১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: ৪৫ থেকে ৬৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
৪৫ থেকে ৬৫ এর মধ্যে মোট মৌলিক সংখ্যা আছে,
৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১ = চারটি

∴  মোট ৪টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

প্রশ্ন: x = 4, y = - 8 এবং z = 5 হলে, 25(x + y)² - 20(x + y)(y + z) + 4(y + z)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 4, y = - 8 এবং z = 5

প্রদত্ত রাশি,
25(x + y)² - 20(x + y)(y + z) + 4(y + z)²
= 25(4 - 8)² - 20(4 - 8)(- 8 + 5) + 4(- 8 + 5)²
= 25(- 4)² - 20(- 4)(- 3) + 4(- 3)²
= 400 - 240 + 36
= 196

প্রশ্ন: একটি ধাতু মিশ্রণে রুপা ও দস্তার অনুপাত ৭ : ২। মিশ্রণের ওজন ৩৬ গ্রাম হলে, কত গ্রাম রুপা মেশালে রুপা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
রুপা ও দস্তার অনুপাত = ৭ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৭ + ২ = ৯

∴ রুপার পরিমাণ = ৩৬ এর ৭/৯ = ২৮ গ্রাম
∴ দস্তার পরিমাণ = ৩৬ এর ২/৯ = ৮ গ্রাম

এখন বলা হয়েছে, কিছু রুপা যোগ করলে নতুন অনুপাত হবে ৪ : ১

ধরি, x গ্রাম রুপা যোগ করার পর নতুন অনুপাত,
⇒ (২৮ + x) : ৮ = ৪ : ১
⇒ (২৮ + x)/৮ = ৪/১
⇒ ২৮ + x = ৩২
⇒ x = ৩২ - ২৮
∴ x = ৪ গ্রাম

অতএব, ৪ গ্রাম রুপা মেশাতে হবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার এবং প্রস্থ ১০০ মিটার হলে উক্ত মাঠের ক্ষেত্রফল কত হেক্টর?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার এবং প্রস্থ ১০০ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ২৫০ × ১০০ = ২৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
১০,০০০ বর্গমিটার = ১ হেক্টর
∴ ২৫০০০ বর্গমিটার = (২৫০০০/১০০০০) হেক্টর
= ২.৫ হেক্টর

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + ...... ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি সমান্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ৩ = ৪

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি, S_n​ = (n​/২) × {২a + (n - ১)d}
∴ ২০ তম পদের সমষ্টি, S​_২০ = (২০​/২) × {(২ × ৩) + (২০ - ১)৪}
= ১০ × (৬ + ৭৬)
= ১০ × ৮২
= ৮২০

প্রশ্ন: x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³ কে উৎপাদক বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান:
x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³
= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ - xy² - 2y³
= {x³ +3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² + (2y)³} - xy² - 2y³
= (x + 2y)³ - y²(x + 2y)
= (x + 2y){(x + 2y)² - y²} 
= (x + 2y)(x + 2y + y)(x + 2y - y)
= (x + 2y)(x + 3y)(x + y)

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৩৮০। এদের প্রথম ৪টির গড় ৪০ এবং শেষ ৫টির গড় ৩০ হলে, ৫ম সংখ্যাটির কত?

সমাধান:
১০টি সংখ্যার যোগফল = ৩৮০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৪০
∴ প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ × ৪ = ১৬০
আবার,
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৩০
∴ শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩০ × ৫ = ১৫০

∴ প্রথম ৪টির যোগফল + ৫ম সংখ্যা + শেষ ৫টির যোগফল = ৩৮০
⇒ ৫ম সংখ্যা = ৩৮০ - (প্রথম ৪টির যোগফল + শেষ ৫টির যোগফল)
 = ৩৮০ - (১৬০ + ১৫০)
= ৩৮০ - ৩১০
= ৭০

