প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: যদি x + y = 11 এবং xy = 24 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 11 এবং xy = 24

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 11² - (4 × 24)
= 121 - 96
= 25
⇒ (x - y) = √25
∴ x - y = 5

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 7 এবং y = 6
প্রদত্ত রাশি = 16x² - 40xy + 25y²
=(4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
=(4 × 7 - 5 × 6)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (28 - 30)²
= (- 2)²
= 4

প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, (x² - 1/x²)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 5² - 4 = 25 - 4 = 21
∴ (x - 1/x) = √21

প্রদত্ত রাশি, 
(x² - 1/x²)²
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}²
= (5 × √21)²
= 25 × 21
= 525

প্রশ্ন: 25x² - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
25x² - 20x
= (5x)² - 2 × 5x × 2 + (2)² - 4
= (5x - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: p² - 2r কে p² - 3r দ্বারা গুণ করলে, গুণফল নিচের কোনটি?

সমাধান:
(p² - 2r)(p² - 3r)
= (p²)² + (- 2r - 3r)p² + (- 2r)(- 3r)
 = p⁴ - 5p²r + 6r²
= p⁴ - 5p²r + 6r²

প্রশ্ন: যদি p = x² + xy + y²  এবং q = x² - xy + y² হয় তবে q - p = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
p = x² + xy + y²
q = x² - xy + y²

∴ q - p
= (x² - xy + y²) - (x² + xy + y²)
= x² - xy + y² - x² - xy - y²
= - 2xy

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a² + 2b² এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 13 এবং a - b = 3

প্রদত্ত রাশি,
2a² + 2b²
= 2(a² + b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 13² + 3²
= 169 + 9
= 178

প্রশ্ন: যদি a = 7 হলে, a³ + 6a² + 12a + 1 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a = 7

প্রদত্ত রাশি,
a³ + 6a² + 12a + 1
= a³ + 3⋅a²⋅2 + 3⋅a⋅2² + 2³ - 7
= (a + 2)³ - 7
= (7 + 2)³ - 7
= 9³ - 7
= 729 - 7
= 722

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 14a² + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 14a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 14a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 14
⇒ a² + (1/a²) = 14
⇒ {a + (1/a)}² - 2 . a . (1/a) = 14 
⇒ (a + 1/a)² = 14 + 2
⇒ a + (1/a) = √16
∴ a + (1/a) = ± 4

প্রশ্ন: যদি x + y = 3, হয়, তাহলে x³ + y³ + 9xy = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 3
⇒ (x + y)³ = (3)³   ; [ঊওভয়পাশে ঘন করে পাই]
⇒ x³ + y³ + 3xy(x + y) = 27
⇒ x³ + y³ + 3xy(3) = 27
∴ x³ + y³ + 9xy = 27

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি x² + 1/x² = 7 হয়, তবে x³ + 1/x³ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 1/x² = 7
⇒ (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x = 7
⇒ (x + 1/x)² = 7 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 9
⇒ (x + 1/x) = √9 = 3
∴ (x + 1/x) = 3

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . 1/x (x + 1/x)
= 3³ - 3 . 3
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: যদি a - b = 18 এবং a³ - b³ = 324 হয়, তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - b = 18
এবং
a³ - b³ = 324
⇒ (a - b)³ + 3ab(a - b) = 324
⇒ (18)³ + 3ab . 18 = 324
⇒ 54ab = 324 - 5832
⇒ 54ab = - 5508
⇒ ab = - 5508/54
∴ ab = - 102

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √7 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = √11
x - y = √7

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√11/2)² - (√7/2)²
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: a = 3 এবং b = - 2 হলে, 4a - 5b + 2a + 3b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 3 এবং b = - 2

প্রদত্ত রাশি, 
= 4a - 5b + 2a + 3b
= (4a + 2a) + (- 5b + 3b)
= 6a - 2b
= 6(3) - 2(- 2)
= 18 + 4
= 22

প্রশ্ন: যদি a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3 হয়, তাহলে a² + b² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3

এখন,
a + b = 1 + √3 + 1 - √3 = 2
এবং ab = (1 + √3)(1 - √3) = 1² - (√3)² = 1 - 3 = - 2

প্রদত্ত রাশি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= 2² - 2(- 2)
= 4 + 4
= 8
∴ a² + b² = 8

প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0

আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 160। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x² + y² = 160

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 160 + (2 × 48)
= 160 + 96
= 256
⇒ x + y = √256
∴ x + y = 16

প্রশ্ন: যদি 3x² - 12x + 3 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)³ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x² - 12x + 3 = 0
⇒ 3x² + 3 = 12x
⇒ 3(x² + 1) = 12x
⇒ (x² + 1) = 4x
⇒ (x²/x) + 1/x = 4
∴ x + 1/x = 4

প্রদত্ত রাশি,
(x + 1/x)³
= 4³
= 64

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে 

প্রশ্নমতে, 
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b² - a²)/ab
∴ x = (2b² - a²)/ab