প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব   
cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
secθ = অতিভুজ/ভূমি 
tanθ = লম্ব/ভূমি 
cotθ = ভূমি/লম্ব

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ১২ মিটার, প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২(১২ + ৮) মিটার
= ২ × ২০ মিটার
= ৪০ মিটার 

আমরা জানি,
চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = পরিসীমা × উচ্চতা
= (৪০ × ৩.৫) বর্গমিটার 
= ১৪০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ = 1/cosecθ
cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ
secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ

প্রশ্ন: একটি ঘোড়া ৭ মিটার লম্বা দড়ি দিয়ে বাঁধা আছে। দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঘোড়াটি যতটুকু স্থানের ঘাস খেতে পারবে তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঐ স্থানটি একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র তৈরি হবে।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r = ৭ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= (২২/৭) × ৭^২  বর্গ মিটার
= (২২/৭) × ৭ × ৭  বর্গ মিটার
= ১৫৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: cosec60° + sec30° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
cosec60° + sec30°
= (2/√3) + (2/√3)
= 2 × (2/√3)
= 4/√3

প্রশ্ন: নিচের কোন শর্তটি সত্যি হলে, sin²θ = (x + y)²/4xy  হবে?

সমাধান: 

আমরা জানি,

sin^⁡2θ ≤ 1
∴ sin²θ এর সর্বোচ্চ মান = 1

∴ 1 = (x + y)²/4xy
⇒ (x + y)² = 4xy
⇒ x² + 2xy + y² - 4xy = 0
⇒ x² - 2xy + y² = 0
⇒ (x - y)² = 0
⇒ x - y = 0
⇒ x = y

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
এখানে, 
দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার = ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মিটার = ২০০ সে.মি.

∴ আয়তন = (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার 
= ৩০০০০ লিটার                                [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]

প্রশ্ন: ১৮ ইঞ্চি উচু একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৩ ফুট এবং প্রস্থ ২ ফুট। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ৩ ফুট, প্রস্থ ২ ফুট
এবং উচ্চতা, ১৮ ইঞ্চি = ১৮/১২ ফুট = ১.৫ ফুট

∴ বাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৩ × ২ × ১.৫) ঘনফুট
= ৯ ঘনফুট

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয়, তাহলে cot²θ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 − sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 − 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ cot²30° = (√3)² = 3

প্রশ্ন: যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
cotθ = ভূমি/লম্ব = 4/3
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3
ধরি, অতিভুজ = x 

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x² = 4² + 3²
⇒ x² = 16 + 9
⇒ x² = 25
⇒ x² = 5²
⇒ x = 5

এখন, sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5
এবং, cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 4/5

∴ (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) 
= [3(3/5) + 2(4/5)]/[3(3/5) - 2(4/5)]
= (17/5)/(1/5)
= 17 

প্রশ্ন: যদি ১০ ফুট দীর্ঘ এবং ৮ ফুট প্রস্থের একটি মাদুর দিয়ে একটি রুমের মেঝের ২৫% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মাদুরের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাদুরের দৈর্ঘ্য ১০ ফুট এবং প্রস্থ ৮ ফুট
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = ১০ × ৮ বর্গফুট 
= ৮০ বর্গফুট

প্রশ্ন: যদি, sec⁴θ - tan⁴θ = 5/4 হয়, তবে, sec²θ + tan²θ =?

সমাধান: 
sec⁴θ − tan⁴θ = 5/4
⇒ (sec²θ − tan²θ) (sec²θ + tan²θ) = 5/4
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) = 5/4                    [আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1]
∴ sec²θ + tan²θ = 5/4

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার
এবং বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে

∴ রাস্তা সহ মোট দৈর্ঘ্য = {২৫ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৯ মিটার
এবং, রাস্তা সহ মোট প্রস্থ = {২০ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৯ × ২৪)} বর্গ মিটার
= ৬৯৬ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: [(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45° এর মান বের করুন।

সমাধান: 
[(1 - sec²45°)/(1 + sec²45°)] + cot²45°
= [{1 - (√2)²}/{1 + (√2)²}] + (1)²                    [sec45° = √2 এবং cot45° = 1]
= [(1 - 2)/(1 + 2)] + 1
= 1 - (1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: ১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ ৬০% সমান ১৮০ বর্গফুট 
∴ ১% সমান (১৮০/৬০) বর্গফুট
∴ ১০০% সমান {(১৮০ × ১০০)/৬০}  বর্গফুট
= ৩০০ বর্গফুট 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ৪ : ৩ : ২  এবং তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ৪৬৮ বর্গমিটার হলে, তার আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৪x, ৩x ও ২x মিটার

∴ ২{(৪x × ৩x) + (৩x × ২x )+ (২x × ৪x)} = ৪৬৮
⇒ ১২x^২ + ৬x^২ + ৮x^২ = ২৩৪
⇒ ২৬x^২ = ২৩৪
⇒ x^২ = ৯
⇒ x = ৩

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর,
দৈর্ঘ্য = ৪ × ৩ = ১২ মিটার 
প্রস্থ = ৩ × ৩ = ৯ মিটার
এবং উচ্চতা = ২ × ৩ = ৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = (১২ × ৯ × ৬) ঘনমিটার
= ৬৪৮ ঘনমিটার

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B কোণটি সমকোণ।
এবং, tanA = লম্ব/ভূমি  = 1 
অর্থাৎ, ভূমি = 1, লম্ব = 1
ধরি, অতিভুজ = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
a² = 1² + 1²
⇒ a² = 1 + 1
⇒ a² = 2
⇒ a = √2