∴ ৫ম সংখ্যা = ৭০

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ৫০% বাড়ানো হলে ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের মূল ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের মূল পরিধি = ২πr
এখন,
পরিধি যদি ৫০% বাড়ানো হয়,
∴ নতুন পরিধি হবে = ২πr + ৫০% এর ২πr = ১.৫ × ২πr = ৩πr

নতুন পরিধি ৩πrহলে, নতুন ব্যাসার্ধ = ৩πr/২π = ১.৫r
অর্থাৎ নতুন ব্যাসার্ধ পুরনো ব্যাসার্ধের ১.৫ গুণ হয়েছে।

মূল ক্ষেত্রফল = πr^২ 
নতুন ক্ষেত্রফল = π(১.৫r)^২= ২.২৫πr^২

∴ শতকরা ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি = {(২.২৫πr^২ - πr^২ )/πr^২} × ১০০%
= (১.২৫πr^২/πr^২) × ১০০%
= ১২৫%

∴ ক্ষেত্রফল ১২৫% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: রমিজ সাহেব ব্যাংকে ৫০০০ টাকা জমা রাখলেন এবং ঠিক করলেন যে, আগামী ৬ বছর তিনি ব্যাংক থেকে টাকা উঠাবেন না। ব্যাংকের বার্ষিক সরল মুনাফা ১০% হলে, ৬ বছর পর তার মুনাফা-আসল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ৬ বছর

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Prn/১০০
= (৫০০০ × ১০ × ৬)/১০০
= ৩০০০
∴ মুনাফা = ৩০০০ টাকা

∴ মুনাফা-আসল = ৩০০০ + ৫০০০ = ৮০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ২১ বেশি, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক/২ = (ক/৩) + ২১
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ২১
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ২১
⇒ ক = ২১ × ৬
∴ ক = ১২৬

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ১২৬।

প্রশ্ন: 3log₁₀2 + log₁₀5 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3log₁₀2 + log₁₀5
= log₁₀2³ + log¹⁰5
= log₁₀8 + log₁₀5
= log₁₀(8 × 5)
= log₁₀40

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি এবং টাকায় ৫টি দরে সমান সংখ্যক আমলকি ক্রয় করে এক ব্যক্তি টাকায় ৪টি করে আমলকি বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:
৩টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার,
৫টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১/৫ টাকা

∴ (১+১) বা, ২টি আমলকির ক্রয়মূল্য = (১/৩) + (১/৫) = ৮/১৫ টাকা

∴ ২টি আমলকির ক্রয়মূল্য ৮/১৫ টাকা
∴ ১টি আমলকির ক্রয়মূল্য ৮/(১৫ × ২) টাকা
∴ ৪টি আমলকির ক্রয়মূল্য (৮ × ৪)/(১৫ × ২) = ১৬/১৫ টাকা

∴ ক্ষতি = (১৬/১৫) - ১ = ১/১৫ টাকা

∴ ১৬/১৫ টাকায় ক্ষতি ১/১৫ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি = (১ × ১৫)/(১৫ × ১৬) টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি = (১ × ১৫ × ১০০)/(১৫ × ১৬) = ১০০/১৬ = ৬.২৫টাকা

অতএব, ৬.২৫% ক্ষতি হয়েছে।

প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কতগুলো স্পর্শক আঁকা সম্ভব হবে?

সমাধান:
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P।

∴ ২টি স্পর্শক PA ও PB।

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ১০ = ১০/১০০ = ১/১০
এবং সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৮০০০ × {১ + (১/১০)}^৩
= ৮০০০ × (১১/১০)^৩
= ৮০০০ × (১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৮ × ১১ × ১১ × ১১
= ১০৬৪৮ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০৬৪৮ টাকা

প্রশ্ন: ৫, ৭, ৮, ১৯, ১৫, ১৭, ৯, ১২, ২, ২০, ১৩, ৪ ও ১৮ সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন-

সমাধান:
নিচে সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো,
২, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১২, ১৩, ১৫, ১৭, ১৮, ১৯, ও ২০।

