স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) - লং কোর্স

প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 হলে -

সমাধান:
|2x - 3| < 7
⇒ (2x - 3) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x - 3) < 7
⇒ 2x - 3 + 3 < 7 + 3
⇒ 2x < 10
⇒ x < 5

আবার,
⇒ (3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x - 3) > - 7
⇒ 2x - 3 + 3 > - 7 + 3
⇒ 2x >- 4
⇒ x > -2

∴ নির্ণেয় অসমতা -2 < x < 5

প্রশ্ন: (7a/3) + (3/5) = (2a/5) - (4/3) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
(7a/3) + (3/5) = (2a/5) - (4/3)
⇒ (7a/3) - (2a/5)  = - (4/3) - (3/5)
⇒ (35a - 6a)/15 = (- 20 - 9)/15
⇒ 29a/15 = - 29/15
⇒ 29a = - 29
∴ a = - 1

প্রশ্ন: p² + 2pq - 2qr - r² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p² + 2pq - 2qr - r²
= p² - r² + 2pq - 2qr
= (p + r)(p - r) + 2q(p - r) 
= (p - r)(p + r + 2q)

প্রশ্ন: ab + bc + ca = 7 এবং a² + b² + c² = 11 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 7
a² + b² + c² = 11

এখন,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)² = 11 + (2 × 7)
বা, (a + b + c)² = 11 + 14
বা, (a + b + c)² = 25
বা, a + b + c = √25
∴ a + b + c = 5

প্রশ্ন: সৌরভ 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্দ্ধ 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান:
x টি কলমের ক্রয়মূল্য = 3x টাকা
আবার, (x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য = 6(x + 2) টাকা

প্রশ্নমতে,
3x + 6 (x + 2) ≤ 93
⇒ 3x + 6x + 12 ≤ 93 
⇒ 9x + 12 ≤ 93
⇒ 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে]
⇒ 9x ≤ 81
⇒ 9x/9 ≤ 81/9 [উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x ≤ 9

অতএব, সৌরভ সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 8 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a³ - 8
= a³ - 2³
= (a - 2)(a² + 2a + 2²)
= (a - 2)(a² + 2a + 4)

প্রশ্ন: x² + x + 1 = 0 সমীকরণের মূল দুটি হবে-

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (1)² - 4 · 1 · 1
= - 3 < 0

∴ মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

♦ নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
• b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: x - y = 1 এবং xy = 6 হলে x³ - y³ + 8(x + y)² এর মান কত?

প্রশ্ন: 3x + 2 > 4x - 5 এর সমাধান সেট কত?

সমাধান:
3x + 2 > 4x - 5
⇒ 3x + 2 + 5 > 4x - 5 + 5 [উভয় পক্ষে 5 যোগ করে পাই]
⇒ 3x + 7 > 4x
⇒ 3x + 7 - 3x > 4x - 3x [উভয় পক্ষে (-3x) যোগ করে পাই]
⇒ x < 7

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট: S = {x ∈ R: x < 7}

প্রশ্ন: a² - 12a + 35 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
a² - 12a + 35
= a² - 7a - 5a + 35
= a(a - 7) - 5(a - 7)
= (a - 7)(a - 5)

প্রশ্ন: 3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
3a + 4b = 14 .........(1)
4a - 3b = 2 ...........(2)

{(1) × 3} + {(2) × 4} ⇒
9a + 12b + 16a - 12b = 42 +8
⇒ 25a = 50
∴ a = 2

a এর মান (1) নং এ বসাই,
4b = 14 - (3 × 2)
∴ b = (14 - 6)/4 = 2

∴(a, b) = (2, 2)

প্রশ্ন: p² - √3p + 1= 0 হলে p + (1/p) = কত?

