লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

Math Master

পরীক্ষাMath Masterতারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়30 minutes
মোট প্রশ্ন২২
সিলেবাস
সম্ভাব্যতা
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

Math Master

Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ২২ প্রশ্ন

১.
মৌলিক বিষয়গুলো থেকে থেকে ৩টা প্রশ্ন দেয়া হল। প্রায় সব প্রশ্নই বোর্ড বই কিংবা আগের বিসিএস /চাকরির পরীক্ষার। সমাধান মুখস্থ না করে, থিওরি আগে বুঝে, তারপর ম্যাথ করবেন। এখন থেকে ১০% প্রশ্ন ব্যাসিক থেকে করা হবে। ব্যাসিক শক্ত থাকলে ম্যাথে আপনাকে কেউ আটকাতে পারবে না। শুভকামনা রইল।
সর্বপ্রথম সম্ভাবনার একটি সংখ্যাভিত্তিক পরিমাপ উদ্ভাবন করেন -
  1. ক
    ক) ফরমেট
  2. খ
    খ) বর্ণালী
  3. গ
    গ) গ্যালিলিও
  4. ঘ
    ঘ) পৈসুঁ
ব্যাখ্যা
ইটালিয়ান গণিতশাস্ত্রবিদ গ্যালিলিও (১৫৬৪-১৬৪২) সর্ব প্রথম সম্ভাবনার একটি সংখ্যাভিত্তিক পরিমাপের উদ্ভাবন করেন। কোন ঘটনা ঘটার ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তা থাকলেই কেবল সম্ভাবনা শব্দটি সামনে আসে তাছাড়া অনিশ্চয়তার উপর নির্ভর করে সম্ভাবনার কম বেশির পরিমাপ।
২.
কোনটা সঠিক?
  1. ক
    ক) সম্ভাব্যতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের অপূর্ণতা
  2. খ
    খ) সম্ভাব্যতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের সম্পূর্ণ অভাব
  3. গ
    গ) সম্ভাব্যতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের পূর্ণতা
  4. ঘ
    ঘ) সম্ভাব্যতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে বস্তুনিষ্ট পর্যবেক্ষণ
ব্যাখ্যা
আকস্মিকতা হলো এমন বিষয় বা ঘটনা যা সম্পর্কে আমরা মোটেই প্রস্তত থাকিনা। হঠাৎ করে বা অপ্রত্যাশিতভাবে কোনো ঘটনা ঘটে গেলে আমরা তাকে আকস্মিক বলে মনে করি। কিন্তু, সম্ভব্যতা সম্পর্কে আমাদের কিছুটা হলেও ধারনা আছে। অর্থাৎ আমরা এ ব্যাপারে অবগত আছি। কিন্তু ঘটনাটা ঘটা বা না ঘটা সম্পর্কে আমরা কোনক্রমেই নিশ্চিত নই। শুধুমাত্র একটু মনে করতে পারি যে, ঘটনাটি ঘটতেও পারে আবার নাও ঘটতে পারে। আকস্মিকতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে অজ্ঞতা। অন্যদিকে সম্ভাব্যতার ভিত্তি হলো কার্যকারণ সম্পর্কে আমাদের জ্ঞানের অপূর্নতা। বস্তত: কোনো একটা ঘটনার কারণ নির্ণয় করতে অক্ষম হলেই আমরা বলি, ঘটনাটি আকস্মিক। আর ঘটনা সম্পর্কে আমাদের জ্ঞান বৃদ্ধির সাথে সাথে অর্থাৎ যে অবস্থায় ঘটানাটি ঘটে সে অবস্থা সম্পর্কে আমাদের জ্ঞান যতোই বৃদ্ধি পায় আকস্মিকতাও জ্ঞান অনুপাতে অপনিত হতে থাকে। এবং অপনিত হতে হতে সেটি সম্ভাব্যতায় এসে দাঁড়ায়। সম্ভাব্যতা ও আকস্মিকতা অভিন্ন নয়। আকস্মিকতা হলো পুরোপুরি অজ্ঞতা। পক্ষান্তরে সম্ভাব্যতা হলো আংশিক জ্ঞান।
৩.
করোনা ভাইরাসে আক্রান্ত প্রতি ৫০ জনে ১০ জনের মৃত্যু হলে, মৃত্যুর সম্ভাবনার আনুপাতিক হার হবে -
  1. ক
    ক) ১০:৫০
  2. খ
    খ) ৫:১
  3. গ
    গ) ১:৫
  4. ঘ
    ঘ) ক ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা দেয়া হয়নি।
৪.
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ১
  3. গ
    গ) ১/২
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র, S ={১,২,৩,৪,৫,৬}
মোট নমুনাবিন্দু n(S) = ৬
২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার অনুকূল ফলাফল একটি। এটি হল {৬} ∴ n(S) = ১
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১/৬

