১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: x জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর p এবং এর মধ্যে y জন ছাত্রের গড় নম্বর q। বাকি ছাত্রীদের গড় নম্বর কত?

সমাধান: 
x জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর p
∴ মোট নম্বর = xp

y জন ছাত্রের গড় নম্বর q
∴ মোট নম্বর = yq

বাকি ছাত্রীর সংখ্যা = x - y

∴ ছাত্রীদের গড় নম্বর = (xp - yq)/(x - y)

প্রশ্ন: ০, ৩, ৫, ৪, ৬, ৭ সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহারে করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যবে?

সমাধান: 
প্রথম সংখ্যা ০ ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা হতে হবে।
তাহলে বাকি 5 টি সংখ্যা থেকে 1 টি সাজানোর সম্ভাবনা = ⁵P₁ = 5

প্রথম স্থান পূরণের পর বাকি 5 টি অঙ্কথেকে 2 টি স্থান পূরণ করা যাবে = ⁵P₂ = 20 উপায়ে।

∴ মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে = 5 × 20 = 100টি

প্রশ্ন: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
A এর সকল সদস্য জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 20 অপেক্ষা ছোট।
∴ সেট গঠন পদ্ধতি অনুসারে, A = {x : x ∈ N, x জোড় সংখ্যা এবং < 20}

প্রশ্ন: 8^3x+2 = 4^x-1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
8^3x+2 = 4^x-1
বা, 2^3(3x+2) = 2^2(x-1)
বা, 9x + 6 = 2x - 2
বা, 9x - 2x = - 2 - 6
বা, 7x = - 8
∴ x = - 8/7

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2(3x + 5) = - (x - 31) হবে?

সমাধান: 
2(3x + 5) = - (x - 31)
বা, 6x + 10 = - x + 31
বা, 6x + x = 31 - 10
বা, 7x = 21
বা, x = 21/7
∴ x = 3

প্রশ্ন: 3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
3x - 3 > 2x - 1
বা, 3x - 3 + 3 > 2x - 1 + 3
বা, 3x > 2x + 2
বা, 3x - 2x > 2x - 2x + 2
∴ x > 2

অর্থাৎ x এর মান 2 থেকে বড় যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (2, ∞)

প্রশ্ন: P(x) = 3x² + 8x - 9 কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান: 
P(x) = 3x² + 8x - 9
(x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2) এর মানের সমান।

∴ P(2) = 3(2)² + (8 × 2) - 9
= 12 + 16 - 9
= 28 - 9
= 19

প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 এর পরমমানে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান: 
- 8 < 3 - x < - 2
বা, - 8 + 5 < 3 - x + 5 < - 2 + 5
বা, -3 < 8 - x < 3
∴ ।8 - x। < 3

প্রশ্ন: ২৬, ১২, ২৩, ৩০, ১৬, ২৮, ৩৫, ২১ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১২, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ২৮, ৩০, ৩৫
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।

∴ মধ্যক = (২৩ + ২৬)/২
= ৪৯/২
= ২৪.৫

প্রশ্ন: Q = {x : x² + 3x + 2 = 0} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হবে?

সমাধান:
এখানে,
x² + 3x + 2 = 0
বা, x² + 2x + x + 2 = 0
বা, x(x + 2) + 1(x + 2) = 0
বা, (x + 2)(x + 1) = 0

হয় x + 2 = 0 অথবা x + 1 = 0
∴ x = - 2 অথবা - 1

∴ Q = {- 2, - 1}

প্রশ্ন: a^-3 = 0.25 হলে a⁹ এর মান কত?

সমাধান:
a^-3 = 0.25
বা, 1/a³ = 0.25
বা, a³ = 1/0.25
বা, a³ = 4
বা, (a³)³ = (4)³
∴ a⁹ = 64

প্রশ্ন: x + y = 12 ও x - y = 8 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 ..........…… (1)
x - y = 8 ..........……. (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 12 + 8
বা, 2x = 20
∴ x = 10

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
10 + y = 12
∴ y = 2

∴ xy = 10 × 2 = 20

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং 2x² + 2y² = 68 হয়, তাহলে x - y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 8
2x² + 2y² = 68
x - y = ?

