নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: sinA = cosA হলে A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = cosA
⇒ sinA/cosA = 1
⇒ tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
∴ A = 45°

প্রশ্ন: cosA secA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
cosA secA + 1
= cosA (1/cosA) + 1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 20 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 20 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?

আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 10 × 90)/180
∴ s = (10π)/2
∴ s = 5π cm

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 5π cm

প্রশ্ন: tanA.cosA এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tanA.cosA
= (sinA/cosA)cosA
= sinA

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি. ও ৯ সে.মি., এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি. = ১৫/১০০ = ০.১৫ মি.
এবং ৯ সে.মি. = ৯/১০০ = ০.০৯ মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি. = ৮/১০০ = ০.০৮ মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (০.১৫ + ০.০৯) × ০.০৮
= (১/২) × ০.২৪ × ০.০৮
= ০.১২ × ০.০৮
= ০.০০৯৬ বর্গ মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ০.০০৯৬ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: sinθ = 1/√2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/√2
⇒ sinθ = sin45°
∴ θ = 45°

এখন 
cot45° = 1

প্রশ্ন: একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গ সে.মি. হলে ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ২৯৪ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × (বাহু)^২ 
অর্থাৎ,
⇒ ৬a^২ = ২৯৪  ; [যেখানে a = বাহুর দৈর্ঘ্য] 
⇒ a^২ = ২৯৪/৬
⇒ a^২ = ৪৯
⇒ a = √৪৯
∴ a = ৭ সে.মি.

সুতরাং, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: যদি tanθ = 0 হয়, তবে sinθ  + cosθ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tanθ = 0
⇒ tanθ = tan0°
∴ θ = 0°

এখন,
sinθ  + cosθ
= sinθ + cosθ
= sin0° + cos0° 
= 0 + 1
= 1

প্রশ্ন: যদি cosec²θ + cot²θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ = 1 + cot²θ

দেওয়া আছে,,
cosec²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 1 + cot²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 2 cot²θ = (5/3) -1
⇒ 2cot²θ = 2/3
⇒ cot²θ = 2/6
⇒ cot²θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

প্রশ্ন: একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.। ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.। বড় বাক্সে সর্বোচ্চ কতগুলো ছোট বাক্স রাখা যাবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বাক্সের মাপ ৪০ সে.মি. × ৩০ সে.মি. × ২০ সে.মি.
ছোট বাক্সের মাপ ৮ সে.মি. × ৬ সে.মি. × ৫ সে.মি.

∴ বড় বাক্সের আয়তন = ৪০ × ৩০ × ২০ = ২৪০০০ ঘন সে.মি.

ছোট বাক্সের আয়তন = ৮ × ৬ × ৫ = ২৪০ ঘন সে.মি.

∴ বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ছোট বাক্স রাখা যাবে = ২৪০০০/২৪০
= ১০০ টি

সুতরাং, বড় বাক্সে সর্বোচ্চ ১০০টি ছোট বাক্স রাখা যাবে।

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 20°) = 1/2
⇒ sin(θ + 20°) = sin30°
⇒ θ + 20° = 30°
⇒ θ = 30° - 20°
∴ θ = 10°

∴ θ এর মান 10° হবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৪ হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত = ১ : ৪

ধরি বাহু = a মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = a^২ বর্গমিটার
পরিসীমা = ৪a মিটার

∴ অনুপাত, 
a^২/৪a = ১/৪
⇒ a/৪ = ১/৪
⇒ a = ৪ × (১/৪)
∴ a = ১ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২ একক 
= (১ × √২) মিটার
= √২ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ মিটার।

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
cot(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
cot(π + x) = cot(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= cotx

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 12 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 12
= 22 × 12
= 264 বর্গসে.মি.

সুতরাং, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 264 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 21 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 21√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:
 
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 21 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 21√3 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 21/(21√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ tanθ = tan30°
∴ θ = 30°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 30°

প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 256π বর্গ মি.মি. হলে গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 256π বর্গ মি.মি.
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি, 
গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²

প্রশ্নমতে,
4πr² = 256π
⇒ r² = 256π/4π
⇒ r² = 64
⇒ r = √64
∴ r = 8 মি.মি.