এখানে, n = ১৩ (যা বিজোড় সংখ্যা)

আমরা জানি,
মধ্যক = {(n + ১)/২} তম পদ
= (১৩ + ১)/২
= ১৪/২
= ৭ তম পদ

∴ ৭ তম পদ ১২

নির্ণয় মধ্যক = ১২

প্রশ্ন: ২০১৭২ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৮ জন অতিরিক্ত হয়। প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
৮ জন সৈন্যকে কমালে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে-
(২০৭৪০ - ৮) = ২০১৬৪

∴ প্রতিসারিতে সৈন্য সংখ্যা হবে √২০১৬৪ = ১৪২ জন।

প্রশ্ন: একটি প্যান্ট ও একটি শার্টের মূল্য একত্রে ৫২৫ টাকা। যদি শার্টের মূল্য ১০% বাড়ে ও প্যান্টের মূল্য ৫% কমে তাহলে শার্ট ও প্যান্টের মূল্য একত্রে একই থাকে। শার্টটির পূর্বমূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি, শার্টের মূল্য ক টাকা
তাহলে, প্যান্টের মূল্য (৫২৫- ক) টাকা

∴ ১০% বৃদ্ধিতে শার্টের মূল্য = ক + (ক এর ১০%) = ১১ক/১০
∴ ৫% হ্রাসে প্যান্টের মূল্য = (৫২৫ - ক) - {(৫২৫- ক) এর ৫%}
= (৯৯৭৫ - ১৯ক)/২০

প্রশ্নমতে,
⇒ (১১ক/১০) + {(৯৯৭৫- ১৯ক)/২০} = ৫২৫
⇒ (২২ক + ৯৯৭৫ - ১৯ক)/২০ = ৫২৫
⇒ ৩ক = ১০৫০০ - ৯৯৭৫
⇒ ৩ক = ৫২৫
⇒ ক = ৫২৫/৩
∴ ক = ১৭৫

সুতরাং শার্টের পূর্বমূল্য ১৭৫ টাকা

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে ১২টি প্রশ্ন থেকে ৬টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম ৫টি থেকে ঠিক ৪টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে ৬টি প্রশ্ন উত্তর করা যাবে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থীকে প্রথম ৫টি থেকে ৪টি এবং অবশিষ্ট (১২ - ৫) = ৭টি থেকে ২টি প্রশ্ন বাছাই করে উত্তর করতে হবে।

প্রথম ৫টি প্রশ্ন থেকে ৪টি বাছাই করা যায়, ^৫C_৪ = ৫!/৪!(৫ - ৪)! = ৫ উপায়ে
আবার,
৭টি থেকে ২টি বাছাই করা যায় ^৭C_২ = ৭!/২!(৭ - ২)! = (৭ × ৬ ×৫!)/(২ × ৫!) = ২১ উপায়ে।

∴ মোট প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ৫ × ২১ = ১০৫ উপায়ে

প্রশ্ন: বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী। যে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৬ মিটার, ১২ মিটার ও ৪ মিটার, তাতে কত কিলোগ্রাম বায়ু আছে?

সমাধান:
ঘরের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ১৬ × ১২ × ৪
= ৭৬৮ ঘনমিটার
= ৭৬৮ × ১০০০০০০ ঘন সে. মি.
= ৭৬৮০০০০০০ ঘন সে. মি.
আবার,
বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী।
∴ ১ ঘন সে. মি. বায়ুর ওজন = ০.০০১২৯ গ্রাম

অতএব, ঘরটিতে বায়ুর পরিমাণ = ৭৬৮০০০০০০ × ০.০০১২৯
= ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 12 এবং পঞ্চম পদ 324 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ২য় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 12 ........ (1)
পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1} = ar⁴ = 324 ....... (2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
⇒ ar⁴/ar = 324/12
⇒ r³ = 27 = 3³
∴ r = 3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 3

প্রশ্ন: । 4x - 3 । < 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
। 4x - 3 । < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 4x - 3  + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 4x < 4
⇒ 2/4 < 4x/4 < 4/4
∴ (1/2) < x < 1

