Math Master

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (8 - 2) × 180°
= 6 × 180°
= 1080°

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।

শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি ১২ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১০ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬ × ১০
= ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ৯০°
= ৪৫°

• একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ হলো বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু কেন্দ্রে থাকে।
• পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ হলো বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু পরিধিতে থাকে।
• বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ সর্বদা কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = ১৩৮৬/১৩২
বা, r/2 = ১৩৮৬/১৩২
বা, r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২
∴ r = ২১

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= ২ × ২১ = ৪২ সে.মি.

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৩০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৩০
⇒ ২r(π - 1) = ৩০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৩০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৩০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৩০
⇒ r = (৩০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ২১০/৩০
∴ r = ৭

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (13)²
= 169 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১০ সে.মি
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = ১০/২ = ৫ সে.মি
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি

বহিঃস্পর্শ করে এখন দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (৫ + ৪) সে.মি
= ৯ সে.মি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

​সমাধান:
​প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ১৯০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ১৯০° < ৩৬০°)।
​∴ ১৯০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
​• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
​• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
​• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
​• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)^২ = ৬৪π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π

১০০π ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে ৩৬π  
∴ ১ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে (৩৬π/১০০π)
∴ ১০০ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = ৩৬%

প্রশ্ন: রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রথমটির ৩/২ গুণ হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ মি
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = (৮ এর ৩/২) = ১২ মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১২ বর্গ মি.
= ৪৮ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ মি.।

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= [৮(৮ - ৩)]/২
= (৮ × ৫)/২
= ৪০/২ 
= ২০ টি

প্রশ্ন: একটি ১৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার
যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ (ক)^২ + (১২)^২ = (১৫)^২
⇒ (ক)^২ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ (ক)^২ = ২২৫ - ১৪৪
⇒ (ক)^২ = ৮১
⇒ ক = √৮১
∴ ক = ৯

∴  মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ৯ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৮৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৮৫)°
= ৯৫°

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
​
​সমাধান:
​• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

​ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)

∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
​ = π/3 রেডিয়ান।