সুতরাং, গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 মি.মি.

প্রশ্ন: sin(- 360°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 360°)
= - sin360° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(4 × 90° + 0°)
= - (sin0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x একক
প্রস্থ = y একক
অতএব, ক্ষেত্রফল = (x × y) বর্গ একক = xy বর্গ একক

আবার,
৩০% বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য = x + (x এর ৩০%)
= x + ৩x/১০ = ১৩x/১০ একক

এবং 
২০% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = y - (y এর ২০%)
= y - ২y/১০ = ৮y/১০ একক

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩x/১০) × (৮y/১০) বর্গ একক = ১০৪xy/১০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = (১০৪xy/১০০) - xy = (১০৪xy - ১০০xy)/১০০ = ৪xy/১০০ বর্গ একক =

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন = {(৪xy/১০০)/xy}  × ১০০%
= ৪% বৃদ্ধি

প্রশ্ন: 2cosθ = 2 হলে, sin²θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 2
⇒ cosθ = 2/2
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°

এখন
sin²θ
=(sin0°)²
=(0)²
= 0

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ১৮০ বার
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে (১৮০ × ৫)/৬০ বার
= ১৫ বার 

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
গাড়ির চাকা ১৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০ × ১৫) ডিগ্রি
= ৫৪০০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3/2 গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে, কর্ণ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ৩/২ গুণ
ক্ষেত্রফল = ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক  মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ (৩/২)ক × ক = ৩৮৪
⇒ (৩/২)ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২  = ৩৮৪ × (২/৩)
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬ মিটার
অতএব, প্রস্থ = ১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (৩/২) × ক = (৩/২) × ১৬ = ২৪ মিটার

আমরা জানি, 
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২) = √(২৪^২ + ১৬^২)
= √(৫৭৬ + ২৫৬)
= √৮৩২
= ৮√১৩ মিটার

সুতরাং, আয়তাকার ঘরটির কর্ণ ৮√১৩ মিটার।

প্রশ্ন: 4 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে বাহু ধরে যে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হয়, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি

আমরা জানি
বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
 = √2 × 4
= 4√2 

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 4√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (4√2)² বর্গসেমি
= 32 বর্গসেমি

প্রশ্ন: বর্গাকার একটি মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি রাস্তার ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হয়, তবে রাস্তা বাদে মাঠের ভিতরের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি, বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার।

আবার, 
মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = x - (2 × 4) = (x - ৪) মিটার।
 ∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - ৪)² বর্গমিটার

আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার

প্রশ্নানুসারে,
x² - (x - 8)² = 10000
⇒ x² - x² + 16x - 64 = 10000 
⇒ 16x = 10064
∴ x = 629

∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল  = (629 - ৪)² = 621² = 385641 বর্গমিটার = 38.56 হেক্টর (প্রায়)

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 38.56 হেক্টর (প্রায়)।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 22 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 22
⇒ r = 22/(2π)
⇒ r = 22/{2 × (22/7)}
⇒ r = (22 × 7)/(2 × 22)
∴ r = 7/2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
= π × (7/2)² বর্গমিটার
= (49/4)π বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= (22/7) × 49 × 10
= 22 × 7 × 10
= 1540 ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 1540 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 4 : 5 হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, কর্ণদ্বয় = 4a এবং 5a

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (প্রথম কর্ণ) × (দ্বিতীয় কর্ণ)
⇒ (1/2) × 4a × 5a = 250
⇒ 10a² = 250
⇒ a² = 250/10
⇒ a² = 25 = 5²
∴ a = 5

∴ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 এবং 5 × 5 = 25
∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 20 + 25 = 45 সে.মি.

সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 45 সে.মি.