সমাধান:
p² - √3p + 1= 0
⇒ p² + 1= √3p
⇒ (p² + 1)/p = √3p/p
⇒ (p²/p) + (1/p) = √3
∴ p + (1/p) = √3

প্রশ্ন: a² - 7a + 6 < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a² - 7a + 6 
⇒ a² - 6a - a - 7
⇒ a(a - 6) - 1(a - 6)
⇒ (a - 6)(a - 1)

a² - 7a + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 1 < 0 এবং x - 6 > 0 হয়।
এখন, x - 1 < 0 এবং x - 6 > 0
অর্থাৎ,  x < 1 এবং x > 6
1 এর চেয়ে ছোট এবং 6 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
a² - 7a + 6 < 0  সত্য হবে যদি x - 1 > 0 এবং x - 6 < 0 হয়।
এখন,  x - 1 > 0 এবং x - 6 < 0
অর্থাৎ x > 1 এবং x < 6
x এর মান 1 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 1 < x < 6

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে a + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a² + 13a + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 13 · (- 3) + 36
= 9 - 39 + 36
= 45 - 39
= 6
∴ ভাগশেষ 6 হবে।

প্রশ্ন: যদি b/a = 1/3 এবং a + 2b = 10 হয়, তাহলে a = কত?

সমাধান:
b/a = 1/3
⇒ a = 3b ..... (1)

এখন,
a + 2b = 10
⇒ 3b + 2b = 10
⇒ 5b = 10
⇒ b = 2

∴ a = 3 × 2 = 6

প্রশ্ন: p² = 11 + 2√30 হলে p^-1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
p² = 11 + 2√30
⇒ p² = 6 + 2√30 + 5
⇒ p² = (√6)² + 2√6. √5 + (√5)²
⇒ p² = (√6 + √5)²
⇒ p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
⇒ 1/p =(√6 - √5)/(6 - 5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/1
∴ p^-1 = √6 - √5

প্রশ্ন: |1 - 4a| < 1 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|1 - 4a| < 1
⇒ - 1 < 1 - 4a < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 4a - 1 < 1 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে (- 1) বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < - 4a < 0
⇒ (- 2)/(- 4) > (- 4a)/(- 4) > 0/(- 4) [উভয়পক্ষকে (- 4) দ্বারা ভাগ করে, (-) দ্বারা ভাগ করলে চিহ্ন পরিবর্তন হয়]
⇒ (1/2) > a > 0
⇒ 0 < a < (1/2)

∴ |1 - 4a| < 1 এর সমাধান: 0 < a < 1/2

প্রশ্ন: 12a² - 38a + 20 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
12a² - 38a + 20
= 2(6a² - 19a + 10)
= 2(6a² - 15a - 4a + 10)
= 2{3a(2a - 5) - 2(2a - 5)}
= 2(2a - 5)(3a - 2)

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20
∴ ছাত্র সংখ্যা = 4 × 20 - 8 = 72 জন

প্রশ্ন: p - √5 = - q এবং q = p - √3 হলে 2pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - √5 = - q ⇒ p + q = √5
এবং, q = p - √3 ⇒ √3 = p - q ⇒ p - q = √3

এখন,
4pq = (p + q)² - (p - q)²
⇒ 4pq = (√5)² - (√3)²
⇒ 4pq = 5 - 3
⇒ 4pq = 2
⇒ 4pq/2 = 2/2
∴ 2pq = 1

প্রশ্ন: (1/|2x - 1|) ≥ (1/7) অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
(1/|2x - 1|) ≥ (1/7)
⇒ |2x - 1| ≤ 7
⇒  - 7  ≤ 2x - 1 ≤ 7
⇒ - 7 + 1 ≤ 2x - 1 + 1 ≤ 7 + 1
⇒ - 6 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 6/2 ≤ 2x/2 ≤ 8/2
∴ - 3  ≤ x ≤ 4

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - x - (a² + 5a + 6) এর উৎপাদক?

প্রশ্ন: x ≤ y এবং x ≥ y হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ≤ y
x ≥ y

x < y সম্ভব নয়, কারণ y, x এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x > y সম্ভব নয়, কারণ x, y এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x ≠ y সম্ভব নয়, কারণ x ≤ y, x ≥ y
∴ x = y সত্য হবে, কারণ x ≤ y এবং x ≥ y

প্রশ্ন: a - b = 2 এবং ab = 24 হলে, b এর ঋণাত্মক মানটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 2 ⇒ a = 2 + b
এবং, ab = 24
⇒ b = 24/a
⇒ b = 24/(2 + a)
⇒ 2b + b² = 24
⇒ b² + 2b - 24 = 0
⇒ b² + 6b - 4b - 24 = 0
⇒ b(b + 6) - 4(b + 6) = 0
⇒ (b + 6)(b - 4) = 0

