নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
বর্গ: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমানএবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১২ + ১৪ = ২৬ < ২৮

∴ ১২, ১৪, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: 40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = b

প্রশ্নমতে,
2(8a + 6 + b) = 40a
⇒ 8a + 6 + b = 20a
⇒ b = 20a - 8a - 6
⇒ b = 12a - 6
∴ b =  12a - 6

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে- 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴  বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে √২ মিটার এবং ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু  √২ মিটার এবং ৪ মিটার 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × √২ × ৪ বর্গমিটার 
= ২√২ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 8 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
 আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি. 
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 5 = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান: 
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর 12°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
x + y = 90°............... (i)
আবার,
x - y = 12° .................. (ii) 

এখন, (i) নং + (ii) নং থেকে পাই,
x + y + x - y = 90° + 12°
⇒ 2x = 102°
∴ x = 51°

(i)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 90°
⇒ y = 90° - 51°
⇒ y = 39°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি 39°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4² = 16 বর্গ সে.মি. 

তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4/2 = 2 সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π2²
= 4π

∴ অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = 16 - 4π

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক মিটার 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩ক/৫ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৩ক/৫) = ১৬০
বা, ২{(৫ক + ৩ক)/৫} = ১৬০
বা, ৮ক/৫ = ৮০
বা, ৮ক = ৫ × ৮০
বা, ক = (৫ × ৮০)/৮
∴ ক = ৫০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (৩ × ৫০)/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ? 

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
পরিসীমা = 4x মিটার
∴ কর্ণ = x . √2

∴ পরিসীমা/কর্ণ = 4x/(√2x)
= 2√2

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
বৃত্তের পরিধি 2πr 

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2π7 সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: AB ΙΙ CD যদি হয় এবং ∠p = 65° হয়, তবে ∠r =?

সমাধান:
এখানে,
∠p = ∠q = 65° [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠r + ∠q = 180° [রৈখিক যূগল কোণ]
⇒ ∠r = 180° - 65°
∴ ∠r = 115°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 । ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি x, 2x, 3x

শর্তমতে, x + 2x + 3x = 180°
⇒ 6x = 180°
⇒ x = (180/6)°
∴ x = 30°

∴ 3x = 90°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
⇒  r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)² = 4π

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এর BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার
প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
ধরি,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
= (√3/4) (5)²
= (25√3)/4 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB, A বিন্দুতে স্পর্শক এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:

A বিন্দুতে AB রেখা বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°
Δ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
বা, 45° + ∠ABO + 90° = 180°
বা, ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 10² - 16²)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণের মান = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x

শর্তমতে,
x = (90° - x)/2
⇒ 2x = 90° - x
⇒ 3x = 90°
∴ x = 30°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ মি., ২৪ মি., ১৮ মি. হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S হলে,
আমরা জানি,

ত্রিভুজের পরিসীমা ২S = a + b + c
বা, S = (a + b + c)/২
বা, S = (৩০ + ২৪ + ১৮)/২
∴ ‍S = ৩৬ মিটার

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধ-বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত করা যায় এরূপ সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:

দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
অর্ধবৃত্তে অঙ্কিত সর্ববৃহৎ ত্রিভুজ পূর্ণবৃত্তের বর্গের অর্ধেক।

এক্ষেত্রে, ব্যাস দুইটি সমান
অর্থাৎ, BD = AC = 2r
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণ দুটির গুণফল
= (1/2) × 2r × 2r
= 2r²

∴ অর্ধবৃত্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে = 2r² x 1/2 = r²

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখা সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দু’টি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না। 

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ মি.
সুতরাং  প্রস্থ = 48/8 = 6মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(8² + 6²) = √100 = 10

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মি.

প্রশ্ন: চিত্রে, AC = 25 সে.মি., AB = 15 সে.মি. হলে, BD =? 


