ xy = 1

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + 21 +..... ধারাটির কোন পদ 125?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর,d = 9 - 5 = 4
ধারাটির n তম পদ = 125
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
5 + (n - 1) × 4 = 125
বা, 4(n - 1) = 125 - 5
বা, 4(n - 1) = 120
বা, n - 1 = 120/4
বা, n - 1 = 30
বা, n = 30 + 1
∴ n = 31

∴ ধারাটির 31 তম পদ = 125

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি 7 এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে 8 বেশি হলে ধারার 101তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 8
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ = 7 + (101 - 1) × 8
= 7 + (100 × 8)
= 7 + 800
= 807

প্রশ্ন: log₃(√27) + log₃√(1/3) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn) হয়।
সুতরাং, log₃(√27) + log₃(√(1/3)
= log₃√(27 × 1/3)
= log₃(√9)
= log₃(3)
= 1

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.......+15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 15
∴ সমষ্টি = {15(15 + 1)(2 × 15 + 1)}/6
= {15 × 16 × (30 + 1)}/6
= (15 × 16 × 31)/6
= 7440/6
= 1240

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 128 এবং অষ্টম পদটি 2048 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনেকরি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r
চতুর্থ পদ = 128
∴ ar^{(4 - 1)} = 128
⇒ ar³ = 128 ......(1)
অষ্টম পদ = 2048
∴ ar^{(8 - 1)} = 2048
⇒ ar⁷ = 2048 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar³ = 2048/128
⇒ r^{(7 - 3)} = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

এখন, r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a × 2³ = 128
⇒ a × 8 = 128
⇒ a = 128/8
∴ a = 16

সুতরাং, প্রথম পদটি হলো 16।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।

• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 1/√2, 1, √2, ...... ধারাটির কোন পদ 32√2 হবে?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 32√2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
(1/√2) × (√2)^{(n - 1)} = 32√2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2/(1/√2)
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2 × √2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32 × 2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 64
⇒ (√2)^{(n - 1)} = (√2)¹²
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

সুতরাং, ধারাটির 13 তম পদ হবে 32√2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y × 5¹
= 5^{y + 1}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 216 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar এবং ar²।
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

আবার, প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 216
⇒ a³r³ = 216
⇒ (ar)³ = 216
⇒ b³ = 216 [যেহেতু b = ar]
⇒ b³ = 6³
∴ b = 6

প্রশ্ন: যদি x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে (1/8)(x + y)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি যে, যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত (power) যদি 0 হয়, তবে তার মান হয় 1।
এখানে, x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হওয়ায় (x + y) অশূন্য সংখ্যা।
সুতরাং, (x + y)⁰ = 1

এখন,
(1/8)(x + y)⁰
= (1/8) × 1 
= 1/8
= 8^{- 1}

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 2^{(n + 1)} হলে ধারাটির ১ম 5টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = n . 2^{(n + 1)}
সুতরাং,
১ম পদ = 1 × 2^{(1 + 1)} = 1 × 2² = 1 × 4 = 4
২য় পদ = 2 × 2^{(2 + 1)} = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
৩য় পদ = 3 × 2^{(3 + 1)} = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48
৪র্থ পদ = 4 × 2^{(4 + 1)} = 4 × 2⁵ = 4 × 32 = 128
৫ম পদ = 5 × 2^{(5 + 1)} = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320

∴ ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল = 4 + 16 + 48 + 128 + 320
= 516

প্রশ্ন: log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1
⇒ log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + log₁₀10
⇒ log₁₀{2(b + 2)} = log₁₀{10(b - 1)}
⇒ 2(b + 2) = 10(b - 1)
⇒ 2b + 4 = 10b - 10
⇒ 4 + 10 = 10b - 2b
⇒ 14 = 8b
⇒ b = 14/8
∴ b = 7/4

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) +............ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3) / 1 = 1/3

যেহেতু |r| < 1 ,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ S₅ = 1{1 - (1/3)⁵}/(1 - 1/3)
= {1 - (1/243)}/(2/3)
= {(243 - 1)/243}/(2/3)
= (242/243)/(2/3)
= (242/243) × (3/2)
= 121/81

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S₁₉ = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