প্রশ্ন: 'BALLOON' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'SCHOOL' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
'BALLOON' শব্দে মোট 7 টি বর্ণ রয়েছে । 
এখানে 'L' দুটি এবং 'O' দুটি, সুতরাং পুনরাবৃত্তি রয়েছে।

তাহলে,
'BALLOON'এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/(2 × 2!) = 1260
 
আবার,
'SCHOOL' শব্দে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যেখানে 'O' বর্ণটি 2টি ।
তাহলে,
'SCHOOL' এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 720/2 = 360

∴ প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার = (1260/360) গুণ
= 3.5 গুণ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5মি., 12মি. এবং 13মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
যেখানে, s = (a + b + c)/2 = (5 + 12 + 13)/2 = 30/2 = 15 মি.

∴ ক্ষেত্রফল = √{15 (15 - 5) (15 - 12) (15 - 13)}
= √(15 × 10 × 3 × 2)
= √900
= 30 বর্গমিটার

প্রশ্ন: রিমা ও রিতার বয়সের অনুপাত ৩ : ৫। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ৭ হবে। রিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
রিমার বর্তমান বয়স = ৩ক বছর।
রিতার বর্তমান বয়স = ৫ক বছর।

৮ বছর পর,
রিমার বয়স = ৩ক + ৮ বছর
রিতার বয়স = ৫ক + ৮ বছর

প্রশ্নমতে, 
⇒ (৩ক + ৮) : (৫ক + ৮) = ৫ : ৭
⇒ (৩ক + ৮)/(৫ক + ৮) = ৫/৭
⇒ ২৫ক + ৪০ = ২১ক + ৫৬
⇒ ২৫ক - ২১ক = ৫৬ - ৪০
⇒ ৪ক = ১৬
⇒ ক = ১৬/৪
∴ ক = ৪

∴ রিতার বর্তমান বয়স = ৫ক = ৫ × ৪ = ২০ বছর।

প্রশ্ন: কোন স্থানে যতজন লোক ছিল প্রত্যেকে তত ছয় টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মোট ৩৪৫৬ টাকা আদায় হলো। এখানে লোক সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, লোক ক জন
∴ প্রত্যেকে চাঁদা দেয় ৬ক টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ ৬ক × ক = ৩৪৫৬
⇒ ৬ক^২ = ৩৪৫৬
⇒ ক^২ = ৩৪৫৬/৬
⇒ ক^২ = ৫৭৬
⇒ ক = √৫৭৬
∴ ক = ২৪
অর্থাৎ লোকসংখ্যা ২৪ জন।

প্রশ্ন: ১৮টি কাগজের টুকরায় ১ থেকে ১৮ পর্যন্ত ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো লেখার পর একটি ঝুড়িতে রাখা হলো। যদি ঝুড়ি থেকে একটি কাগজ দৈব্যভাবে তোলা হয় , তাহলে কাগজটিতে জোড় নাম্বার থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৮ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১৮ টি
এদের মধ্যে জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮
মোট সংখ্যা = ৯ টি

সুতরাং, দৈব্যভাবে জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা = ৯/১৮ = ১/২

প্রশ্ন: ৫২০ টাকা ৩ জনকে (১/২) : (১/৫) : (১/৬) অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। দ্বিতীয় জন ও তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (১/২) : (১/৫) : (১/৬)
= {(১ × ৩০)/২} : {(১ × ৩০)/৫} : {(১ × ৩০)/৬}   ;[ ২, ৫, ৬ এর ল, সা গু = ৩০ ]
= ১৫ : ৬ : ৫

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ১৫ + ৬ + ৫ = ২৬

এখন,
দ্বিতীয় জন পাবে = (৫২০ এর ৬/২৬) = (২০ × ৬) = ১২০ টাকা
তৃতীয় জন পাবে = (৫২০ এর ৫/২৬) = (২০ × ৫) = ১০০ টাকা

