নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: সংখ্যা পদ্ধতিতে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট (Set of Natural Numbers)
গণনাকারী সংখ্যাগুলোকে (counting numbers) স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। 1, 2, 3, 4, ইত্যাদিকে স্বাভাবিক সংখ্যা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোই প্রথম আবিষ্কৃত হয় এবং গণনার জন্য এক সময় শুধু এগুলোই ব্যবহার করা হতো। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অতএব, N = {1, 2, 3, 4, 5, ........ }

পূর্ণ সংখ্যার সেট (Set of Integers)
শূন্যসহ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সকল অখন্ড সংখ্যাই পূর্ণ সংখ্যার আওতাভুক্ত। স্বাভাবিক সংখ্যা, স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মক এবং শূন্য মিলে যে সংখ্যা গঠিত হয় তাকে পূর্ণ সংখ্যার সেট বলে ।
যেমন, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ ।
সকল পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অতএব, Z = {.............., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ..............}
স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পূর্ণ সংখ্যার বর্ণনা থেকে আমরা পাই, Z এর মধ্যে N এর সকল সদস্য অন্তর্ভুক্ত আছে। অতএব, N হল Z এর উপসেট অর্থাৎ N ⊂ Z.

মূলদ সংখ্যার সেট (Set of Rational Numbers)
যে সমস্ত সংখ্যা দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ যে সংখ্যাকে a/b( এখানে a ও b পূর্ণ সংখ্যা এবং b ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় ঐ সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, 10/24, 2/3, - 4/3 ইত্যাদি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ।
উল্লেখ্য, যদি b = 1 হয় তাহলে প্রত্যেক পূর্ণ সংখ্যাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ 10 = 10/1, - 3 = - 3/1 ইত্যাদি।
অতএব, সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। মূলদ সংখ্যার সেটকে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অতএব, Q = {x ; x = a/b যেখানে a, b ∈ Z এবং b ≠ 0}
এক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার সেট Z হল মূলদ সংখ্যার সেট Q এর উপসেট। অতএব, Z ⊂ Q
পূর্বের আলোচনায় আমরা পেয়েছি, N ⊂ Z এবং এক্ষেত্রে Z ⊂ Q সুতরাং N ⊂ Z ⊂ Q.

বাস্তব সংখ্যার সেট (Set of real numbers)
সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা বলে। অর্থাৎ Q ∪ Q‘ হল বাস্তব সংখ্যার সেট। বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতএব, R = Q ∪ Q‘। মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার বর্ণনা থেকে আমরা পাই মূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট অর্থাৎ Q ⊂ R.
অতএব, N ⊂ Z ⊂ Q  এবং Q ⊂ R থেকে পাই,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/২৮। এদের একটি ৫/৭ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
অপর ভগ্নাংশ = (১৫/২৮) ÷ (৫/৭)
= (১৫/২৮) × (৭/৫)
= ৩/৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং এদের গ.সা.গু ৩ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ৪ক ও ৫ক।
∴ এদের গ.সা.গু. = ক
ল.সা.গু = ২০ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৩

∴ ল.সা.গু = ২০ক
= ২০ × ৩
= ৬০

প্রশ্ন: ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা = (৩০/৭৫) × ১০০%
= ৪০%

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা হবে?

সমাধান:
আসল, P= ৩০০০ টাকা
বছর, n = ৫ 
সুদ, I = ১৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/pn
বা, r = ( ১৫০০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
বা, r = ১০%

প্রশ্ন: বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের দেড়গুণ হলে শতকরা কত লাভ হব?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ক টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য = ১.৫ক টাকা 

∴ লাভ = ১.৫ক - ক টাকা
= ০.৫ক টাকা

∴ শতকরা লাভ হবে = {০.৫ক/ক} × ১০০ %
= ৫০%

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি ব্যবসায় ৫ : ২ অনুপাতে বিনিয়োগ করল। যদি ব্যবসায়ের লাভের ১০% অনুদান হিসেবে দিয়ে দেয়া হয় এবং ক এর লাভের পরিমাণ ৯০০০ টাকা হয় তাহলে মোট লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
মোট লাভ = ১০০ টাকা
১০% দান করার পর থাকে  = ১০০ - ১০০ এর ১০%
= ১০০ - ১০ টাকা
= ৯০ টাকা