হয়, b + 6 = 0 ⇒ b = - 6
অথবা, b - 4 = 0 ⇒ b = 4
∴ b এর ঋণাত্মক মানটি হবে - 6

প্রশ্ন: |p - 2| ≤ 5 হলে, p এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান:
|p - 2| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ p - 2 ≤ 5
⇒ - 5 + 2 ≤ p - 2 + 2 ≤ 5 + 2
⇒ - 3 ≤ p ≤ 7

∴ p এর সর্বনিম্ন মান - 3

প্রশ্ন: 9a² - 9a - 4 এর উৎপাদক-

সমাধান:
9a² - 9a - 4
= 9a² - 12a + 3a - 4
= 3a(3a - 4) + 1(3a - 4)
= (3a + 1)(3a - 4)

প্রশ্ন: x² - 2x - 2 = 0 এর সমাধান কোনটি?

প্রশ্ন: 16a² + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
16a² + 16a + 2
= 16a² + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + 2
= (4a)² + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + (2)² - 2
= (4a + 2)² - 2

অর্থাৎ, 16a² + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম 2 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: |a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?

সমাধান:
|a - 2| < 3
⇒ -3 < a - 2 < 3
⇒-3 + 2 < a - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < a < 5
⇒ -3 < 3a < 15
⇒ -3 + 5 < 3a + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3a + 5 < 20
যেখানে, m < 3a + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20

প্রশ্ন: a² + ca + bc + ab এর একটি উৎপাদক (a + b) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
a² + ca + bc + ab
= a² + ab + ca + bc
= a(a + b) + c(a + b)
= (a + b)(a + c)

প্রশ্ন: y = x + 3 এবং y = - x - 3 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
y = x + 3
⇒ - x - 3 = x + 3
⇒ - x - x = 3 + 3
⇒ 2x = - 6
⇒ x = - 3
এবং, y = - 3 + 3 = 0

∴ (x, y) = (-3, 0)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x + y = 4 এবং xy = 3 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
এখন,
x³ + y³ 
= (x + y)³ - 3 ⋅ x ⋅ y(x + y)
= 4³ - 3 ⋅ 3 ⋅ 4
= 64 - 36
= 28

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 8 .......... (1)
a - b = 2 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 8 + 2
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসাই,
5 + b = 8
⇒ b = 8 - 5
∴ b = 3
∴ (a, b) = (5, 3)

প্রশ্ন: 4x + 10y = - 2 এবং 3x - 2y = 8 হলে, x³ + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 10y = - 2 …… (i)
এবং 3x - 2y = 8
বা, 15x - 10y = 40 ……(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

(i) নং ও (ii) নং কে যোগ করে পাই,
4x + 10y + 15x - 10y = - 2 + 40
বা, 19x = 38
বা, x = 38/19
∴ x = 2

∴ x³ + 1 = 2³ + 1 = 9

প্রশ্ন: m + (1/m) = r হলে, m³ + m^-3 এর মান কত?

সমাধান:
m³ + m^-3
= m³ + (1/m³)
= {m + (1/m)}³ - 3 · m · (1/m) {m + (1/m)}
= {m + (1/m)}³ - 3 {m + (1/m)}
= r³ - 3r

প্রশ্ন: 8 < x < 12 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 12)/2 = 10

এখন,
8 < x < 12
⇒ 8 - 10 < x - 10 < 12 - 10 [উভয়পক্ষ থেকে 10 বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < x - 10 < 2
⇒ |x - 10| < 2

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 10| < 2

প্রশ্ন: a² + 7a + b যদি a - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে b এর মান কত হবে?

সমাধান:
যেহেতু, a - 5 প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক
তাহলে, a - 5 = 0 বা, a = 5 বসালে প্রদত্ত রাশিটির মান 0 হবে।

ধরি, f(a) = a² + 7a + b
∴ f(5) = 5² + (7 ⋅ 5) + b = 0
বা, 25 + 35 + b = 0
বা, 60 + b = 0
∴ b = - 60

প্রশ্ন: (6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)

(1) + (2) হতে পাই,
6x - y - 6x + 5y = 1 + 7
⇒ 4y = 8
⇒ y = 8/4
∴ y = 2

এখন, 6x = 1 + 2
⇒ x = 3/6
∴ x = 1/2