৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: একজন ফল বিক্রেতা তার মোট আপেলের ৪০% বিক্রি করার পর তার কাছে আরও ১৮০টি আপেল রইল। তাহলে শুরুতে তার কাছে কতটি আপেল ছিল?

সমাধান:
৪০% আপেল বিক্রয় করার পর অবশিষ্ট আপেল থাকে (১০০ - ৪০)% = ৬০%

৬০% আপেল = ১৮০টি
∴ ১% আপেল = ১৮০/৬০ টি
∴ ১০০% আপেল = (১৮০ × ১০০)/৬০ টি
= ৩০০টি

প্রশ্ন: U = {x : x < 9 , x ∈ N}, A = {x : x ∈ N এবং 4 ≤ x ≤ 6} হলে A' = কত?

সমাধান:
U = {x : x < 9, x ∈ N}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {x : x ∈ N এবং 4 ≤ x ≤ 6}
A = {4, 5, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 7, 8}

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার ও প্রস্থ ৫০ মিটার। মাঠের ভিতরে দৈর্ঘ্য ১টি এবং প্রস্থ বরাবর ১টি ৩ মিটার চওড়া একটি হাঁটার রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল  = (৮০ × ৩) বর্গমিটার
= ২৪০ বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = {(৫০ -  ৩) × ৩} বর্গমিটার [দুই রাস্তায় যেখানটা একে অপরকে ছেদ করে সেটা বাদে প্রস্থ]
= (৪৭ × ৩) বর্গমিটার
= ১৪১ বর্গমিটার

∴ রাস্তার মোট ক্ষেত্রফল = (২৪০ + ১৪১) বর্গমিটার
= ৩৮১ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৬% হারে ৫,০০০ টাকার কত দিনের সুদ ২২৫ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফার হার r = ৬% = ৬/১০০
আসল P = ৫,০০০ টাকা
মুনাফা I = ২২৫ টাকা

আমরা জানি,
I = Prn
⇒ n = I/Pr
= ২২৫/(৫০০০ × ৬/১০০)
= (২২৫ × ১০০)/(৫০০০ × ৬)
= ৩/৪ বছর
= {(৩/৪) × ১২} মাস
= ৯ মাস

প্রশ্ন: 'BANGLA' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'BANGLA' শব্দটিতে মোট 6 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 2 টি স্বরবর্ণ।
এখন, প্রথম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ⁴P₁ = 4
অবশিষ্ট পাঁচটি যার মধ্যে A = 2 বার,
বাকি পাঁচটি সাজানোর উপায় = 5!/2! = 60 উপায়ে

তাহলে, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 60 × 4 = 240

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্যে ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩ এবং ঘরটির পরিসীমা ৮০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য ৫ক মিটার
এবং ঘরটির প্রস্থ ৩ক মিটার

∴ পরিসীমা = ২(৫ক + ৩ক) = ১৬ক

শর্তমতে,
১৬ক = ৮০
∴ ক = ৫

∴ ঘরটির ক্ষেত্রফল = (৫ক × ৩ক) বর্গমিটার
= {(৫ × ৫) × (৩ × ৫)} বর্গমিটার
= ৩৭৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুইজন লোক একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। যদি ২য় ব্যক্তি কাজটি একা ৩০ দিনে করতে পারে তবে, ১ম ব্যক্তি কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
দুইজন একত্রে,
১ দিনে করে কাজের ১/১০ অংশ

আবার ২য় ব্যক্তি,
১ দিনে করে কাজের ১/৩০ অংশ

∴ প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে (১/১০ - ১/৩০) অংশ
= (৩ - ১)/৩০ অংশ
= ২/৩০ অংশ
= ১/১৫ অংশ

প্রথম ব্যক্তি ১/১৫ অংশ করে ১ দিনে
∴ প্রথম ব্যক্তি ১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ করে ১৫ দিনে

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 105° হলে, ∠ABC = কত?