৯০ টাকার মধ্যে ক পাবে ৯০ × (৫/৭) টাকা
= ৪৫০/৭ টাকা

ক ৪৫০/৭ টাকা পায় যখন মোট লাভ ১০০ টাকা
∴ ক ১ টাকা পায় যখন মোট লাভ (১০০ × ৭)/৪৫০ টাকা 
∴ ক ৯০০০ টাকা পায় যখন মোট লাভ = (৯০০০ × ১০০ × ৭)/৪৫০ টাকা 
= ১৪০০০ টাকা

প্রশ্ন: চারটি সমানুপাতি রাশির প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুনফল ৪৮ হলে, মধ্য রাশিদ্বয়ের গুনফল কত?

সমাধান: 
যে কোন চারটি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত এবং তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতি বলে।

সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।

সমানুপাতিক রাশির ক্ষেত্রে,
১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
বা, ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
 
অর্থাৎ, প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল ৪৮ হলে, মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফলও ৪৮ হবে। 

প্রশ্ন: ৯০ থেকে একটি সংখ্যাকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১০ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনেকরি 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে
৯০ - ক = ক + ১০
বা, ক + ক = ৯০ - ১০
বা, ২ক = ৮০
∴ ক = ৪০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ২ এবং ল.সা.গু ২০৪। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গ.সা.গু × ল.সা.গু 
বা, অপর সংখ্যাটি × ১২ = ২ × ২০৪
∴ অপর সংখ্যাটি = (২ × ২০৪)/১২
= ৩৪

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১২ এবং অন্তরফল ২, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।  অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,  লব < হর।
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১ হয়।

মনে করি,
ভগ্নাংশটি x/y
∴ x + y = ১২ ............. (১)
∴ y - x = ২ ............. (২)

(১)নং + (২)নং থেকে পাই,
২y = ১৪ 
∴ y = ৭

(১) নং থেকে পাই,
x = ৫

∴ ভগ্নাংশটি = ৫/৭

প্রশ্ন: আরেফিন একটি পুরাতন মোবাইল ৪৭০০ টাকায় ক্রয় করে এবং ৮০০ টাকায় মোবাইলটি মেরামত করে। যদি এখন সে ৫৮০০ টাকায় মোবাইলটি বিক্রয় করে তাহলে তার শতকরা কত টাকা লাভ হবে।

সমাধান:
মোট ব্যয় = ৪৭০০ + ৮০০ টাকা 
= ৫৫০০ টাকা 

বিক্রয়মূল্য = ৫৮০০ টাকা 

∴ লাভ = ৫৮০০ - ৫৫০০ টাকা
= ৩০০ টাকা 

∴ শতকরা লাভ = (৩০০/৫৫০০) × ১০০%
= ৩০০/৫৫ %
= ৫.৪৫%

প্রশ্ন: রাকিব, রবিন ও আরিফ একটি যৌথ কোম্পানী দিল। রাকিব ৬ মাসের জন্য ৬৫০০ টাকা, রবিন ৫ মাসের জন্য ৮৪০০ টাকা এবং আরিফ ৩ মাসের জন্য ১০০০০ টাকা বিনিয়োগ করল। রাকিব কোম্পানীর একজন কর্মী হিসেবে বেতন বাবদ লাভের ৫% টাকা পায়। যদি কোম্পানীটির মোট লাভ ৭৪০০ টাকা হয়, তাহলে রবিনের লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
রাকিব, রবিন ও আরিফের বিনিয়োগের অনুপাত = (৬৫০০ × ৬) : (৮৪০০ × ৫) : (১০০০০ × ৩)
= ৩৯০০০ : ৪২০০০ : ৩০০০০
= ১৩ : ১৪ : ১০

