ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 15 টি প্রশ্ন থেকে 8 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?

সমাধান: 
প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 6 টি থেকে 5 টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = ⁶C₅ = 6

বাকি 9 টি থেকে 3 টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
9 টি থেকে 3 টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  ⁹C₃ = 84

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  6 × 84 = 504

প্রশ্ন: 12 টি বাহু বিশিষ্ট একটি সমতল ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুগুলোর রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
সমতলটি 12 টি কৌণিক বিন্দুর থেকে 3 টি রেখা দিয়ে একটি ত্রিভুজ আকা যায়।

∴ ত্রিভুজ সংখ্যা = ¹²C₃ = 220

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = ³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

প্রশ্ন: ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে? 

সমাধান: 
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

প্রশ্ন: 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6 অংকগুলোর বিজোড় অংকগুলো সর্বদাই বিজোড় স্থানে রেখে সাত অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
4টি বিজোড় অংকের মধ্যে 2টি 3 ও 2টি 5 আছে।
4টি বিজোড় স্থানে 4টি বিজোড় অংক দ্বারা সাজানো যায় = 4!/(2! 2!) = 6

3টি জোড় স্থানে 2টি জোড় অংক দ্বারা সাজানো যায় = 3!/2! = 3

∴ মোট গঠিত সংখ্যা = 6 × 3 = 18

প্রশ্ন: 3টি শূন্য পদের জন্য 12 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 3 টির বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি কত প্রকারে ভোট দিতে পারবেন?

সমাধান:
একজন ভোটার 12 জন প্রার্থীর মধ্যে 1 জনকে বা 2 জনকে বা 3 জনকে ভোট দিতে পারবেন।

∴ নির্ণেয় ভোট দেয়ার উপায় = ¹²C₁ + ¹²C₂ + ¹²C₃
= 12 + 66 + 220
= 298

প্রশ্ন: ⁿP_{n - r} = ?

সমাধান:
ⁿP_{n - r} = n!/(n - n + r)!
= n!/r!

প্রশ্ন: 5টি পোস্ট বাক্সে 7টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5টি 
চিঠির সংখ্যা r = 7টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r 
= 5⁷ 

প্রশ্ন: যদি ⁿC_r = 15 এবং ⁿP_r = 360 হয় তবে r = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
r! × ⁿC_r = ⁿP_r
বা, r! × 15 = 360
বা, r! = 360/15
বা, r! = 24
বা, r! = 4!
∴ r = 4

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে 5 টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে ন্যূনতম নম্বর পেতে হয়। একজন পরীক্ষার্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে? 

সমাধান:
1 জন ছাত্র 1টি বিষয়ে, 2টি বিষয়ে, 3টি বিষয়ে, 4টি বিষয়ে, এবং 5টি বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।  

 অকৃতকার্য হওয়ার মোট উপায় = ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅ 
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 10 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য দুই জন প্রতিযোগী প্রয়োজন।
10 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = ¹⁰C₂ = 45

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারে কমিটি গঠন হতে পারে?

সমাধান:
কমিটিতে অত্যন্ত ১ জন মহিলা থাকবে।
পুরুষ (৭ জন)      -      মহিলা (৪ জন)
৩ জন                 -          ১ জন
২ জন                 -         ২ জন
১ জন                 -         ৩ জন
০ জন                 -         ৪ জন

অত্যন্ত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কমিটি গঠন হতে পারে 
(⁷C₃ × ⁴C₁ )+ (⁷C₂ × ⁴C₂)+(⁷C₁ × ⁴C₃)+ (⁷C₀ × ⁴C₄)
= (35 × 4) + (21 × 6) + (7 × 4) + (1 × 1)
= 140 + 126 + 28 + 1
= 295

প্রশ্ন: ৫, ৪, ৯, ২ অঙ্কগুলো দ্বারা ৫০০০ চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায় যেনো কোন অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না হয়?

সমাধান:
৫০০০ চেয়ে বড় বিধায় প্রথম অঙ্কটি  ৫ বা ৯ হতে হবে।

প্রথম অঙ্ক ৫ হলে, বাকি ৩ টি অঙ্ক ২, ৯, ৪ বিন্যাস হবে।
এরুপ সংখ্যা হবে = ৩!
= ১ × ২ × ৩
= ৬ টি 

প্রথম অঙ্ক ৯ হলে, বাকি ৩ টি অঙ্ক ২, ৫, ৪ বিন্যাস হবে।
এরুপ সংখ্যা হবে = ৩!
= ১ × ২ × ৩
= ৬ টি 

∴ ৫, ৪, ৯, ২ অঙ্কগুলো দ্বারা ৫০০০ চেয়ে বড়  সংখ্যা তৈরি করা যায় = ৬ + ৬ টি 
= ১২ টি

প্রশ্ন: ৮টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (8 - 1)!/2
= 7!/2
= 5040/2
= 2520

প্রশ্ন: ⁿP_r = 240, এবং r = 2 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿP_r = 240
⇒ ⁿP₂ = 240
⇒ n!/(n - 2)! = 240
⇒ {n (n - 1) (n - 2)!}/(n - 2)! = 240
⇒ n(n - 1) = 240
⇒ n² - n - 240 = 0
⇒ n² - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n (n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16) (n + 15) = 0

হয়, n - 16 = 0
বা, n = 16

অথবা,
n + 15 = 0
বা, n = - 15 [গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ n = 16