সমাধান: 
BC² = AC² - AB² 
= 25² - 15² 
= 625 - 225 
= 400 

BC = √400 = 20 সেমি 

ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) x ভূমি x উচ্চতা = (1/2) AB × BC = (1/2) AC × BD
⇒ AB × BC = AC × BD
⇒ BD = (AB × BC)/AC
⇒ BD = (15 × 20)/25
= 12 সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান: 


∠ABD = ∠ACE
⇒ 180° - ∠ABD = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC

∴ △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৯ সে.মি. ও ৬ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান: 
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC =  ৯ সেমি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ BC =  ৬ সেমিকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = AB
= AC - BC
= ৯ - ৬ সেমি
= ৩ সে.মি.

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0, রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x + 3y + 4 = 0
বা, 3y = - 2x - 4
বা, y = (- 2/3)x - 4/3
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 2/3

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল - 2/3 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 7 সে.মি. 9 সে.মি এবং ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত সে.মি.? 

সমাধান: 
মনেকরি 
ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব h

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
⇒ 32 = (1/2) × (7 + 9) × h
⇒ 32 = 16h/2
⇒ 32 = 8h
∴ h = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: ৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

৪৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ৪৩°।

প্রশ্ন: 56 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 56/2 ফুট = 28 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 28 × 28
= (22/7) × (28 × 28)
= 2464 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2464 বর্গফুট।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
 
সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী

প্রশ্ন: একটি বৃৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার. মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
বৃৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার
বৃৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 26/2 মিটার
= 13 মিটার

রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 13 + 2 = 15 মিটার
রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল = π(15)² বর্গমিটার 
= 225π বর্গমিটার

প্রশ্ন: 3 সে.মি., 4.5 সে.মি., 5.5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. ও c = 5.5 সে.মি.
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (3 + 4.5 + 5.5)/2 = 6.5

ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}
= √(6.5 × 3.5 × 2 × 1)
= √45.5
= 6.75 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 2a বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 2a বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণ = √2 (2a)= 2√2a
তাহলে কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2√2a)² = 8a²

প্রশ্ন: △ABC-এ, A = 40°, C = 80° এবং BC ∥ EF হলে, ∠BEF =? 


সমাধান:
BC ∥ EF এবং AC ছেদক।
∴ ∠AFE = ∠C = 80°

∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান 
∴ ∠BEF = ∠A + ∠AFE 
∴ ∠BEF = 80° + 40°
∴ ∠BEF = 120°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি. 

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি. 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি. 

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল  = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
বা, 144 = (1/2)(x  × 16)
বা, 8x = 144
∴ x = 18 সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি পরস্পর ছেদী বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যেতে পারে?

সমাধান:
 
P ও Q দুইটি পরস্পর ছেদী ‍বৃত্তে AB ও CD দুইটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
এছাড়া আর কোনো সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব নয়।
দুইটি পরস্পর ছেদী বৃত্তে সর্বোচ্চ ২টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যেতে পারে।

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা 24° বেশী হলে, কোণটি হবে?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
ধরি,
কোণটি x,
∴ তার পূরক কোণ 90° - x

শর্তমতে,
x = 90° - x + 24°
⇒ x + x = 114°
⇒ 2x = 114°
⇒ x = 114°/2
∴ x = 57°

প্রশ্ন: x প্রবৃদ্ধ কোণ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
যে কোণের মান ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রি থেকে কম, তাকে প্রবৃদ্ধ কোন বলা হয়।
অর্থাৎ, 180° < x < 360°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) a²

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) a² = ৬৪√৩
⇒ a² = ৬৪ × ৪
⇒ a² = ২৫৬
⇒ a = √২৫৬
∴ a = ১৬  

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে ছোট কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণ দুইটি যথাক্রমে 11x ও 7x

প্রশ্নমতে,
11x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
বা, x = 10°

ছোট কোণের মান =  7 × 10° = 70°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার 
πr² = 64π বর্গমিটার‌।

এখন 
πr²/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার