১৯তম জুডিসিয়াল সার্ভিস (BJS) প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে- 

সমাধান:
একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে,
100 × শতক স্থানীয় অঙ্ক + 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক + 1 × একক স্থানীয় অঙ্ক
= (100 × a) + (10 × b) + (1 × c)
= 100a + 10b + c

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০, ৪/১৫, ১/৬ এর গড় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা

এখন, 
চারটি ভগ্নাংশ যোগ করে পাই,
(২/৫) + (৩/১০) + (৪/১৫) + (১/৬)
= (১২ + ৯ + ৮ + ৫)/৩০ 
= ৩৪/৩০ 
= ১৭/১৫

∴ গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা
= (১৭/১৫)/৪ 
= ১৭/৬০ 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

সমাধান: 
ক) ৭৭/১৪৩ = (৭ × ১১)/(১১ × ১৩) = ৭/১৩ 

খ) ১০২/২৮৯ = (২ × ৩ × ১৭)/(১৭ × ১৭) = (২ × ৩)/১৭ 

গ) = ১১৩/৩৫৫
১১৩ = মৌলিক
এবং ৩৫৫ = ৫ × ৭১ 
কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই অর্থাৎ গ.সা.গু = ১
∴ যা লঘিঠ আকারে প্রকাশিত। 

ঘ) ৩৪৩/১০০১ = (৭ × ৭ × ৭)/(৭ × ১৪৩) = (৭ × ৭)/১৪৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) ১১৩/৩৫৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১১ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ১১ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৪ × ৩^২ = ১৬ × ৯ = ১৪৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ১৪৪ + ১১ 
= ১৫৫ 

প্রশ্ন: যদি x একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
ধরি,
x = 4 (জোড় সংখ্যা)
ক) x³ = 4³ = 64 ; যা জোড় সংখ্যা

খ) 5(x + 2) = 5 × (4 + 2) = 40 ; যা জোড় সংখ্যা

গ) (2x + 2) = 2 × 4 + 2 = 10 ; যা জোড় সংখ্যা

ঘ) (7x + 3) = 7 × 4 + 3 = 31  ইহা জোড় সংখ্যা নয়।

সঠিক উত্তর ঘ) (7x + 3)

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?

সমাধান: 
৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু.ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

এখন, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৬৩ = ৩ × ৩ × ৭  
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩  
১৩৫ = ৩ × ৩ × ৩ × ৫  

৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু. = ৩ × ৩ = ৯ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ গণনা করলে তার মধ্যে কয়টি ৬ পাওয়া যাবে? 

সমাধান:
একক স্থানে ৬ আছে - ৬, ১৬, ২৬, ৩৬, ৪৬, ৫৬, ৬৬, ৭৬ = ৮টি

এবং 
দশক স্থানে ৬ আছে - ৬০, ৬১, ৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৭, ৬৮, ৬৯ = ১০ টি

∴ মোট ৬ আছে = ৮ + ১০ = ১৮ টি 

বিশেষ দ্রষ্টব্য: ৬৬ সংখ্যায় ৬ দুইবার এসেছে (একক ও দশক উভয় স্থানে)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (ক/৩) = ৪(৯৫ - ক) - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩৮০ - ৪ক - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩১০ - ৪ক
⇒ ১০৫ - ক = ৩(৩১০ - ৪ক)
⇒ ১০৫ - ক = ৯৩০ - ১২ক
⇒ ১২ক - ক = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১ক = ৮২৫
⇒ ক = ৮২৫/১১
∴ ক = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলো সম-লববিশিষ্ট হলে ক্ষুদ্রতম হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশটি বৃহত্তম হবে। 

এখন, 
২/৩ > ২/৭ > ২/১১ > ২/১৩ 

সঠিক উত্তর খ) ২/৩ 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৭ক ও ১০ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৭ × ১০)ক = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১০ × ক = ১০ × ৩ = ৩০ 

প্রশ্ন: √৩ এবং ৫ এর মধ্যে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান: 
পূর্ণসংখ্যা: পূর্ণসংখ্যা হলো এমন সব সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নেই। এতে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম এবং এটিকে সাধারণত 'Z' অক্ষর দিয়ে বোঝানো হয়। 
যেমন, ....- ২, - ১, ০ , ১, ২, ......

এখন, 
√৩ = ১.৭৩২ 

∴ ১.৭৩২ < পূর্ণসংখ্যা < ৫ 
পূর্ণসংখ্যা তালিকা = ২, ৩, ৪ 
∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = ৩টি 

প্রশ্ন: কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ টাকা = ১০০ পয়সা
সুতরাং, 
৩.২৫ টাকা = ৩২৫ পয়সা
৪.৭৫ টাকা = ৪৭৫ পয়সা
১১.৫০ টাকা = ১১৫০ পয়সা

এখন,
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ
৩২৫ = ৫ × ৫ × ১৩
৪৭৫ = ৫ × ৫ × ১৯
১১৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ২৩

∴ ৩২৫, ৪৭৫ ও ১১৫০ এর গ.সা.গু = ২৫

অতএব, সবচেয়ে বড় ২৫ পয়সার মুদ্রার প্রয়োজন।

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক ৭৮, ভাগফল ২৫ এবং ভাগশেষ ০ হলে ভাজ্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ৭৮  
ভাগফল = ২৫  
ভাগশেষ = ০  

আমরা জানি, 
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজ্য = ৭৮ × ২৫ + ০  
= ৭৮ × ২৫
= ১৯৫০

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৩৫। প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করে পরে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূল গড় = ৩৫  
মোট সংখ্যা = ১২  
∴ সমষ্টি = ১২ × ৩৫ = ৪২০

এখন, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে নতুন সমষ্টি  
= ৪২০ - (১২ × ৫)  
= ৪২০ - ৬০  
= ৩৬০

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন সমষ্টি,  
= ৩৬০ × ২ = ৭২০

∴ নতুন গড় = ৭২০/১২ = ৬০ 

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ২/৭ অংশের মূল্য ৫৬০০০ টাকা হলে ১/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান: 
২/৭ অংশ বাড়ির মূল্য ৫৬০০০ টাকা
∴ ১ অংশ বাড়ির মূল্য = (৫৬০০০ × ৭)/২ = (২৮০০০ × ৭) টাকা
∴ ১/৪  অংশ বাড়ির মূল্য = (২৮০০০ × ৭)/৪ টাকা
= ৪৯০০০ টাকা 

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটি ও কম বেশী হবে না?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭ = ৭
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

সুতরাং, সর্বমোট ২১০টি গাছ হলে বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে লাগালে একটিও গাছ কম-বেশি হবে না।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কলার সাথে আর কতগুলো কলা যোগ করলে তা ৬, ৭ বা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কলা যোগ করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যা নয়? 

সমাধান: 
৮ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
কোনো সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষের তিনটি অঙ্ক মিলে গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

এখন, 
৭৪৪ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩১ = ৮ × ৩ × ৩১  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৬৪৮ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ = ৮ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৪৭২ = (২ × ২ × ২) × ৫৯ = ৮ × ৫৯  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
১৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ১৩   ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১। সমষ্টিগত ভাবে ১০টি সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৭টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০

এবং 
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩

∴ ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৮০ + ৬৩ = ৩৪৩

∴ ১০ টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০ = ৩৪.৩

প্রশ্ন: এক লিটার খাঁটি দুধে ২০০ মিলি লিটার পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে-

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ লিটার খাঁটি দুধ = ১০০০ মিলি লিটার
পানি মেশানো হলো = ২০০ মিলি লিটারগ্রাম
∴ মোট মিশ্রণ = ১০০০ + ২০০ = ১২০০ মিলি লিটার

∴ মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে = ২০০/১২০০ = ১/৬ অংশ

প্রশ্ন: ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
এখানে ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ৬০।
এখন,
৬০ দ্বারা ৯৯৯৯৯ কে ভাগ করতে হবে।
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে।
এবার ৬০ - ৩৯ = ২১ ।
সুতরাং ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে ২১ যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: ৩২৪ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩২৪ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
= ২^২ × ৩^৪ 

এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৪।
এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৪ + ১)
= ৩ × ৫
= ১৫ 

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১৫।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ১২ ও ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = ১২, ল.সা.গু = ১৮০ এবং একটি সংখ্যা = ৬০

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু  = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
⇒ ১২ × ১৮০ = ৬০ × ২য় সংখ্যা
⇒ ২য় সংখ্যা = (১২ × ১৮০)/৬০ = ৩৬  
∴ ২য় সংখ্যা = ৩৬ 

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ৩৬

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল z হয়, তবে নিচের কোনটি একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = ১৫ × ২৮ × ৩৩

এখন, 
ক) z/২১ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৭) = ৪ × ৫ × ৩ × ১১  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]
খ) z/২৪ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৮) = (৪ × ৫ × ৭ × ৩ × ১১)/৮  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না]
গ) z/৫৫ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৫ × ১১) = ৩ × ৪ × ৩ × ৭  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) z/২৪

প্রশ্ন: ২৪ জন ছাত্র এবং একজন শিক্ষকের বয়সের গড় ১৬ বছর। শিক্ষককে বাদ দিয়ে শুধু ছাত্রদের গড় করলে গড় ২ বছর কমে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
মোট ব্যক্তি = ২৫ জন  
গড় = ১৬ বছর  
∴ মোট বয়স = ২৫ × ১৬ = ৪০০ বছর

আবার, 
শিক্ষককে বাদ দিলে,   
ছাত্র = ২৪ জন  
গড় = ১৬ - ২ = ১৪ বছর
∴ ছাত্রদের মোট বয়স = ২৪ × ১৪ = ৩৩৬ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = মোট বয়স - ছাত্রদের মোট বয়স  
= ৪০০ - ৩৩৬  
= ৬৪ বছর

সুতরাং, শিক্ষকের বয়স ৬৪ বছর। 

প্রশ্ন: একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে এবং ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছ আছে।  সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে?

সমাধান:
মোট জাত = ১৬ টি 

১/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (১/৪) = ৪ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ৫ = ২০টি  ; [প্রতি জাতে ৫টি করে গাছ]

আবার, 
৩/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (৩/৪) = ১২ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ১২ = ৪৮ টি  ; [প্রতি জাতে ৪টি করে গাছ]

∴ সর্বমোট গাছ = ২০ + ৪৮ = ৬৮টি

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬৬/৩) + ১ = ২২ + ১
= ২৩ বার

প্রশ্ন: ০.০০৫৭৭৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
√০.০০৫৭৭৬ = √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৭৬^২/১০০০^২)
= ৭৬/১০০০
= ০.০৭৬

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।