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ  = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2sinAcosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) 
= 2 × (1/2)
= 1

আবার,
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - ∠B
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - 1 সমকোণ
∴ ∠A + ∠C = 1 সমকোণ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মসজিদের ১৫ মিটার দীর্ঘ এবং ১৩ মিটার প্রশস্ত মেঝে ২.৫ মিটার লম্বা এবং ১.২০ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
মসজিদের মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১৩) বর্গমিটার 
= ১৯৫ বর্গমিটার 

∴ প্রতিটি মাদুরের ক্ষেত্রফল = (২.৫ × ১.২০) বর্গমিটার 
= ৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় মাদুরের সংখ্যা = ১৯৫/৩ টি
= ৬৫ টি

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ যদি অর্ধেক করা হয় তাহলে পুরাতন ও নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, পুরাতন গোলকের ব্যাসার্ধ ২R
তাহলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R

∴ পুরাতন গোলকের আয়তন : নতুন গোলকের আয়তন = (৪/৩) × π × (২R)^৩ :  (৪/৩) × π × R^৩
= ৮R^৩ :  R^৩
= ৮ : ১ 

প্রশ্ন: Cot(nπ) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি?

সমাধান: 
Cot(nπ) অনুক্রমটির সাধারণ পদ n ∈ N , n = 1, 2, 3, … ...
এবং, π = 180°

আমরা জানি,
Cot(⁡x) = Cos⁡(x)/Sin(⁡x)
এবং, Sin⁡(nπ) = 0 (যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য)
∴ Cot⁡(nπ) = Cos⁡(nπ)\0; যা সংজ্ঞায়িত নয় (Undefined)।

তৃতীয় পদে, n = 3
∴ Cot⁡(3π) = Cos⁡(3π)/Sin⁡(3π) = - 1/0 ; এটি সংজ্ঞায়িত নয়।

প্রশ্ন: পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৫ মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার
∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) বর্গমিটার 
= ২০০০ বর্গমিটার

পাড় ছাড়া পুকুরের দৈর্ঘ্য = {৫০ - (৫ × ২)} মিটার
= (৫০ - ১০) মিটার
= ৪০ মিটার 

পাড় ছাড়া পুকুরের প্রস্থ = {৪০ – (৫ × ২)} মিটার
= (৪০ - ১০) মিটার
= ৩০ মিটার

∴ পাড় ছাড়া পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ১২০০ বর্গমিটার

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (২০০০ – ১২০০) বর্গমিটার 
= ৮০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 40 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন।
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 40 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB =30° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার



এখন,
tan30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = h/40
⇒ √3h = 40
⇒ h = 40/√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 40/√3 মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
একবাহু = √৬২৫
 = √(২৫)^২
= ২৫ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২৫ × ৪ মিটার
= ১০০ মিটার

প্রশ্ন: A = π/2 ও B = π/4 হলে sec(A + B) = কত?
 
সমাধান:
sec(A + B) = sec[(π/2) + (π/4)]
= sec(3π/4)
= sec135°
= sec(90° + 45°)
= - cosec45°                             [∵ sec(90° + θ) = - cosecθ]
= - √2                                       [∵ cosec45° = √2] 

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ১.৪ মিটার। ২.২ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
ব্যাস, ২r = ১.৪ মিটার
∴ পরিধি, ২πr = ১.৪ × (২২/৭)
= (১৪/১০) × (২২/৭)
= ২২/৫

এখানে, ২.২ কিলোমিটার = (২.২ × ১০০০) মিটার

∴ চাকাটি ঘুরবে = (২.২ × ১০০০)/(২২/৫) বার
= (২২ × ১০০) × (৫/২২)
= ১০০ × ৫
 = ৫০০ বার

প্রশ্ন: একটি লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি 13 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গে থাকলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি, খুঁটিটি A বিন্দুতে ভেঙ্গে যায় এবং ভাঙ্গা অংশ B বিন্দুতে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h মিটার এবং খুঁটিটি 13 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে ছিল।



এখন,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ​ 
∴ sin30° = 13/(h - 13)
⇒ 1/2 = 13/(h - 13)
⇒ h - 13 = 26
⇒ h = 26 + 13
⇒ h = 39 

∴ খুঁটির উচ্চতা = 39 মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১১ সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু, a = ১১ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের পরিসীমা = 4a একক
= (৪ × ১১) সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, ক্ষুদ্রতম কোণটির বৃত্তীয় মান কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x^c, 4x^c এবং 5x^c

প্রশ্নমতে,
3x^c + 4x^c + 5x^c = π^c                  [ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ = π^c ] 
12x^c = π^c  
x = π/12

ক্ষুদ্রতম কোণ = 3x^c =  (3π/12)^c   
= (π/4)^c 
= π/4              

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস ৬ ইঞ্চি হলে ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
ফুটবলের ব্যাস, ২r = ৬ ইঞ্চি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ৩ ইঞ্চি

যেহেতু, ফুটবল একটি গোলক।
∴ ফুটবলের আয়তন = (৪/৩) × π × (৩)^৩
= (৪/৩) × π × ২৭
= (৪ × ৯)π 
= ৩৬π ঘন ইঞ্চি

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি এবং সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সে.মি. ও ৭ সে.মি. হলে ইহার উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
উচ্চতা = h 
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৯ + ৭)h
= (১৬/২)h
= ৮h 

প্রশ্নমতে,
৮h = ৪৮
⇒ h = ৪৮/৮
∴ h = ৬