প্রশ্ন: log4 + log16 + log64 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log4 + log16 + log64 + ......... প্রথম 10টি পদের সমষ্টি
= log4 + log4² + log4³ + ......... + log4¹⁰
= log4 + 2log4 + 3log4 + ......... + 10log4
= (1 + 2 + 3 + ......... + 10)log4
= {10(10 + 1)/2} log4 [n সংখ্যক স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2]
= {(10 × 11)/2} log4
= 55 × log4
= 55log4

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ...... + 960 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 = 2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
15 × 2^{(n - 1)} = 960
⇒ 2^{(n - 1)} = 960/15
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

যেহেতু r > 1,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ S₇ = 15(2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 15(128 - 1)/1
= 15 × 127
= 1905

প্রশ্ন: যদি 3^a = 729 হয়, তবে 3^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
3^a = 729
⇒ 3^a = 3⁶
⇒ a = 6

∴ 3^{(a - 3)}
= 3^{6 - 3}
= 3³
= 27

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 5 = 5
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 250
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 5 + (n - 1) × 5 = 250
বা, 5(n - 1) = 250 - 5
বা, 5(n - 1) = 245
বা, n - 1 = 245/5
বা, n - 1 = 49
∴ n = 49 + 1 = 50

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₅₀ = (50/2){(2 × 5) + (50 - 1) × 5}
= 25{10 + (49 × 5)}
= 25{10 + 245}
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: 125√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
log₅(125√5)
= log₅(5³ × 5^1/2)
= log₅(5^{3 + 1/2})
= log₅{5^{(6 + 1)/2}}
= log₅5^7/2
= 7/2 log₅5
= 7/2 × 1
= 7/2

প্রশ্ন: x^{- 3} - 0.008 = 0 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান:
x^{- 3} - 0.008 = 0
বা, x^{- 3} = 0.008
বা, 1/x³ = 8/1000
বা, 1/x³ = 1/125
বা, 1/x³ = 1/5³
বা, x³ = 5³
বা, x = 5
বা, x² = 5²
∴ x² = 25

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 0, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[log₃(log₂a)] = 0
⇒ log₃(log₂a) = 2⁰
⇒ log₃(log₂a) = 1
⇒ log₂a = 3¹
⇒ log₂a = 3
⇒ a = 2³
∴ a = 8

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2×1 + (n - 1)×2]
= n/2 [2 + 2n - 2]
= n/2 × 2n
= n²
সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n²।

প্রশ্ন: a^1/6 = √5 হলে, a = কত?

সমাধান:
a^1/6 = √5
বা, (a^1/6)⁶ = (√5)⁶
বা, a^{(1/6) × 6} = (5^1/2)⁶
বা, a = 5^{(1/2) × 6}
বা, a = 5³
∴ a = 125

প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।

প্রশ্ন: যদি log_x2 = a এবং log_x3 = b হয়, তাহলে log_x72 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, log_x2 = a এবং log_x3 = b
log_x72
= log_x(8 × 9)
= log_x(2³ × 3²)
= log_x(2³) + log_x(3²) [log(mn) = logm + logn]
= 3log_x2 + 2log_x3
= 3a + 2b [মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদ 60 হলে 12 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 10
আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 5ম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 60 = a + 4 × 10
বা, 60 = a + 40
বা, a = 60 - 40
∴ a = 20

এখন, 12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 20 + 11 × 10
= 20 + 110
= 130
সুতরাং, ধারাটির 12তম পদ হলো 130।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log(a²/bc) + log(b²/ca) + log(c²/ab) = ?

সমাধান:
আমরা জানি, log(m/n) = log(m) - log(n) এবং log(m^p) = plog(m)
সুতরাং,
log(a²/bc) + log(b²/ca) + log(c²/ab)
= (log a² - log bc) + (log b² - log ca) + (log c² - log ab)
= (2log a - log b - log c) + (2log b - log c - log a) + (2log c - log a - log b)
= 2log a - log b - log c + 2log b - log c - log a + 2log c - log a - log b
= (2log a - log a - log a) + (- log b + 2log b - log b) + (- log c - log c + 2log c)
= 0 + 0 + 0
= 0

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার 5ম পদ 30 এবং 14তম পদ 84 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং,
5ম পদ = a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ------ (1)

14তম পদ = a + (14 - 1)d = 84
⇒ a + 13d = 84 ------ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + 13d) - (a + 4d) = 84 - 30
⇒ 9d = 54
⇒ d = 54/9
⇒ d = 6
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো 6।