১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫ টাকা ক্ষতি হয়, ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
একটি দ্রব্য ৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় ২৫ টাকা ক্ষতি হয়
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৭৫ + ২৫ টাকা
= ১০০ টাকা

∴ ক্ষতির শতকরা হার = (২৫/১০০) × ১০০%
= ২৫%

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

সমাধান:
৪, ৫, ৭, ৮ এর ল. সা. গু. = ২৮০

(৩/৪) × ২৮০ = ২১০
(২/৭) × ২৮০ = ৮০
(৪/৫) × ২৮০ = ২২৪
(৭/৮) × ২৮০ = ২৪৫

∴ ২/৭ সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম। 

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৬৮% উত্তীর্ণ হল। যদি আরও ১৪ জন বেশি পাশ করত তাহলে পাশের হার ৭৫% হতো। কতজন পরীক্ষায় অনুত্তীর্ণ হয়েছে? 

সমাধান: 
ধরি, পরিক্ষার্থীদের সংখ্যা  ক জন

উত্তীর্ণ হয়েছে = ক × ৬৮/১০০ 
= ১৭ক/২৫

প্রশ্নমতে,
(১৭ক/২৫) + ১৪ = ৭৫ক/১০০ = ৩ক/৪
⇒  ৭ক/১০০ = ১৪
∴ ক = ২০০ জন

পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে = ২০০ × ৬৮/১০০
= ১৩৬ জন

অনুত্তীর্ণ হয়েছে = ২০০ - ১৩৬ জন 
= ৬৪ জন

প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে, x⁴ + 1/x⁴ = কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 2

এখন 
x⁴ + 1/x⁴ = (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৮০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ হলে, ১০ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি
পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৩ক বছর

প্রশ্নমতে
৩ক + ক = ৮০
⇒ ৪ক = ৮০
∴ ক = ২০ বছর

পিতার বয়স = (২০ × ৩) বছর
= ৬০ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতার বয়স = (৬০ + ১০) বছর
= ৭০ বছর

প্রশ্ন: একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা ৩৬টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান; 
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন ⁿc₂ = 36
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 36
বা, (n² - n)/2 = 36
বা, n² - n = 72
বা, n² - n - 72 = 0
বা, n² - 9n + 8n - 72 = 0
বা, n(n - 9) + 8(n - 9) = 0
বা, (n - 9)(n + 8) = 0
                       
∴ n - 9 = 0                  
n = 9
 
অথবা 
 n + 8 = 0
 n = - 8 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ২০ টি।
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৮টি।
যথা- ২, ৩, ৪, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ 

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা
= মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৮/২০
= ২/৫

প্রশ্ন: ।p - 1। = 2p হলে, p² এর মান কত? 

সমাধান:
p - 1 = 2p
⇒ 2p - p = -1
⇒ p = -1
∴ p² = 1

-(p - 1) = 2p
⇒ p - 1 = -2p
⇒ p + 2p = 1
⇒  3p = 1
⇒ p = 1/3
∴ p² = 1/9

প্রশ্ন: ৪ - (১ ÷ ১) - ১ + {(২ - ১/২) ^-১ এর ৩} এর মান কত? 

সমাধান: 
৪ - (১ ÷ ১) - ১ + {(২ - ১/২) ^-১ এর ৩} 
= ৪ - ১- ১ + {(৩/২)^-১ এর ৩}
= ৪ - ২ + (৩ × ২/৩)
= ২ + ২
= ৪

প্রশ্ন: যদি log(2a/b) + logb - loga = log(a + b) হয়,তাহলে কোনটি সঠিক?

সমাধানঃ
log (2a/b) + logb - loga = log(a + b)
⇒ log(2a/b) + log(b/a) = log (a + b)
⇒ log {(2a/b) × (b/a )} = log (a + b)
⇒ log2= log(a + b)
⇒ (a + b) = 2

প্রশ্ন: 36.2^{3x - 8} = 3² হলে, 3x এর মান কত?

সমাধান:
36.2^{3x - 8} = 3²
⇒2^{3x - 8} = 9/36
⇒2^{3x - 8} = 1/4
⇒2^{3x - 8} = 1/2²
⇒2^{3x - 8} = 2^-2
⇒3x - 8 = - 2 
⇒3x = - 2 + 8
⇒3x = 6 
     

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট ৩৮০ টাকা চাঁদা উঠল। প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিলেন? 

সমাধান: 
ধরি, ছাত্রছাত্রী আছে x জন 
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা x - 1 জন 

প্রশ্নমতে, 
x (x - 1) = 380 
⇒ x² - x = 380
⇒ x² - x - 380 = 0 
⇒ x² - 20x + 19x - 380 = 0
⇒ x (x - 20) + 19 (x - 20) = 0
⇒ (x - 20) (x + 19) = 0
∴ x - 20 = 0
x = 20

বা, x = - 19 ; ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। 

অতএব, ছাত্রছাত্রী আছে ২০ জন। 
চাঁদা দেয়া হয়েছে = ২০ - ১ টাকা 
= ১৯ টাকা

প্রশ্ন: রনি কিছু মূলধন ব্যাংকে সরল সুদে বিনিয়োগ করে, যা ২ বছরে সুদাসলে ২৪০ টাকা হয়। সে আরও ৩ বছর অপেক্ষা করে এবং সুদাসলে ৩০০ টাকা পায়। শুরুতে সে কি পরিমাণ বিনিয়োগ করেছিল? 