সমাধান:

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∠BCD = ∠BAD = 105°
∠ABC = ∠ADC

এখন
∠BCD + ∠BAD = 105° + 105° = 210°

আবার,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°

∴ ∠BCD + ∠BAD + ∠ABC + ∠ADC = 360°
⇒ 210° + ∠ABC + ∠ADC = 360°
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 360° - 210°
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 150°
⇒ ∠ABC + ∠ABC =150° [∠ABC = ∠ADC]
⇒ 2 ∠ABC = 150°
∴ ∠ABC = 75°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 15 সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 3 সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি
ত্রিভুজের এক বাহু = x
অপর বাহু = x + 3

শর্তমতে,
x² + (x + 3)² = 15²
⇒ x² + x² + 6x + 9 = 225
⇒ 2x² + 6x - 216 = 0
⇒ x² + 3x - 108 = 0
⇒ x² + 12x - 9x - 108 = 0
⇒ x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
⇒ (x + 12)(x - 9) = 0
∴ x = 9, - 12 [দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]

সমকোণী ত্রিভুজটির অপর দুই বাহুর একটি বাহু 9 সে.মি.
এবং অন্য বাহু 12 সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৩০% বাড়ে, তবে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
পুরাতন ব্যাসার্ধ = r
∴ পুরাতন ক্ষেত্রফল = πr²

নতুন ব্যাসার্ধ = r + ৩০% এর r
= ১.৩r

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(১.৩r)²
= π × ১.৬৯r²
= ১.৬৯πr²

∴ ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি = ১.৬৯πr² - πr²
=০.৬৯πr²

∴ বৃদ্ধির হার = (০.৬৯πr²/πr²) × ১০০%
= ৬৯%

প্রশ্ন: f(x) = x² + (2/x) + 1 হলে, কোনটি সঠিক?

সমাধান:
f(x) = x² + (2/x) + 1

∴ f(1) = 1² + 2/1 + 1 = 4

f(0) = 0² + (2/0) + 1 = অসংজ্ঞায়িত

f(- 1) = (- 1)² + 2/(- 1) + 1 = 0

f(1/2) = (1/2)² + {2/(1/2)} +1 = (1/4) + 4 + 1 = 21/4

∴ f(x) = x² + (2/x) + 1 হলে f(- 1) = 0

প্রশ্ন: নাছির সাহেব ১০০০ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ৫ বছর পর তিনি ৮০০ টাকা মুনাফা পেলেন। সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময়, n = ৫ বছর 
আসল, P = ১০০০ টাকা
মুনাফা, I = ৮০০ টাকা
হার, r = ?

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr 
⇒ r = I/(Pn)
= ৮০০/(১০০০ × ৫)
= (৪/২৫) × ১০০%
= ১৬%

প্রশ্ন: কোনো বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬২, ১০২ ও ১৩০ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৬ ও ১০ ভাগশেষ থাকবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
৬২ - ২ = ৬০,
১০২ - ৬ = ৯৬
১৩০ - ১০ = ১২০
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৬০, ৯৬ এবং ১২০ এর গ.সা.গু।

এখন,
৬০, ৯৬ এবং ১২০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২

প্রশ্ন: a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

প্রশ্ন: x²y + xy² এবং x² + xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু কে গ.সা.গু দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y + xy²
= xy(x + y)

২য় রাশি = x² + xy
= x(x + y)

x²y + xy² এবং x² + xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু = xy(x + y)
x²y + xy² এবং x² + xy রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = x(x + y)

∴ নির্ণেয় ভাগফল = xy(x + y) ÷ x(x + y)
= y

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ ২১ সে. মি. এবং এটি ১১৮৮ মি. পথ অতিক্রম করলে, মোট কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ = ২১ সে. মি.

চাকার পরিধি = ২πr = ২ × (২২/৭) × ২১
= ১৩২ সে. মি.
∴ চাকাটি একবার ঘুরলে ১৩২ সে. মি. অতিক্রম করে।

∴ ঘূর্ণন সংখ্যা = (১১৮৮ × ১০০)/১৩২ [১ মি. = ১০০ সে. মি.]
= ১১৮৮০০/১৩২
= ৯০০ 

∴ চাকাটি ১১৮৮ মি. পথ অতিক্রম করতে ৯০০ বার ঘুরবে।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন, ১১০০ মিটার এবং ৫০০ মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু পাড় হয় যথাক্রমে ১৩০ সেকেন্ড ও ৭০ সেকেন্ডে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
১৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১১০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
৭০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৫০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য

