খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, {a - (1/a)}² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

আমরা জানি,
{a - (1/a)}² = {a + (1/a)}² - 4. a. (1/a)
= 4² - 4
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: x³ + 3x + k এর একটি উৎপাদক x + 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ + 3x + k
∴ f(- 3) = (- 3)³ + 3(- 3) + k
= - 27 - 9 + k
= k - 36

x³ + 3x + k এর একটি উৎপাদক x + 3 হলে, f(- 3) = 0 হবে,
⇒ k - 36 = 0
∴ k = 36

প্রশ্ন: log_x5 + log_x25 + log_x125 + log_x625 = 20 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x5 + log_x25 + log_x125 + log_x625 = 20
⇒ log_x(5 × 25 × 125 × 625) = 20
⇒ log_x(5 × 5² × 5³ × 5⁴) = 20
⇒ log_x(5¹⁰) = 20
⇒ 10 log_x5 = 20
⇒ log_x5 = 2
⇒ x² = 5
∴ x = √5

প্রশ্ন: 7, 11, 15, 19,............... অনুক্রমটির প্রথম 15টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = (11 - 7) = 4
পদ সংখ্যা, n = 15

∴ ১ম 15টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (15/2){(2 × 7) + (15 - 1)4}
= (15/2)\{14 + (14 × 4)}
= (15/2)(14 + 56)
= (15/2) × 70
= 15 × 35
= 525

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 105 এবং বর্গের যোগফল 274 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

১ম শর্তানুসারে, xy = 105
২য় শর্তানুসারে, x² + y² = 274

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 274 + 2 × 105
⇒ (x + y)² = 274 + 210
⇒ (x + y) = √484
∴ x + y = 22

প্রশ্ন: 6 ≤ 2x + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
6 ≤ 2x + 3 < 15
⇒ 6 - 3 ≤ 2x + 3 - 3 < 15 - 3
⇒ 3 ≤ 2x < 12
⇒ 3/2 ≤ x < 12/2
⇒ 3/2 ≤ x < 6

∴ অসমতাটির সমাধান = [3/2, 6)

প্রশ্ন: A = {2, 3} হলে P(A) কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ

দেওয়া আছে,
 A = {2, 3}
∴ P(A) = {∅, {2}, {3}, {2, 3}}

প্রশ্ন: 5 দ্বারা বিভাজ্য প্রথম 10 টি সংখ্যার মধ্যক কত?

সমাধান:
5 দ্বারা বিভাজ্য প্রথম 10 টি সংখ্যা: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
এখানে, n = 10

মধ্যক = {(10/2) তম পদ ও (10/2) + 1 তম পদের যোগফল}/2
= {5 তম পদ ও 6 তম পদের যোগফল}/২
=(25 + 30)/2
= 55/2
= 27.5

প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (5 + 2) = 7 জন
2 জন মহিলা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (5 + 1) জন
= 6 জন
6 জনকে সাজানো যায় = 6!
2 জন মহিলাকে সাজানো যায় = 2!

∴ 2 জন মহিলা সর্বদা একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 720 × 2
= 1440

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 4ab(a² - b²) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √7 
এবং a - b = √5 

প্রদত্ত রাশি = 4ab(a² - b²) 
= {(a + b)² - (a - b)²}(a + b)(a - b) 
= {(√7)² - (√5)²} × {(√7)(√5)} 
= (7 - 5) × √(7 × 5) 
= 2 × √35 
= 2√35

প্রশ্ন: (3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5) হলে, x² - 20x = কত?

সমাধান:
(3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5)
⇒ 3x² - 12x + 2x - 8 = 2x² + 10x
⇒ 3x² - 12x + 2x - 8 - 2x² - 10x = 0
⇒ x² - 20x - 8 = 0
∴ x² - 20x = 8

প্রশ্ন: (9)^3.5 × (3)^2.5 ÷ (27)^1.5 = 3^x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(9)^3.5 × (3)^2.5 ÷ (27)^1.5 = 3^x
⇒ (3²)^3.5 × (3)^2.5 ÷ (3³)^1.5 = 3^x
⇒ 3⁷ × 3^2.5 ÷ 3^4.5 = 3^x
⇒ 3^{7 + 2.5 - 4.5} = 3^x
⇒ 3⁵ = 3^x
∴ x = 5

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ নবম পদ = 2 × 2^{9 - 1}
= 2 × 2⁸ 
= 2 × 256
= 512

প্রশ্ন: যদি x = 2y - 1 এবং x + y = 26 হয়, তবে y =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2y - 1

এবং
x + y = 26
⇒ 2y - 1 + y = 26
⇒ 3y = 26 + 1
⇒ y = 27/3
∴ y = 9

প্রশ্ন: - 7 < x < 3 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 7 + 3)/2
= (- 4)/2
= - 2

এখন,
- 7 < x < 3
⇒ - 7 - (- 2) < x - (- 2) < 3 - (- 2) [উভয়পক্ষ থেকে - 2 বিয়োগ করে]
⇒ - 7 + 2 < x + 2 < 3 + 2
⇒ - 5 < x + 2 < 5
⇒ |x + 2| < 5

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে হয়: |x + 2| < 5

প্রশ্ন: একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি লাল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল লাল হবে?