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (১৩ + ১৪ + ১০) = ৩৭

মোট লাভ ৭৪০০ টাকা 

কাজ করার জন্য রাকিব পায় = ৭৪০০ টাকার ৫%
= (৫ × ৭৪০০)/১০০
= ৩৭০ টাকা 

বাকি থাকে = ৭৪০০ - ৩৭০ টাকা 
= ৭০৩০ টাকা 

∴ রবিনের অংশ = {৭০৩০ × (১৪/৩৭)}
= ২৬৬০ টাকা 
 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১৫০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ২য় বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধির সুদাসল = P(1 + r)ⁿ
P = আসল
r = চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার
n = বছর

∴ ২য় বছর শেষ ঐ ব্যক্তি সুদসহ পাবেন = ১৫০০ × (১ + ১/১০)^২
= ১৫০০ × (১১/১০)^২
=  ১৫০০ × (১২১/১০০)
= ১৫ × ১২১
= ১৮১৫ টাকা
 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
• ১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭ মোট ৪ টি।
• ১১ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১১, ১৩, ১৭, ১৯ মোট ৪টি 
• ২১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৩, ২৯ মোট ২টি 

∴ ১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি। 

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর তার লবের চেয়ে ৩ বেশি। যদি লব ও হরের সাথে ৪ যোগ করা হয় তাহলে ভগ্নাংশটি ৪/৫ হয়। ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান:
মনেকরি 
ভগ্নাংশের লব x  
∴ ভগ্নাংশের হর  x + ৩ 

∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + ৩)

প্রশ্নমতে, 
(x + ৪)/(x + ৩ + ৪) = ৪/৫
⇒ (x + ৪)/(x + ৭) = ৪/৫ 
⇒ ৫x + ২০ = ৪x + ২৮ 
⇒ ৫x - ৪x = ২৮ - ২০ 
∴ x = ৮ 

ভগ্নাংশটি = ৮/(৮ + ৩)
= ৮/১১

প্রশ্ন: ১৩২টি কমলা এবং ১৭৪টি আম কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান: 
১৩২ = ১ × ২ × ২ × ৩ × ১১
১৭৪ = ১ × ২ × ৩ × ২৯

গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

∴ ৬ জন বালকের মাঝে সমান ভাগে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুইদিন আগে ১৮০ টি ফজলি আম কিনে আনা হলো। ৯টি আম পচে গেলো, শতকরা কতটি আম ভাল আছে?

সমাধান:
ভালো আম রইলো = ১৮০ - ৯ = ১৭১ টি,

∴ শতকরা ভালো আম আছে = (১৭১/১৮০) × ১০০ টি
= ৯৫টি

প্রশ্ন: ২০০ টাকায় এক কুড়ি ডিম কিনে, ২০০ টাকায় ১ ডজন করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
এখানে ১ কুড়ি = ২০টি 
১ ডজন = ১২ টি

১টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ২০০/২০ টাকা
= ১০ টাকা

১টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২০০/১২ টাকা
= ১৬.৬৬৭ টাকা 

লাভ = ১৬.৬৬৭ - ১০ টাকা 
= ৬.৬৬৭ টাকা 

শতকরা লাভ = (৬.৬৬৭/১০) × ১০০ %
=৬৬.৬৭%।

প্রশ্ন: বার্ষিক মুনাফা শতকরা ১০ টাকা থেকে কমে ৮ টাকা হলে, ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত কম হবে? 

সমাধান:
বার্ষিক মুনাফা শতকরা ১০ টাকা হলে,
মুনাফা = ৩০০০ × ৫ × (১০/১০০)
= ১৫০০ টাকা

 বার্ষিক মুনাফা শতকরা ৮ টাকা হলে, 
মুনাফা = ৩০০০ × ৫ × (৮/১০০)
= ১২০০ টাকা

∴ মুনাফা কম হবে = (১৫০০ - ১২০০) টাকা
= ৩০০ টাকা 

প্রশ্ন: এক গ্লাস মধুর শরবতে মধু ও পানির অনুপাত ৪ : ৬ হলে পানির শতকরা পরিমাণ কত?