∴ (১৩০ - ৭০) = ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (১১০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) - (৫০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
= ৬০০ মিটার

বেগ = ৬০০/৬০ = ১০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ৭০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭০ × ১০ = ৭০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৫০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭০০
⇒ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০

প্রশ্ন: 3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)} = 3^{2(x - 5)}
⇒ x - 3 = 2x - 10
⇒ 2x - x = 10 - 3
∴ x = 7

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও ২০ মিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল= (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪০ × ২০ বর্গ মিটার
= ৪০০ বর্গ মিটার

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৪০০
∴ ক = ২০

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = (২০ × ৪) মিটার
= ৮০ মিটার

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি, প্রথম ২টি সংখ্যার সমষ্টির দ্বিগুণ অপেক্ষায় ১৫ কম হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = ৩০ × ২ = ৬০

প্রশ্নমতে,
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৬০ × ২) - ১৫
= ১২০ - ১৫
= ১০৫

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = ১০৫ - ৬০ = ৪৫

প্রশ্ন: 2x² - 3x + 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে-

সমাধান:
এখানে,
x - 2 = 0
∴ x = 2

ধরি,
f(x) = 2x² - 3x + 5
∴ f(2) = 2. (2)² - (3 × 2) + 5
= 8 - 6 + 5
= 13 - 6
= 7

∴ 2x² - 3x + 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 7.

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি কোণ x হলে,
কোণটির পূরক কোণ (90° - x)

প্রশ্নমতে,
x = (90° - x)/2
⇒ 2x = 90° - x
⇒ 3x = 90°
∴ x = 30°

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ 30° কোণের বিপ্রতীপ কোণ 30°

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ৩ কিমি/ঘণ্টা বেগে হাঁটলে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, যদি সে ৬ কিমি/ঘণ্টা বেগে হাঁটে, তার চেয়ে ২ ঘণ্টা কম সময় লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থানটির দূরত্ব = ”ক” কি.মি.
এখন,
৩ কিমি/ঘণ্টা বেগে সময় = ক⁄৩ ঘণ্টা
৬ কিমি/ঘণ্টা বেগে সময় = ক⁄৬ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক⁄৩) − (ক⁄৬) = ২
⇒ (২ক − ক)/৬ = ২
⇒ ক/৬ = ২
⇒ ক = ১২

∴ স্থানটির দূরত্ব = ১২ কিমি

প্রশ্ন: 15 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়, = ^{15 - 1}C_{11 - 1}
= ¹⁴C₁₀
= (14 × 13 × 12 × 11)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 1001

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 20 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আমরা জানি,
বেলনের আয়তন, V = πr²h

এবং
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, A = 2πrh

∴ আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 20/2
= 10

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 10 গুণ।

প্রশ্ন: যদি ৩ টি মহিষ অথবা ৫ টি গরু একটি জমি ২০ দিনে চাষ করতে পারে, তবে ৪ টি মহিষ ও ১০ টি গরু ঐ জমি কত দিনে চাষ করতে পারবে?

সমাধান:
৫ টি গরু = ৩ টি মহিষ
∴ ১ টি গরু = ৩/৫ টি মহিষ
∴ ১০ টি গরু = (৩ × ১০)/৫ টি মহিষ
= ৬ টি মহিষ

∴ ৪ টি মহিষ ও ১০ টি গরু = (৪ + ৬) টি মহিষ
= ১০ টি মহিষ

৩ টি মহিষ জমিটি চাষ করতে সময় লাগে ২০ দিনে
∴ ১ টি মহিষ জমিটি চাষ করতে সময় লাগে (২০ × ৩) দিনে
∴ ১০ টি মহিষ জমিটি চাষ করতে সময় লাগে (২০ × ৩)/১০ দিনে
= ৬ দিনে

∴ ৪ টি মহিষ ও ১০ টি গরু মিলে জমিটি ৬ দিনে চাষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: (x - 6)(x - 6) = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x - 6)(x - 6) = x² + bx + c
⇒ (x - 6)² = x² + bx + c
⇒ x² - 2. x. 6 + 6² = x² + bx + c
⇒ x² - 12x + 36 = x² + bx + c

x ও ধ্রুবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = - 12
c = 36

প্রশ্ন: যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের পাঁচগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ধরি,
বহিঃকোণের পরিমাণ = ক
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৫ক

∴ ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

∴ বাহু সংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি

প্রশ্ন: a = 4 হলে, 1 + 12a + 6a² + a³ এর মান কত?