∴ দ্বিতীয় জন এবং তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য = ১২০ - ১০০ = ২০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬৪/৪ = ১৬ মিটার 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^২ = (১৬)^২ = ২৫৬ বর্গমিটার 

এখন,
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার 
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা = ২৫৬/৮
= ৩২ মিটার

প্রশ্ন: নাবিল সাহেবের মাসিক মূল বেতন ২৮,২৫০ টাকা। বার্ষিক মোট আয়ের প্রথম ২ লক্ষ ৮০ হাজার টাকার আয়কর শূন্য। পরবর্তী টাকার উপর আয়করের হার ১০ টাকা হলে, নাবিল সাহেব কত টাকা আয়কর দেন?

সমাধান:
নাবিল সাহেবের মাসিক বেতন = ২৮,২৫০ টাকা
বার্ষিক মোট আয় = ২৮,২৫০ × ১২ = ৩৩৯,০০০ টাকা

∴ করযোগ্য টাকার পরিমাণ (৩৩৯০০০ - ২৮০০০০) = ৫৯০০০ টাকা

∴ ১০০ টাকায় আয়কর ১০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় আয়কর ১০/১০০ টাকা
∴ ৫৯০০০ টাকায় আয়কর = ৫৯০০০/১০ = ৫৯০০ টাকা

সুতরাং, নাবিল সাহেব ৫৯০০ টাকা আয়কর দেন।

প্রশ্ন: একটি নল ১৫ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করে। আরেকটি নল প্রতি মিনিটে ১০ লিটার পানি বের করে। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় উভয় নল খুলে দিলে ৪০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?


সমাধান:
ধরি, চৌবাচ্চার ধারণক্ষমতা x লিটার।

প্রথম নল,
প্রথম নল ১৫ মিনিটে পূর্ণ করে, সুতরাং প্রতি মিনিটে x/১৫​ লিটার পানি ভর্তি করে।
দ্বিতীয় নল,
দ্বিতীয় নল প্রতি মিনিটে ১০ লিটার পানি বের করে।

∴ দুটি নল একসঙ্গে কাজ করলে নেট পানি ভর্তি হার, (x/১৫​) - ১০

প্রশ্নমতে,
⇒ {(x/১৫​) - ১০} × ৪০ = x
⇒ (৪০x/১৫​) - ৪০০ = x
⇒ (৮x/৩​) - x = ৪০০
⇒ (৮x - ৩x)/৩ = ৪০০
⇒ x = (৪০০ × ৩)/৫
∴ x = ২৪০
 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা ২৪০ লিটার।

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩৫০ কিমি। ঢাকা হতে একটি ট্রেন সকাল ৭টায় ছেড়ে গিয়ে বিকেল ৩টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল? 

সমাধান:
সকাল ৭ টা থেকে বিকেল ৩টা পর্যন্ত মধ্যবর্তী সময়ের পার্থক্য ৮ ঘণ্টা।

∴ ট্রেনের গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব/মোট ব্যয়িত সময়
= ৩৫০/৮
= ৪৩.৭৫ কি. মি.

প্রশ্ন: X একটি কাজ ১০ দিনে এবং Y একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করে। তারা ৪ দিন একসাথে কাজ করার পর X চলে যায়। বাকি কাজ Y একা কত দিনে শেষ করবে?

সমাধান:
X-এর একদিনের কাজ = ১/১০ অংশ
Y-এর একদিনের কাজ = ১/১৫ অংশ

∴ একত্রে একদিনের কাজ = (১/১০) + (১/১৫) = (৩ + ২)/৩০ = ৫/৩০ = ১/৬ অংশ

আবার,
৪ দিনে একত্রে = ৪ × (১/৬) = ৪/৬ = ২/৩ অংশ

∴ বাকি কাজ = ১ - (২/৩) = (৩ - ২)/৩ = ১/৩ অংশ

∴ Y একদিনে করে ১/১৫ অংশ
∴ ১/৩ অংশ করতে সময় লাগবে = (১/৩) ÷ (১/১৫) = (১/৩) × ১৫ = ৫ দিন