সমাধান:
শরবতে মধু ও পানির অনুপাত ৪ : ৬
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৪ + ৬ = ১০

শরবতে পানির শতকরা পরিমাণ = {(৬/১০) × ১০০}% = ৬০%
 

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে, খ ও গ কাজটি ১৫ দিনে করতে পারে, ক ও গ কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। যদি তারা সবাই একত্রে কাজ করে তাহলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে?

সমাধান: 
ক + খ একত্রে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ
খ + গ একত্রে ১ দিনে করে ১/১৫ অংশ
ক + গ একত্রে ১ দিনে করে ১/২০ অংশ

∴ ২(ক + খ + গ) একত্রে ১ দিনে করে = (১/১২) + (১/১৫) + (১/২০) অংশ
= (৫ + ৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ 

(ক + খ + গ) একত্রে ১ দিনে করে = ১/(৫ × ২) = ১/১০ অংশ

(ক + খ + গ) একত্রে ১/১০ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ (ক + খ + গ) একত্রে ১ অংশ বা সম্পূর্ণ কাজ করে = ১০ দিনে

প্রশ্ন: প্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় কত হয়?

সমাধান:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমনঃ ৩/৪, ৭/১৮
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশের মান < ১

এবং, যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমনঃ ৪/৩, ১৮/৭
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশের মান > ১
 

প্রশ্ন: তিনটি ঘড়ি যথাক্রমে ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কত সময় পর পর ঘড়িগুলো একত্রে বাজবে?

সমাধান:
এখানে, ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২।

সুতরাং, ১২ ঘণ্টা পর পর ঘড়ি গুলো একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোনো বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গএকক

৫০% বৃদ্ধিতে একবাহুর দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ৫০%
= ক + ০.৫ক একক
= ১.৫ক একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১.৫ক)^২ বর্গএকক 
= ২.২৫ক^২ বর্গএকক 

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = ২.২৫ক^২ - ক^২ বর্গএকক
= ১.২৫ক^২ বর্গএকক 

ক^২ বর্গএককে বৃদ্ধি পায় = ১.২৫ক^২ বর্গএকক
∴ ১০০ বর্গএককে বৃদ্ধি পায় = (১.২৫ক^২/ক^২) × ১০০ বর্গএকক
= ১২৫ বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য = ৩৮০ + ২০ = ৪০০ টাকা

৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় ২০/৪০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০ × ১০০)/৪০০ টাকা
= ৫ টাকা

∴ ক্ষতির শতকরা হার = ৫%

প্রশ্ন: ৪০% যৌগিক মুনাফায় ১০০০০ টাকা ১ বছরের জন্য বিনিয়ােগ করা হলাে। যদি যৌগিক মুনাফা ত্রৈমাসিক হিসেবে ধরা হয়, তাহলে বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে?
 
সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বার্ষিক মুনাফার হার = ৪০%
সুতরাং  ত্রৈমাসিক মুনাফার হার, r = (৪০/৪)% = ১০%

 এখানে, যৌগিক মুনাফা ত্রৈমাসিক হিসেবে ধরা হয়েছে। 
অর্থাৎ বছরে মুনাফা বাড়বে, n = ৪ বার

প্রারম্ভিক মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
আমরা জানি,  চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r)ⁿ

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০০(১ + ১০%)^৪
= ১০০০০(১ + ১০/১০০)^৪
= ১০০০০(১১০/১০০)^৪
= ১০০০০ × ১.১ × ১.১ × ১.১ × ১.১ 
= ১৪৬৪১

প্রশ্ন: ঋত্বিকা, সীতা এবং প্রিয়া যথাক্রমে ২০০০০, ৪০০০০ এবং ৩০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ফার্ম তৈরি করার ৪ মাস পরে ঋত্বিকা ফার্ম ছেড়ে চলে যায়, ৬ মাস পরে সীতা তার বিনিয়োগকৃত অর্থের অর্ধেক তুলে নেয়, ১২ মাস পর প্রিয়া ফার্ম ছেড়ে দেয়। যদি সম্পূর্ণ লাভ ২৮৩৮০ টাকা হয়, তাহলে ঋত্বিকার লাভ কত?