সমাধান:
1 + 12a + 6a² + a³
= a³ + 6a² + 12a + 1
=a³ + 3.a² .2 + 3. a. 2² + 2³ - 2³ + 1
= (a + 2)³ - 8 + 1
= 6³ - 7
= 216 - 7
= 209

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা জোড়?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০২৪, ৬২৫ এবং ৪৮৪ সংখ্যা গুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ √(১০২৪) = ৩২
∴ √(৬২৫) = ২৫
∴ √(৪৮৪) = ২২
সুতরাং ১০২৪ ৬২৫ এবং ৪৮৪ সংখ্যা গুলোর ভাজক সংখ্যা বিজোড় হবে।

এখন,
৫১২ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:

৫১২ = ১ × ৫১২
= ২ × ২৫৬
= ৪ × ১২৮
= ৮ × ৬৪
= ১৬ × ৩২

∴ ৫১২ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬ এবং ৫১২
= ১০ টি।

প্রশ্ন: 5, 3, 7, 5 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 3 + 7 + 5)/4
= 20/4
= 5

ভেদাঙ্ক = {(5 - 5)² + (3 - 5)² + (7 - 5)² + (5 - 5)²}/4
= (0 + 4 + 4 + 0)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: একটি 54 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুটিটি x মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (54 - x) মিটার

এখন,
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = x/(54 - x)
⇒ 1/2 = x/(54 - x)
⇒ 2x = 54 - x
⇒ 3x = 54
∴ x = 18

∴ খুঁটিটি 18 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল

প্রশ্ন: log_x(3/5) = - 1/4 হলে, x এর মান-

সমাধান:
log_x(3/5) = - 1/4
⇒ x^{(- 1/4)} = 3/5
⇒ 1/x^(1/4) = 3/5
⇒ x^(1/4) = 5/3
⇒ (x^1/4)⁴ = (5/3)⁴
∴ x = 625/81

প্রশ্ন: যদি 3 + tan²θ = 4 এবং θ < 90, θ = ?

সমাধান:
3 + tan²θ = 4
⇒ tan²θ = 4 - 3
⇒ tan²θ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: লাবিবের বোনের বয়স, লাবিব ও তাঁর বাবার বয়সের মধ্য-সমানুপাতী। লাবিবের বয়স ১০ বছর, বাবার বয়স ৪০ বছর হলে বোনের বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
লাবিবের বয়স, ক = ১০ বছর
লাবিবের বোনের বয়স = খ বছর
লাবিবের বাবার বয়স, গ = ৪০ বছর

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে
ক : খ = খ : গ
⇒ ক/খ = খ/গ
⇒ খ^২ = ক × গ
⇒ খ^২ = (১০ × ৪০)
⇒ খ^২ = ৪০০
⇒ খ = √৪০০
∴ খ = ২০

∴ তাঁর বোনের বয়স = ২০ বয়স

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদ 20 এবং ১২তম পদ 48 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d হলে,
∴ n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 4d = 20.........(1)
এবং
⇒ a + 11d = 48........(2)

(2) - (1)
a + 11d - a - 4d = 48 - 20
⇒ 7d = 28
∴ d = 4

প্রশ্ন: তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হলো। নতুন ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a হলে ঘনকের আয়তন = a³ ঘন একক

∴ নতুন ঘনকের আয়তন = (3³ + 4³ + 5³) ঘন সে. মি.
= (27 + 64 + 125) ঘন সে.মি.
= 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে টেক্কা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তাসের সংখ্যা = 52 টি

এখনে,
টেক্কার সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (4/52)
= 1/13

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 1/13
= (13 - 1)/13
= 12/13