সমাধান:
৩ বছরে সুদ = ৩০০ - ২৪০ টাকা
= ৬০ টাকা 
১ বছরে সুদ ৬০/৩ টাকা
= ২০ টাকা
২ বছরে সুদ (২০ × ২) টাকা
= ৪০ টাকা 

আসল (২৪০ - ৪০) টাকা 
= ২০০ টাকা 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে প্রথমে ১০% বৃদ্ধি করা হল। তারপর ১০% হ্রাস করা হল। সামগ্রিকভাবে, সংখ্যাটির শতকরা কত হ্রাস বা বৃদ্ধি পেয়েছে? 

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি ১০০
১০% বৃদ্ধিতে, সংখ্যাটি = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ × ১০/১০০
= ১০০ + ১০
= ১১০ টাকা

১০% হ্রাসে সংখ্যা = ১১০ - ১১০ এর ১০%
= ১১০ - ১১০ × ১০/১০০
= ১১০ - ১১
= ৯৯ 

সংখ্যাটি ১ হ্রাস পেয়েছে। 
শতকরা হ্রাস পেয়েছে = ১% 

প্রশ্ন : ফাহিম, অর্জুন এবং শাওন যৌথ বিনিয়োগের অনুপাত যথাক্রমে ৫ : ৭ : ৮। বছর শেষে ফাহিমের লভ্যাংশের পরিমাণ ২১৫০ টাকা হলে, মোট লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান :
ধরি, 
মোট লাভের পরিমাণ = ক টাকা 

ফাহিম, অর্জুন এবং শাওন যৌথ বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৭ : ৮
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৫ + ৭ + ৮ 
= ২০

প্রশ্নমতে,
ক  এর ৫/২০ = ২১৫০
ক এর ১/৪ = ২১৫০
ক /৪ = ২১৫০
ক = ২১৫০ × ৪ 
ক = ৮,৬০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৩৬ জন ছাত্রের ২৪ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ১৮ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
২৪ দিনের খাবার আছে ৩৬জন ছাত্রের 
∴ ১ দিনের খাবার আছে (৩৬ × ২৪) জন ছাত্রের 
∴ ১৮ দিনের খাবার আছে (৩৬ × ২৪)/১৮ জন ছাত্রের = ৪৮ জনের 

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = (৪৮ - ৩৬ ) জন = ১২ জন 

প্রশ্ন: ৪/৫, ৮/১৫, ২/৩ ভগ্নাংশগুলোর গ. সা. গু কত? 

সমাধান: 
ভগ্নাংশগুলোর লব ৪, ৮, ২ এর গ. সা. গু = ২
ভগ্নাংশগুলোর হর ৫, ১৫, ৩ এর ল. সা. গু = ১৫
ভগ্নাংশগুলোর গ. সা. গু = ভগ্নাংশগুলোর লবগুলোর এর গ. সা. গু / ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর ল. সা. গু
= ২/১৫

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ১০ মিনিটে এবং অপরটি দ্বারা পূর্ণ হয় ১৫ মিনিটে। নল দুটি একত্রে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ 

১ম ও ২য় নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে= (১/১০ + ১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ 
= ১/৬ অংশ

১ম ও ২য় নল একত্রে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে ৬ মিনিটে

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ২০০ টাকার ১২ মাসের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ২০০ টাকা
সময়, n = ১২ মাস = ১ বছর
সুদের হার, r = ১০%
= ১০/১০০
= ১/১০

আমরা জানি
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
= ২০০(১ + ১/১০)^১
= ২০০ × (১১/১০) 
= ২২০ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (২২০ - ২০০) টাকা 
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 3.9^x
= 3.3^2x
= 3 ^{2x + 1}

প্রশ্ন: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² হলে, f(g(1)) =?

সমাধান:
g(x) = x²
g(1) = 1²
= 1

f(1) = 2 × 1 + 1
= 2 + 1
= 3

প্রশ্ন: 4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000 =?

সমাধান:  
4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000
= log(√5)⁴ + 3log2 - (1/4)log10⁴
= log5² + 3log2 - (4/4) log10
= 2log5 + 3log2 - log10
= 2log5 + 3log2 - log (2 × 5)
= 2log5 + 3log2 - log2 - log5
= log5 + 2log2
= log5 + log2²
= log (5 × 4)
= log20 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
 সমবাহু  ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a 

প্রশ্নমতে
3a = 12√3
⇒ a = 4√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (4√3)²
= (√3/4) × 16 × 3
= 12√3

সমবাহু  ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h

এখন,
(1/2)ah = 12√3
⇒ (1/2) × 4√3 × h = 12√3
⇒ 2√3h = 12√3
⇒ h = 12√3/2√3
⇒ h = 6

সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা ৬ মিটার।

প্রশ্ন: ৩ ডিগ্রি সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান: 
১° = π/১৮০ রেডিয়ান 
⇒ ৩° = (π × ৩)/১৮০ রেডিয়ান 
= π/৬০ রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π ব্যাসার্ধ^২
= ৩৬π
= ৬^২π

ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
ব্যাস = ৬ × ২ মিটার
= ১২ মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এ, ∠A = 30°, ∠B = 75° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 30° + 75° +  ∠C = 180°
⇒ ∠C + 105° = 180°
∴ ∠C = 180° - 105°
= 75°

অতএব, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: একটি চতুুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি। 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 8 ফুট ও 12 ফুট এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 6 ফুট। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
বা, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (12 + 8) × 6
বা , ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল  = 10 × 6
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 60  বর্গফুট