৫.
প্রান্তিক রাশিদ্বয়কে অন্তর্ভুক্ত করে ৫০ হতে ৭০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্য হতে ইচ্ছামতো যে কোন একটিকে নির্বাচন করলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ১/৪
  3. গ
    গ) ৪/২১
  4. ঘ
    ঘ) ৮/২১
ব্যাখ্যা

প্রান্তিক রাশিদ্বয়কে গণনা করে ৫০ হতে ৭০ পর্যন্ত মোট ২১টি সংখ্যা আছে।
অতএব, n(S) = ২১
২১টি সংখ্যার মধ্যে ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭ এই চারটি মৌলিক সংখ্যা।
অতএব, n(A) = ৪
অতএব, প্রতিটানে মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা, P(A) = ৪/২১

৬.
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোন একটিকে ইচ্ছামতো নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা -
  1. ক
    ক) ৫/৬
  2. খ
    খ) ৭/১০
  3. গ
    গ) ১১/২১
  4. ঘ
    ঘ) ১/২১
ব্যাখ্যা

এখানে নমুনাক্ষেত্র S = {১০,১১,১২,১৩,১৪,------,২৮,২৯,৩০}
অতএব, n(S) = ২১
মৌলিক সংখ্যার সেট, A = {১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯}
অতএব, n(A) = ৬
৫ এর গুণিতক সংখ্যার সেট, B = {১০,১৫,২০,২৫,৩০}
অতএব n(B) = ৫
ঘটনা দুটির অনুকূল সেট = A≈B, কারণ, A≈B সেটের যে কোন উপাদান A সেটে থাকবে, B সেটে থাকবে অথবা উভয় সেটে থাকবে।
n(A≈B) = n(A) + n(B) = ১১

সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১১/২১

৭.
একটি জুতা শিল্প প্রকল্প আর্থিক সহায়তা পাবার জন্য তিনটি সংস্থার বিবেচনাধীন রয়েছে। নির্দিষ্ট প্রকল্পের জন্য মাত্র একটি সংস্থা থেকে ঋণ নেয়া গেলে এবং সংস্থা তিনটির প্রথমটিতে তিনটি, দ্বিতীয়টিতে চারটি এবং তৃতীয়টিতে দুটি প্রকল্প বিবেচনাধীন থাকলে জুতা শিল্প প্রকল্পটির যেকোন একটি সংস্থা থেকে আর্থিক সহায়তা প্রাপ্তির সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) ১/৪
  2. খ
    খ) ১/২
  3. গ
    গ) ৩/৪
  4. ঘ
    ঘ) ১
ব্যাখ্যা

ধরা যাক,
A = প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
B = দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
C = তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা

তাহলে,
P(A) = 1/3
P(B) = 1/4
P(C) = 1/2

অর্থাৎ,
প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩
দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪
তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ১/২

অতএব, প্রকল্পটির কোন সংস্থা থেকেই সাহায্য না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩ X ৩/৪ X ১/২ = ১/৪
সুতরাং, যে কোন একটি থেকে সহায়তা পাবার সম্ভাব্যতা =১ - ১/৪ = ৩/৪

৮.
৫২টি তাসের একটি প্যাকেট হতে যেমন খুশি টেনে ধারাবাহিকভাবে চারটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা -
  1. ক
    ক) ৪/৫২
  2. খ
    খ) ১/৫২
  3. গ
    গ) ১/৫১
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

৫২টি তাসের মধ্যে মোট টেক্কা আছে ৪টি
সুতরাং, প্রথম সুযোগে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/৫২
পরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৩/৫১
এরপরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ২/৫০
সর্বশেষ টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১/৪৯
পূরণ সূত্র অনুসারে ৪টি টেক্কা ধারাবাহিকভাবে পাওয়ার সম্ভাব্যতা=
৪/৫২X৩/৫১X২/৫০X১/৪৯ = ১/২৭০৭২৫ [ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন নেই যেহেতু উত্তরে 'কোনটিই নয় এই অপশন আছে']

৯.
একটি শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে শতকরা ৭৫ জন ছাত্র এবং বাকী সবাই ছাত্রী। একজন ছাত্র বিজ্ঞান বিভাগের হওয়ার সম্ভাবনা ১/৫ এবং একজন ছাত্রী বিজ্ঞান বিভাগের হওয়ার সম্ভাবনা ১/২০ । সমস্ত ছাত্র-ছাত্রীদের মধ্য থেকে একজনকে দৈবায়িত চয়ন করা হলে, সে বিজ্ঞান বিভাগের ছাত্র হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) ৭৫/১০০
  2. খ
    খ) ১/১৫
  3. গ
    গ) ১/৫
  4. ঘ
    ঘ) ৩/২০
ব্যাখ্যা