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রথমে,
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেললে খেলার সংখ্যা হবে,
= ^৬C_২
= (৬ × ৫)/২
= ১৫

সুতরাং, একবার করে খেললে মোট ১৫টি খেলা হবে।

যেহেতু প্রতিযোগীদের একে অপরের সাথে ২ বার করে খেলতে হবে, তাই মোট খেলার সংখ্যা হবে = ২ × ১৫ = ৩০ টি

প্রশ্ন: ভূমির উপর লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি খুঁটি এক-তৃতীয়াংশ উচ্চতায় ভেঙ্গে গেল এবং ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে অবিচ্ছিন্ন থেকে খুঁটির শীর্ষবিন্দু ভূমি স্পর্শ করল। খুঁটির ভাঙ্গা অংশ কর্তৃক ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = L 
∴ দণ্ডায়মান অংশ = L/3

∴ ভাঙ্গা অংশ = L - (L/3) = (3L - L)/3
= 2L/3


আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
= (L/3)/(2L/3)
= 3L/6L
= 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ২ : ৪ : ৪ : ৫ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল ৩৬০°
দেওয়া অনুপাত গুলো হলো = ২ : ৪ : ৪ : ৫

ধরি, কোণগুলো হলো ২x, ৪x, ৪x, ৫x

প্রশ্নমতে,
⇒ ২x + ৪x + ৪x + ৫x = ৩৬০°
⇒ ১৫x = ৩৬০°
⇒ x = ৩৬০°/১৫
∴ x = ২৪°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৫ × ২৪° = ১২০°
∴ বৃহত্তম কোণ = ২ × ২৪° = ৪৮°

∴ পার্থক্য = ১২০° - ৪৮° = ৭২°

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ........... + 52² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যা বর্গের সমষ্টি,
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 52² = [52(52 + 1){2 × 52) + 1}]/6
= (52 × 53 × 105)/6
= 48230

প্রশ্ন: একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক- চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ?

সমাধান:
মনে করি, রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ক একক
∴ ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক

আবার,
∴  এক- চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = ক/৪
∴ ক্ষেত্রফল = (ক/৪) = ক^২/১৬

∴  বড় বর্গক্ষেত্র ছোটটির = ক^২/(ক^২/১৬) = ১৬ গুণ

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ মিনিট ১৫ মিনিট ও ১৮ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৮ : ৩০ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু হবে ঘণ্টা তিনটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।
১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০

তাহলে,
ঘণ্টাগুলো ১৮০ মিনিট বা ৩ ঘণ্টা পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

অতএব, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (৮ : ৩০ মিনিট + ৩ : ০০ মিনিট) = ১১ : ৩০ মিনিট

প্রশ্ন: a³ + a²b, a²b + ab² এবং a³ - ab² এর গ, সা, গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
a³ + a²b = a²(a + b)

২য় রাশি,
a²b + ab² = ab(a + b)

৩য় রাশি,
a³ - ab² = a(a² - b²) = a(a + b)(a - b)

∴ নির্ণয়ে গ, সা, গু = a(a + b)

সঠিক উত্তর: ক) ৬২.৩৫ বর্গ সে. মি. ও খ) ৩৬√৩ বর্গ সে. মি.
অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
-------------------------- 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একবাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × ক^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × (১২)^২
= (√৩/৪) × ১৪৪
= ৩৬√৩ বর্গ সে. মি. = ৬২.৩৫ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ৪ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে ৩ জন মহিলা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (৪ + ৩) = ৭ জন
৩ জন মহিলা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (১ + ৪) জন
= ৫ জন
∴ ৫ জনকে সাজানো যায় = ৫!
∴ ৩ জন মহিলাকে সাজানো যায় = ৩!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ৫! × ৩!
= ১২০ × ৬
= ৭২০