সমাধান:
ঋত্বিকা : সীতা : প্রিয়া = (২০০০০ × ৪) : (৪০০০০ × ৬ + ২০০০০ × ৬) : (৩০০০০ × ১২)
= ৮০০০০ : ৩৬০০০০ : ৩৬০০০০
= ২ : ৯ : ৯

লভ্যাংশের অনুপাত = ২ : ৯ : ৯

ঋত্বিকার লাভ = (২৮৩৮০ × ২)/২০ = ২৮৩৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ৪৯ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

সমাধান:
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। 
রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৪ × ৪৯
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ১৯৬
বা, মধ্য রাশি = √১৯৬ = ১৪

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনেকরি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা
২০% কমে চিনির মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

বর্তমান মূল্য ৮০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৮০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য =  (১০০ × ১০০)/৮০
= ১২৫ টাকা

∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = ১২৫ - ১০০ টাকা
= ২৫টাকা

প্রশ্ন: জহির একটি পণ্য বিক্রয় করে ক্রয়মূল্যের ১/৫ ভাগ লাভ করলো। যদি সে পণ্যটি ৫১০ টাকায় বিক্রয় করে তাহলে ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
পণ্যটির ক্রয়মূল্য ক টাকা 

বিক্রয়মূল্য = ক + ক/৫
= (৫ক + ক)/৫ 
= ৬ক/৫

প্রশ্নমতে, 
৬ক/৫ = ৫১০
বা, ক = (৫১০ × ৫)/৬
∴ ক   = ৪২৫ টাকা 

∴ পণ্যটির ক্রয়মূল্য ৪২৫ টাকা।

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ১০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = {১০০০(১ + ১০/১০০)^৩} - ১০০০
= {১০০০(১১/১০)^৩} - ১০০০
= ১৩৩১ - ১০০০
= ৩৩১ টাকা

সরল মুনাফা = ১০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ৩০০ টাকা

∴ পার্থক্য = ৩৩১ - ৩০০ টাকা
= ৩১ টাকা

প্রশ্ন: A, B এবং C একটি অংশীদারি ব্যবসায় মূলধন বিনিয়োগ করে। A ব্যবসায়ের মোট সময়ের এক তৃতীয়াংশের জন্য মূলধনের এক তৃতীয়াংশ বিনিয়োগ করে। B ব্যবসায়ের অর্ধেক সময়ের জন্য মূলধনের অর্ধেক বিনিয়োগ করে। C পুরো সময়ের জন্য মূলধনের অবশিষ্ট অংশ বিনিয়োগ করে। কত অনুপাতে তারা ব্যবসায় প্রাপ্ত লাভকে ভাগ করবে?

সমাধান:
ধরি মোট মূলধন 'x' এবং সময় 't'

A-এর লাভ : B-এর লাভ : C-এর লাভ
= (x/3) × (t/3) : (x/2) × (t/2) : (x/6) × t 
= xt/9 : xt/4 : xt/6
= 1/9 : 1/4 : 1/6
= 4 : 9 : 6  [36 দ্বারা গুণ করে]

প্রশ্ন: ৬০ লিটার শরবতে পানি ও  চিনির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ শরবতে আর কি পরিমাণ চিনি মিশালে অনুপাত ৩ : ৭ হবে?