সমাধান:
লাল বল(৩)       অন্যান্য বল(৬)
১                              ২
২                              ১
৩                             ০

মোট তোলার উপায় = 

প্রশ্ন: a + (1/a) = 5 হলে, a/(a² + a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 5
⇒ (a² + 1)/a = 5
⇒ a² + 1 = 5a 

প্রদত্ত রাশি = a/(a² + a + 1)
= a/(5a + a)
= a/6a
= 1/6

প্রশ্ন: (x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(x - 1)² - 25
= (x - 1)² - 52
= (x - 1 + 5)(x - 1 - 5)
= (x + 4)(x - 6)

প্রশ্ন: a⁶ × a^{- 8} × a × a³ × a^{- 2} = কত?

সমাধান:
a⁶ × a^{- 8} × a × a³ × a^{- 2}
= a^{6 - 8 + 1 + 3 - 2}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: 5 + 1 + 0.2 + 0.04 +…............. ধারাটির অসীম পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/5
= 0.2

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি S_∞​ = a/(1 - r)
= 5/(1 - 0.2)
= 5/0.8
= (5 × 10)/8
= 50/8
= 25/4

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর, লবের দ্বিগুণের চেয়ে 1 বেশি। যদি লব ও হরের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটি হয় 3/5​। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি
ভগ্নাংশটির লব = a
ভগ্নাংশটির হর = 2a + 1

প্রশ্নমতে,
(a + 3)/(2a + 1 + 3) = 3/5
⇒ (a + 3)/(2a + 4) = 3/5
⇒ 6a + 12 = 5a + 15
⇒ 6a - 5a = 15 - 12
∴ a = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/(2 ×3 + 1) = 3/7

প্রশ্ন: যদি x - 5 > - 2x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
x - 5 > - 2x + 7
⇒ x + 2x > 7 + 5
⇒ 3x > 12
∴ x > 4

প্রশ্ন: একটি গ্রামে ৭৫ জন মানুষ আছে। ৪৫ জন বাংলা সিনেমা দেখে, ৩৫ জন হিন্দি সিনেমা দেখে এবং ১৫ জন উভয় ভাষার সিনেমা দেখে না। কতজন উভয় ভাষার সিনেমাই দেখে?

সমাধান: 
শুধু বাংলা সিনেমা দেখে না = (৭৫ - ৪৫ - ১৫) জন 
= ১৫ জন 

আবার, 
শুধু হিন্দি সিনেমা না = (৭৫ - ৩৫ - ১৫) জন 
= ২৫ জন 

∴ শুধু বাংলা সিনেমা বা হিন্দি সিনেমা বা উভয় ভাষার সিনেমা দেখে না = (১৫ + ২৫ + ১৫) জন 
= ৫৫ জন 

∴ উভয় ভাষার সিনেমা দেখে = (৭৫ - ৫৫) জন 
= ২০ জন।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো । প্রাপ্ত নম্বরের যোগফল 9 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
যোগফল 9 হওয়ার ঘটনা = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = 4

∴ সম্ভাবনা = 4/36 = 1/9

প্রশ্ন: 9, 8, 7, 6, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে যেখানে একই সংখ্যা একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে?

সমাধান:
এখানে,
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

∴ মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = n^r = 5⁴ = 625 টি

প্রশ্ন: a - b = c হলে, a³ - b³ - c³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = c
⇒ (a - b)³ = c³
⇒ a³ - b³ - 3ab(a - b) = c³
⇒ a³ - b³ - 3abc = c³ [a - b এর মান বসিয়ে]
∴ a³ - b³ - c³ = 3abc

প্রশ্ন: 3x² - x - 14 এর একটি উৎপাদক (3x - 7) হলে, অপরটি কত? 

সমাধান: 
3x² - x - 14 
= 3x2 - 7x + 6x - 14 
= x{(3x - 7)} + 2 {(3x - 7)} 
= (3x - 7) (x + 2)

∴ অপর উৎপাদকটি হবে = (x + 2).