শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
মনে করি, 
১ম কোণ = ৩ক
২য় কোণ = ৪ক এবং 
৩য় কোণ = ৫ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০° 
বা, ১২ক = ১৮০° 
বা, ক = ১৫° 

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক
= ৩ × ১৫°
= ৪৫°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না? 

সমাধান: 
⇒ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়। 
⇒ বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়। 
⇒ কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের  সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।

সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল 294 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = x মি.
তাহলে, দৈর্ঘ্য = 3x/2 মি. 

শর্তমতে,
(3x/2) × x = 294
বা, 3x² = 588
বা, x² = 196
বা, (x)² = (14)² 
∴ x = 14 মি. 
এবং দৈর্ঘ্য = (3 × 14)/2 মি.
= 21 মি.

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (21 + 14) মি.
= 70 মি. 

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
যেকোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360° । 

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের একবাহু 4 মিটার হলে, উহার কর্ণ কত মিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = 4 মিটার
আমরা জানি, 
 বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × 4 = 4√2 মি. 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6, 8 ও 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?   

সমাধান: 
ত্রিভুজের বাহু তিনটি দিয়ে যে ত্রিভুজ আঁকা যায় তা হলো সমকোণী ত্রিভুজ।  
∴ সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
= (1/2) × 6 × 8 
= 24 বর্গ সে.মি. 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 24 বর্গ সে.মি. 

বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2
∴ ছয় বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 6(6 - 3)/2 = 9

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৫২) বর্গ সে.মি. 
= ১০৪ বর্গ সে.মি. 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান: 
ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
সুতরাং ত্রিভুজের দুটি বহিঃস্থ কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ কোণ দুটিও সমান হবে।
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হবে।

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ? 

সমাধান:
ধরি, 
রেখাটি = ক 
রেখাটির উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = ক^২ 
রেখাটির এক-তৃতীয়াংশ = ক/৩ 
রেখাটির এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ক/৩)^২ 
= ক^২/৯ 
= ১/৯ × ক^২ 
= ১/৯ × (ক রেখার উপর বর্গের ক্ষেত্রফল) 

∴ ক রেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অনুপাত = ক^২/(ক^২/৯)  
= (ক^২/ক^২) × ৯  
= ৯ গুণ 

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?  

সমাধান: 
সুষম ষড়ভূজের বহিঃস্থকোণের সমষ্টি = 360° 
সুষম ষড়ভূজের প্রতিটি বহিঃস্থকোণ = 360°/6 = 60°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে, যেখানে উহার সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 50 সেমি ও ভূমি 60 সেমি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) ×(√4a² - b²)
যেখানে b = 60 ও a = 50 

∴  ক্ষেত্রফল = (b/4) ×(√4a² - b²)
= (60/4) × {√4. (50)² - (60)²}
= 15 × (√10000 - 3600)
= 15 × (√6400)
= 15 × 80 
= 1200 বর্গ সেমি 

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার 
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৪/৪ মিটার
= ১১ মিটার 

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১১)^২ বর্গ মিটার 
= ১২১ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। বাগানের ভিতরে সীমানার পাশ দিয়ে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার 
বাগানের প্রস্থ = ৩০ মিটার 
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ২৪০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৮০ - ২ × ২) মিটার
= ৭৬ মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (৩০  - ২ × ২) মিটার
= ২৬ মিটার
∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৭৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ১৯৭৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৪০০ - ১৯৭৬) বর্গমিটার 
= ৪২৪ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু a সে.মি. ও b সে.মি.। তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব h সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু a সে.মি. ও b সে.মি. এবং মধ্যবর্তী দূরত্ব h সে.মি.
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(1/2) × (a + b) × h}

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° 
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ = ৯০°
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

∴ প্রতিটি কোণ ভিন্ন ভিন্ন ভাবে অবশ্যই ৯০° এর চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ এগুলো সূক্ষ্মকোণ হবে। 

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে B +C = 180°
বা, 100° + C = 180°
বা, C = 180° - 100° = 80°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৪৫° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য a ও b এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) ab sinθ। 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ১০ × sin ৪৫°  
= ৫০ × (১/√২)
= ২৫ × ২ × (১/√২)
= ২৫√২

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

 
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, GE² = EF² + FG²
∴ c² = a² + b²