সঠিক উত্তর: ১১২ বর্গমিটার
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
-------------- 

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতির বাগানের বাহিরে চারপাশে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। বাগানটির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গমিটার
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ১২ + ২ + ২ = ১৬ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৬^২ বর্গমিটার = ২৫৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১৪৪) বর্গমিটার
= ১১২ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 
মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∠COD = 360°/6 = 60°

মনে করি কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।
ΔCOD এর ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক
= (√3/4) × 4²
= 4√3  বর্গ মিটার

∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × △COD এর ক্ষেত্রফল 
= 6 × 4√3 বর্গ মিটার
= 24√3 বর্গ মিটার

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের আয়তন ৭৯২ ঘন মি. এবং উচ্চতা ২৮ মি. হলে সিলিন্ডারের ব্যাস কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা h = ২৮ মিটার
সিলিন্ডারের আয়তন v = ৭৯২ ঘন মিটার

ধরি,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে,
πr²h = ৭৯২
⇒ (২২/৭) × r² × ২৮ = ৭৯২ 
⇒ ৮৮ × r² = ৭৯২ 
⇒ r² = ৭৯২/৮৮
⇒ r² = ৯
∴ r = ৩

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ৩ মিটার
∴ ব্যাস = (২ × ৩) = ৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১১ মিটার এবং ১৫ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৫ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১১ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ১১/২ = ৫.৫ মিটার

অতএব, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব = ৫.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমানো হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 160 বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য কমালে ক্ষেত্র বর্গাকার হয়ে যায়।
ধরি, দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, xy = 160 ....... (1) 

আবার, 
দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমালে বর্গাকার হয়। অর্থাৎ, x - 6 = y

(1) নং হতে পাই, 
⇒ x(x - 6) = 160
⇒ x² - 6x - 160 =0
⇒ x² - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
⇒ (x - 16)(x + 10) = 0
হয়, (x - 16) = 0
∴ x = 16

অথবা, (x + 10) = 0
∴ x = - 10  [যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

সুতরাং, দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
এবং প্রস্থ, y = 160/16 = 10 মিটার

সুতরাং,  আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 10 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 12 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 12 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল = 168 বর্গমিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
⇒ 168  = 12 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 168/12
∴ উচ্চতা = 14

∴ সামান্তরিকটির উচ্চতা 14 মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ৭৫ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ৩ মিটার
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৩ + ৩ = ৪৬ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬৬ × ৪৬ = ৩০৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৩০৩৬ - ২৪০০ = ৬৩৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৭৫ টাকা
∴  ৬৩৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৬৩৬ × ৭৫ = ৪৭৭০০ টাকা

∴ রাস্তা তৈরি করতে মোট ব্যয় = ৪৭৭০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সে.মি.
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.
আয়তন = 12π ঘন সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
প্রশ্নমতে,
(1/3) × π × (6)² × h = 96π
⇒ (1/3) × 36h = 96
⇒  12h = 96
⇒  h = 96/12
⇒  h = 8 সে.মি.

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √(r² + h²)
= √(6² + 8²)
= √(36 + 64)
= √(100)
= 10 সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর = ৪ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = (৩ × বাহুর দৈর্ঘ্য) একক।
= (৩ × ৪) মিটার
= ১২ মিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর = ক একক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ১২
∴ ক = ৩

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ক।

আমরা জানি, অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪
⇒ ক = ৪৫°

অতএব, বহিঃস্থ কোণ = ক = ৪৫°

যেকোনো সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮টি।

অতএব, বহুভুজটি হবে একটি অষ্টভুজ (Octagon)।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √6 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

আমরা পাই,
(a/2)² + (√6)² = a² [ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ]
⇒ a² - (a/2)² = (√6)²
⇒ a² - a²/4 = 6
⇒ (4a² - a²)/4 = 6
⇒ 3a² = 24
⇒ a² = 8
∴ a = 2√2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × (2√2)²
= (√3/4) × 4 × 2
= 2√3
= 2√3 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = √২১  মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (১০)^২ + (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (১০)^২ + (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১০০ + ২১
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১২১
∴ অতিভুজ = ১১

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১১ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নানুসারে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{22/7) - 1}
⇒ r = 45/(15/7) 
∴ r = 21 সে.মি.

∴ নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি সুষম ১২ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১২

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১২)
= ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

প্রশ্ন: ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৪(১৪ - ৩)}/২
= (১৪ × ১১)/২
= ৭৭