Math Master

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৮, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১২ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৮ - ৫ = ৩
১২ - ৯ = ৩
১৫ - ১২ = ৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।

৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

এখন, ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১২০ - ৩ = ১১৭

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্নে ভুল থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০৮, ১৩৫ ও ১৬২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ৯ ও ১২ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ১০৮, ১৩৫ ও ১৬২ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ৯ ও ১২ অবশিষ্ট থাকে।
সেহেতু,
১০৮ - ৬ = ১০২
১৩৫ - ৯ = ১২৬
১৬২ - ১২ = ১৫০

এখন, ১০২, ১২৬ ও ১৫০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

১০২ = ২ × ৩ × ১৭
১২৬ = ২ × ৩^২ × ৭
১৫০ = ২ × ৩ × ৫^২

∴ গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৪০ × ক = ২৪০ × ৮
⇒ ক = (২৪০ × ৮)/৪০
⇒ ক = ১৯২০/৪০
⇒ ক = ৪৮

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৮

প্রশ্ন: ৫৪০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৫৪০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^২ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৫ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৯০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৯০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৯০/৩) + ১ = ৩০ + ১
= ৩১ বার

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২ × ৩^২

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ = ৮ × ৯ = ৭২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৭২ × ২ = ১৪৪

∴ সর্বনিম্ন ১৪৪টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: ০.০০৫৭৭৬ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:
√০.০০৫৭৭৬ = √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৭৬^২/১০০০^২)
= ৭৬/১০০০
= ০.০৭৬

প্রশ্ন: ১২০ টি চকলেট ও ১৫০ টি টফি সর্বোচ্চ কতজন শিশুর মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে, ১২০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় শিশুর সংখ্যা।

১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৫০ = ২ × ৩ × ৫ × ৫

∴ ১২০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

অর্থাৎ ৩০ জন শিশুর মধ্যে ১২০ টি চকলেট ও ১৫০ টি টফি সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ১২ এবং তাদের ল.সা.গু ৩০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১২ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৫ × ১২)ক = ৬০ক

প্রশ্নমতে,
৬০ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৬০
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ × ক = ১২ × ৫ = ৬০

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

৯৯৯৯ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করি,
৯৯৯৯ ÷ ৬০ = ১৬৬ (ভাগফল), ১৬৬ × ৬০ = ৯৯৬০
৯৯৯৯ - ৯৯৬০ = ৩৯ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৩৯ = ২১

অর্থাৎ, ৯৯৯৯ এর সাথে ২১ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০২০, যা ৬০ এর গুণিতক এবং ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: ৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)

লব ৮, ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৮ = ২^৩
১২ = ২^২ × ৩
১৬ = ২^৪
∴ গ.সা.গু = ২^২ = ৪

হর ১৫, ২৫ ও ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫^২
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু = ৩ × ৫^২ × ৭ = ৫২৫

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৪/৫২৫

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ১০ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪০ + ১০ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/৫) = ১০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৪০ × ৫০) + ১০
= ২০০০ + ১০

∴ ভাজ্য = ২০১০

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ৮ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
৩২ = ২^৫

ল.সা.গু = ২^৫ × ৩^২ = ২৮৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ২৮৮ + ৮
= ২৯৬

প্রশ্ন: ৫ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল যদি ১০৫ হয় তাহলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ক
২য় গুণিতকটি = ৫(ক + ১)
৩য় গুণিতকটি = ৫(ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৫(ক + ১) + ৫(ক + ২) = ১০৫
⇒ ৫ক + ৫ক + ৫ + ৫ক + ১০ = ১০৫
⇒ ১৫ক + ১৫ = ১০৫
⇒ ১৫ক = ১০৫ - ১৫
⇒ ১৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৫
⇒ ক = ৬

∴ সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) √১৪৪ = ১২। এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৪৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৭/১১ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √৫০ = √(২৫ × ২) = ৫√২। এখানে √২ একটি অমূলদ সংখ্যা এবং ২ পূর্ণবর্গ নয়।
√৫০ = ৭.০৭১০৬৭৮১১৮...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৪.২৫ = ৪২৫/১০০ = ১৭/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √৫০ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৭৪০
৭, ০, ৪, ৮ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৪০৭৮

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৮৭৪০ + ৪০৭৮)/২
= ১২৮১৮/২
= ৬৪০৯

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সংখ্যাগুলো ১ এবং সেই সংখ্যাটি ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তারাই মৌলিক সংখ্যা।

৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = ৭ টি।
সুতরাং, ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা হলো ৭ টি।

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - x

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (x/৩) = ৪(৯৫ - x) - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩৮০ - ৪x - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩১০ - ৪x
⇒ ১০৫ - x = ৩(৩১০ - ৪x)
⇒ ১০৫ - x = ৯৩০ - ১২x
⇒ ১২x - x = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১x = ৮২৫
⇒ x = ৮২৫/১১
∴ x = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০