ধরুন,
মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা x
অতএব, ছাত্রসংখ্যা = ৭৫x/১০০
ছাত্রীসংখ্যা = ২৫x/১০০
আবার, ধরুন, ঘটনা
A = নির্বাচিত ব্যক্তি ছাত্র হওয়ার ঘটনা
ঘটনা B = নির্বাচিত ব্যক্তি বিজ্ঞান বিভাগের ছাত্র হওয়ার ঘটনা
ঘটনা B/A = একজন ছাত্র বিজ্ঞান বিভাগের হওয়ার ঘটনা
এখন, P(নির্বাচিত ব্যক্তি বিজ্ঞান বিভাগের ছাত্র) =
(৭৫x/১০০)/x X ১/৫
= ৭৫/১০০ X ১/৫
= ৩/২০

১০.
গণিত বইয়ের কোন একটি অংক তামিম অথবা সৌম্যর করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ৬০% এবং ৫০%। দৈব ভাবে নির্বাচিত একটি অংক উভয়কে করতে দেওয়া হলে অংকটির সমাধান না করার সম্ভাবনা -
  1. ক
    ক) ০.২
  2. খ
    খ) ০.৪
  3. গ
    গ) ০.৬
  4. ঘ
    ঘ) ০.৮
ব্যাখ্যা

মনে করুন,
A = অংকটি সন্ধি সমাধান করতে পারে
B = অংকটি সৌম্য সমাধান করতে পারে।
P(A) = ৬০% = ০.৬০ সন্ধির অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
P(B) = ৫০% = ০.৫০ সৌম্যর অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
সন্ধি অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(A) = ১ - ০.৬০ = ০.৪০
সৌম্যর অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(B) = ১ - ০.৫০ = ০.৫০
এখানে,
A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন তাই সন্ধি ও সৌম্যের উভয়ই অংকটি সমাধান না করতে পারার সম্ভাবনা = ০.৪০ X ০.৫০ = ০.২০

১১.
ঢাকা আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী জুলাই মাসে ১ম সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ১/৭
  2. খ
    খ) ২/৭
  3. গ
    গ) ৫/৭
  4. ঘ
    ঘ) ১/৫
ব্যাখ্যা

যেকোনো একদিন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ৫/৭
তাহলে, বুধবার বা যেকোনো দিন বৃষ্টি না হবার সভাবনা = (১ - ৫/৭) = ২/৭

১২.
P and Q sit in a ring arrangement with 10 people. What is the probability that P and Q will sit together?
  1. ক
    ক) 2/11
  2. খ
    খ) 3/11
  3. গ
    গ) 2/9
  4. ঘ
    ঘ) 4/9
ব্যাখ্যা

n(S) = number of ways of sitting 12 persons at round table:
= (12 - 1)! = 11!
Since two persons will be always together, then number of persons:
= 10 + 1 = 11
So, 11 persons will be seated in (11 - 1)! = 10! ways at round table and 2 particular persons will be seated in 2! ways.
n(A) = The number of ways in which two persons always sit together = 10! × 2
P(A) = n(A)/n(S) = (10!×2!) / 11! = 2/11

১৩.
A bag contains 10 mangoes out of which 4 are rotten, two mangoes are taken out together. If one of them is found to be good, the probability that other also good is -
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 8/15
  3. গ
    গ) 5/18
  4. ঘ
    ঘ) 2/3
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা যোগ হয়নি।
১৪.
20 থেকে 520 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির মধ্য হতে একটি সংখ্যা খুশিমত নিলে সংখ্যাটি অযুগ্ম ঘন সংখ্যা হবার সম্ভাবনা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 1/26
  2. খ
    খ) 1/167
  3. গ
    গ) 1/156
  4. ঘ
    ঘ) 1/176
ব্যাখ্যা
20 থেকে 520 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যা
(520-20)+1 = 501 টি অর্থাৎ n(s) = 501 ঘন সংখ্যা {3³= 27, 4³= 64, 5³= 125, 6³= 216, 7³= 343, 8³= 512} এবং অযুগ্ম ঘন সংখ্যার ঘটনা A হলে,
A = {27, 125, 343} ⇒ n(A) = 3
সুতরাং P (অযুগ্ম ঘনসংখ্যা) = n(A)/n(a) = 3/501 = 1/167.
১৫.
52 খানা তাসের প্যাকেট হতে 1টি তাস দৈবভাবে উঠানো হল। তাসটি লাল বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 2/13
  2. খ
    খ) 1/13
  3. গ
    গ) 4/13
  4. ঘ
    ঘ) 7/13
ব্যাখ্যা

লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা =
লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26
= 7/13

১৬.
একটি বাক্সে সমআকৃতির 10টি লাল ও 5টি কালো বল আছে। আর একটি অনুরূপ বাক্সে 12টি সমআকৃতির লাল বল আছে। একটি বক্স লটারী করে নির্বাচন করা হলো এবং সেটা থেকে একটি বল তোলা হলো। যদি বলটি লাল হয় তাহলে প্রথম বাক্সটি যে নির্বাচিত হয়েছে তার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 2/5
  2. খ
    খ) 3/5
  3. গ
    গ) 1/5
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা যোগ হয়নি।
১৭.
কোনো জরিপে দেখা গেল 80% লোক ইত্তেফাক পড়ে, 70% লোক জনকন্ঠ পড়ে, 60% লোক উভয় পত্রিকা পড়ে। নিরপেক্ষভাবে বাছাই করলে একজন লোকের ইত্তেফাক অথবা জনকন্ঠ পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
  1. ক
    ক) 1/9
  2. খ
    খ) 1/10
  3. গ
    গ) 9/10
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা যোগ হয়নি।
১৮.
একটি ব্যাগে 7টি লাল এবং 5টি সাদা বল আছে। নিরপেক্ষভাবে 4টি বল তোলা হলে তাদের মধ্যে 2টি লাল এবং 2টি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 4/35
  3. গ
    গ) 14/33
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা যোগ হয়নি।
১৯.
একটি থলিতে 6টি নীল বল, 8টি সাদা বল এবং 10টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 2/3
  3. গ
    গ) 3/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা P(W) = 8/24 = 1/3
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা P(W′) = 1-P(W′) = 1-(1/3) = (3-1)/3 = 2/3.
২০.
ইংরেজি বর্ণমালা থেকে যেমন খুশি টেনে একটি স্বরবর্ণ পাবার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) 21/26
  2. খ
    খ) 5/27
  3. গ
    গ) 7/26
  4. ঘ
    ঘ) 5/26
ব্যাখ্যা
ইংরেজিতে বর্ণমালায় মোট বর্ণ = 26টি।
স্বরবর্ণ বা Vowel = 5টি।
সুতরাং, 1টি বর্ণ নিলে তা স্বরবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/26.
২১.
একটি কলেজের একাদশ শ্রেণীর 80 জন ছাত্রের মধ্যে 20 জন ফুটবল খেলে; 25 জন ক্রিকেট খেলে এবং 10 জন ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে। তাদের মধ্য থেকে একজন দৈবায়িত উপায়ে নির্বাচন করা হল। যদি ছেলেটি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/8
  2. খ
    খ) 2/5
  3. গ
    গ) 3/5
  4. ঘ
    ঘ) 3/8
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
একজন ছাত্রের ফুটবল খেলার ঘটনা = A
একজন ছাত্রের ক্রিকেট খেলার ঘটনা = B
একজন ছাত্রের ফুটবল ও ক্রিকেট খেলার ঘটনা = A∩B
সুতরাং P(A) = 20/80 = 1/4
P(B) = 25/80 = 5/16
P(A∩B) = 10/80 = 1/8
অতএব, 80 জনের মধ্য থেকে একজন ছাত্রকে দৈবায়িত উপায়ে নির্বাচন করা হলে, যদি ছাত্রটি ক্রিকেট খেলে তবে তার ফুটবল খেলার সম্ভাবনা-
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/8)/(5/16) = 2/5
∴ ফুটবল খেলার সম্ভাবনা = 2/5.
২২.
আলমের বাংলা পরীক্ষায় ফেল করার সম্ভাব্যতা 1/5, বাংলা ও ইংরেজি দুটোতেই পাসের সম্ভাব্যতা 3/4 এবং দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 7/8 হলে তার ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) 33/40
  2. খ
    খ) 10/11
  3. গ
    গ) 17/23
  4. ঘ
    ঘ) 1/18
ব্যাখ্যা
মনে করি, বংলায় পাসের ঘটনা = A এবং ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B
তাহলে, P(A) = 1-(1/5) = 4/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 7/8
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∩B) = 3/4
এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 7/8 = (4/5)+P(B)-(3/4)
বা, P(B) = 7/8 + 3/4 - 4/5 = (35+30-32)/40
∴ P(B) = 33/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 33/40.