১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d
= 4 + (7 - 1)4
= 28

প্রশ্ন: lna/(a - 1) এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিচের কোন শর্তটি প্রযোজ্য?

সমাধান:
lna এর শর্ত হচ্ছে a > 0 [a ঋণাত্মক হবে না]
আবার,
কোন ভগ্নাংশের হর 0 হতে পারে না।
সুতরাং, ২টি শর্তই পূরণ করতে হবে।

অর্থাৎ, lna/(a - 1) এর মান নির্ণয়ের জন্য a > 0 এবং a ≠ 1 হতে হবে।

প্রশ্ন: 9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1} = কত?

সমাধান:
9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1} 
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ ⋅ 2^-1
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ × (1/2)
= 9 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(9 - 1)
= 2ⁿ × 8
= 2ⁿ × 2³
= 2^{n + 3}

প্রশ্ন: 10 এবং 80 এর মধ্যে (সংখ্যা দুটি সহ) কয়টি সংখ্যা 5 দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(80 - 10)/5} + 1
= (70/5) + 1
= 14 + 1
= 15 টি

প্রশ্ন: 256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₄256 
= log₄4⁴
= 4 log₄4 [যেহেতু log_aa = 1]
= 4 × 1
= 4

প্রশ্ন: রাকিব একটি মাটির ব্যাংকে প্রথম দিনে 1টি, ২য় দিনে 2টি, ৩য় দিনে 4টি মুদ্রা জমা করে। এভাবে মুদ্রা জমা করলে 10 দিনে মোট কতটি মুদ্রা জমা করবে?

সমাধান:
রাকিবের টাকা জমা করার অনুক্রম: 1, 2, 4, . . . . , n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = 10
১ম পদ, a = 1
অনুপাত, r = 2/1 = 2

∴ 10টি পদের সমষ্টি = 1 × {(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)} [∵ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}]
= (1024 - 1)/1
= 1023

∴ রাকিব 10 দিনে মোট 1023 টি মুদ্রা জমা করবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা:
সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। 

যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

সমাধান:
ধরি,
9³ × 81² ÷ 27³ = 3^a
⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)³  = 3^a
⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3⁹ = 3^a
⇒ 3^{6 + 8 - 9} = 3^a
⇒ 3⁵ = 3^a
∴ a = 5

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 50² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {50(50 + 1)(2 ⋅ 50 + 1)}/6
= 42925

প্রশ্ন: log_x (9/16) = - (1/2) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)² = 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

প্রশ্ন: [2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1} = কত?

সমাধান:
[2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1} 
= [2 - (1/3)^{- 1}]^{- 1}
= [2 - 3]^{- 1}
= [- 1]^{- 1}
= - 1/1
= - 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + .......... + 256 ধারাটি-

সমাধান:
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r হলে,
n তম পদ (সাধারণ পদ) = ar^n-1

উক্ত ধরাটির ক্ষেত্রে,
4/2 = 2
8/4 = 2
16/8 = 2
যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36?

সমাধান: 
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

ধরি, ধারার n তম পদ = 36
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12