আমরা জানি,
2x² + 2y² = (x + y)²⁺ (x - y)²
(x - y)² = 2(x² + y²) - (x + y)²
= 68 - (8)²
= 4
∴ (x - y) = 2

প্রশ্ন: a⁴ - 17a² + 52 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
ধরি,
p(a) = a⁴ - 17a² + 52
∴ p(2) = (2)⁴ - 17(2)² + 52
= 16 - 68 + 52
= 0

∴ (a - 2), p(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: a³ + 6a²b + 11ab² + 6b³ এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
a³ + 6a²b + 11ab² + 6b³
= a³ + 3(a)²2b + 3a(2b)² + (2b)³ - ab² - 2b³
= (a + 2b)³ - b²(a + 2b)
= (a + 2b){(a + 2b)² - b²}
= (a + 2b){(a + 2b + b)(a + 2b - b)}
= (a + 2b)(a + 3b)(a + b)

প্রশ্ন: A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∩ B) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}
B = {b, c, d}
A ∩ B = {a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2

প্রশ্ন: - 5 - 1 + 3 + 7 + 11 + ................ ধারাটির 15তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = - 5
সাধারন অন্তর, d = - 1 + 5 = 4

15তম পদ = a + (n - 1)d
= - 5 + (15 - 1)4
= 51

প্রশ্ন: log_a^p . log_p^q . log_q^r . log_r^b = ?

সমাধান:
log_a^p . log_p^q . log_q^r . log_r^b
= (log_a^p . log_p^q) ( log_q^r . log_r^b)
= log_a^q . log_q^b
= log_a^b

প্রশ্ন: 2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান: 
2x + y = 7........(i)
2x - y = 13..........(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

2x + y + 2x - y = 7 + 13
বা, 4x = 20
বা, x = 20/4
∴ x = 5

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
10 + y = 7
বা, y = 7 - 10
∴ y = - 3

∴ (x, y) = (5, - 3)

প্রশ্ন: a + b + c = 9 এবং a² + b² + c² = 29 হলে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 9² = 29 +  2(ab + bc + ca)
বা, 81 = 29 +  2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 81 - 29
বা, 2(ab + bc + ca) = 52
∴ (ab + bc + ca) = 26

প্রশ্ন: ৭২ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর  প্রচুরক কত?

সমাধান:
৭২ = ২ × ২ × ২× ৩ × ৩ 
এখানে ২ আছে মোট তিনবার এবং ৩ আছে মোট দুইবার।
∴ ৭২ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [A আছে ২টি]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, A এর উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
A = {x ∈ N : 4x < 20}
4x < 20
x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4}

A সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: x + (2x + 1) + (3x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (2x + 1) + (3x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = 2x + 1 - x = x + 1

প্রথম ৮ পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 8/2 {2x + (8 - 1)(x + 1)}
= 4{2x + 7(x + 1)}
= 4(2x + 7x + 7)
= 4(9x + 7)
= 36x + 28

প্রশ্ন: |5x - 4| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|5x - 4| ≤ 11
বা, - 11 ≤ 5x - 4 ≤ 11
বা, - 11 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 11 + 4
বা, - 7 ≤ 5x ≤ 15
∴ - 7/5 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন: x² + (1/x²) এর কোন মানের জন্য x³ - (1/x³) = 0 হবে?

সমাধান:
x³ - (1/x³) = 0
বা, (x⁶ - 1)/x³ = 0
বা, x⁶ - 1 = 0
বা, x⁶ = 1
∴ x = 1

∴ x² + (1/x²) = (1)² + 1/(1)²
= 2

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9 এবং সংখ্যাটি থেকে 45 বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = y 
দশক স্থানীয় অংক = x
∴ x + y = 9.........(i)

প্রশ্নমতে,
10x + y - 45 = 10y + x
বা, 9x - 9y = 45
∴ x - y = 5.............(ii)

(i), (ii) নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 9 + 5
2x = 14
x = 7

∴ y = 2

সংখ্যাটি = 72

প্রশ্ন: 11 জনের একটি প্যানেল থেকে 5 জনের কমিটি কতভাবে বানানো যাবে?

সমাধান: 
11 জনের মধ্যে থেকে 5 জনের কমিটি বানানোর উপায় = ¹¹C₅
= 11!/(5! × 6!)
= 462