প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ঠ্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

অন্যদিকে,
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
বর্গক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
এর বৃহত্তম জ্যা বা ব্যাস = 2r
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2r : r = 2 : 1

- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং অতিঃ c = 17
∴ পরিসীমা = a + b + c = 40
বা, a + b = 40 - c = 40 - 17 = 23 cm
বা, (a + b)² = 23²
বা, (a² + b²) + 2ab = 529
বা, c² + 2ab = 529 (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a² + b² = c²)
বা, 2ab = 529 - c² = 529 - 17² = 529 - 289 = 240
বা, ab = 120
∴ Δ = 1/2 ab = 120/2 = 60 বর্গ সে. মি.

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৪x সে.মি.
∴ প্রস্থ = ৪x এর ৩/৪ সে.মি.
          = ৩x সে.মি.
ΔBCD সমকোণী ত্রিভুজে,
(৩x)^২ + (৪x)^২ = (২৫)^২
বা, ২৫(x^২) = ৬২৫
বা, x^২ = ২৫
বা, x = ৫
∴ x = ৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৪x সে.মি.
= (৪×৫) সে.মি.
= ২০ সে.মি.

দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 25:36
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = 25 বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ একক
∴১ম বর্গের বাহু = 5 একক
২য় বর্গের বাহু = 6 একক
∴ পরিসীমার অনুপাত = 4a1 : 4a2 = a1 : a2 = 5 : 6

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = x মি.
আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)(x + 2)² - (√3/4)x² =3√3
(x + 2)² - x² = 12
বা, x = 2 মি.

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার।
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(20² - 16²) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।  (উপপাদ্য)

সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা হলো তার শীর্ষবিন্দু থেকে অন্য বাহুর উপর অঙ্কিত লস্ব।
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা/ লম্ব = (√৩/২) x বাহুর দৈর্ঘ্য
বাহুর দৈর্ঘ্য = (২ x মধ্যমা)/ √৩
= (২ x ৩ )/ √৩
= ২√৩

চতুর্ভুজ আকতে হলে -
(i) চারটি বাহু ও একটি কোণ
(ii) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
(iii) তিনটি বাহু ও দুটি কর্ণ
(iv) তিনটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
(v) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
                                    = 16 × 4 = 64 বর্গ মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২ = 64
ক = √64 = 8

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 ক
                                    = 8√2

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
পরিধি, C = 2πr
ক্ষেত্রফল, A = πr²
পরিধি তিনগুণ বৃদ্ধি পেয়ে মোট পরিধি হয় = 2πr + 6πr = 8πr
এক্ষেত্রে, ব্যাসার্ধ = 4r
∴ ক্ষেত্রফল = π (4r)² = 16πr²
∴ ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি = 16πr² - πr²
= 15πr²
= 15×A
∴ ক্ষেত্রফল 15 গুণ বৃদ্ধি পায়।

দুইটি চতুর্ভুজ/বহুভুজ সদৃশ হওয়ার শর্ত হলো -
অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার।
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9.5 + 1) = 10.5 মিটার।

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তস্পর্শ করলে,
আমরা জানি, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের বিয়োগফল
৯ = r1-৫
বা,অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৯+৫ =১৪
অপর বৃত্তের পরিধি = ২ X Π X ১৪ = ৮৮ সে.মি. (প্রায়)

বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ  স্থুলকোণ। 
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষকোণ।

বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৫ সেমি
আবার, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২ (বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখন, (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২ = (৫/√২)^২ = ১২.৫ বর্গ সেমি।

 আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
- এখানে একমাত্র 4 + 4 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

∠B = ∠C = ৬০°
∴ ∠CBD = ∠BCE = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ∠CBD + ∠BCE
= ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

 বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
1° = π/180 রেডিয়ান
∴60° = π/3 রেডিয়ান

উৎস: অষ্টম শ্রেণি, গণিত। 

আমরা জানি, দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3/2 = 1.5 সে.মি. = 15 মি.মি. এবং ২য় বৃত্ত ১০ মি.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 15 + 10
                                                  = 25 মি.মি.
                               

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভূজের তিনকোণের সমষ্টি= 180°
অর্থাৎ, x+y+z= 180° ............ (i)
আবার, এক সরল কোণ = 180°
∴ বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180°- y)+(180°- z)
= 540° - (x + y + z)
= 540° - 180°
= 360°

PB = PD কারন দুইটি সমান জ্যা পরস্পর ছেদ করলে প্রথমটির খন্ডিত অংশ অপরটির খন্ডিত অংশের সমান হয়।


জ্যা-গুলোর অবস্থানের সাপেক্ষে  খ) PB = PC ও ঘ) PB = PD দুটিই সত্য হয়।
দ্বৈত উত্তর থাকায় উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

ভূমিঃউচ্চতা = 3ঃ2
মনে করি, সামান্তরিকের ভূমি, 3ক এবং উচ্চতা, 2ক।
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে, 3ক × 2ক = 96
বা, 6ক² = 96
বা, ক² = 16
বা, ক = 4
সুতরাং উচ্চতা = 2 × 4
= 8 সে.মি.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।
উৎস: গণিত বই (নবম-দশম শ্রেণি)

খানে ভূমি b = 16 মিঃ
অপর বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = ?
∴ ক্ষেত্রফল = b/4.√(4a² - b²⁾ = 48
বা, 16/4√(4a² - 16²) = 48
বা, 4√(4a² - 256) = 48
√(4a² - 256) = 12
বা, 4a² - 256 = 144
বা, 4a² = 256 + 144 = 400
বা, a² = 100
∴ a = 10

বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 7²
= 49π বর্গমিঃ