সমাধান: 
শরবতে পানি ও চিনির অনুপাত = ৭ : ৩ 
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৭ + ৩ = ১০

শরবতে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৭/১০ = ৪২ লিটার 
শরবতে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার

ধরি,
চিনি মিশাতে হবে = ক কেজি 

প্রশ্নমতে, 
৪২/(১৮ + ক) = ৩/৭
⇒ ৫৪ + ৩ক = ২৯৪
⇒ ৩ক = ২৯৪ - ৫৪ 
⇒ ৩ক = ২৪০
⇒ ক = ৮০ কেজি 
 

আদর্শ সংখ্যা বা নিখুঁত সংখ্যা (Perfect Number) বলতে সেই সংখ্যাকে বুঝায়। যে সংখ্যাটি নিজের চেয়ে ছোট নিজের সকল উৎপাদক এর যোগফল এর সমান।
যেমনঃ
৬ এর উৎপাদকগুলো হলোঃ ১, ২, ৩, ৬। ৬ এর চেয়ে ছোট উৎপাদকগুলো হলোঃ ১, ২, ৩
এখানে,
১ + ২ + ৩ = ৬, যা সংখ্যাটির সমান।
সুতরাং, ৬ একটি আদর্শ সংখ্যা।

অনুরূপভাবে,
২৮ এর উৎপাদকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮। ২৮ এর চেয়ে ছোট উৎপাদকগুলো হলোঃ ১, ২, ৪, ৭, ১৪
এখানে,
১ + ২ + ৪ + ৭ + ১৪ = ২৮, যা সংখ্যাটির সমান।
সুতরাং, ২৮ একটি আদর্শ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৫/২৮ = ০.১৭৮৫
৭/৪২ = ০.১৬৭
১/৭ = ০.১৪২৮
৩/১৪ = ০.২১৪

∴ ক্ষদ্রতম সংখ্যা ১/৭ 

প্রশ্ন: যদি ১২ সদস্য বিশিষ্ট কোনো কমিটির মধ্যে ৯ জন মহিলা হয়, তবে সদস্যদের মধ্যে শতকরা কতজন পুরুষ?

সমাধান:
১২ সদস্য বিশিষ্ট কোন কমিটির মধ্যেমহিলা ৯ জন 
পুরুষ = ১২ - ৯ = ৩ জন

পুরুষের সংখ্যা শতকরা = (৩/১২) × ১০০ = ২৫%

প্রশ্ন: একটি বই ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা
৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৫ - ৯০ = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = (১০০/১৫) × ২১০
= ১৪০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা

∴ ২ বছরের সুদ =(৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা 
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০) = ৫৮০ টাকা

প্রশ্ন: A এবং B একটি ব্যবসায় ৫ : ৬ অনুপাতে মূলধন বিনিয়োগ করে এবং ৮ মাসের শেষে A ব্যবসা থেকে প্রত্যাহার করে নেয়। যদি তারা ৫ : ৯ অনুপাতে লাভ ভাগ করে নেয়, তাহলে ব্যবসায় B-এর মূলধন কত মাস ছিল?

সমাধান:
ধরি,
A এর মূলধন ৫ক টাকা 
B এর মূলধন ৬ক টাকা 
B এর মূলধন খ মাস ছিল।

(A-এর মূলধন × সময়) : (B-এর মূলধন × সময়) = লাভের অনুপাত
বা, (৫ক × ৮) : (৬ক × খ) = ৫ : ৯
বা, খ = (৫ × ৮ × ৯) / (৫ × ৬)
∴  খ = ১২

অতএব, B-এর মূলধন ১২ মাস ধরে ব্যবসায় ছিল।

প্রশ্ন: ৮ : ৯ এর ব্যস্তানুপাত কত?

সমাধান: 
ব্যস্তানুপাত মানে বিপরীত অনুপাত।
সুতরাং ৮ : ৯ এর ব্যস্তানুপাত বা বিপরীত অনুপাত হবে = ৯ : ৮

প্রশ্ন: ৫৫০০ এর শতকরা ৫ ভাগ অপেক্ষা ৫৫০০ এর শতকরা ১০ ভাগ কত বেশি?

সমাধান:
৫৫০০ এর ৫% 
= ৫৫০০ এর ৫/১০০
= ২৭৫
 
৫৫০০ এর ১০%
= ৫৫০০ এর ১০/১০০
= ৫৫০

∴ বেশি = (৫৫০ - ২৭৫) = ২৭৫