নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3,  11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

এখন অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √১০/√২ = √(১০/২) = √৫ ; যা অমূলদ

খ) √৮/৩ = √(৪ × ২)/৩ = ২√২/৩ ; যা অমূলদ

গ) √১২/√৩ = √(৪ × ৩)/√৩ = (√৪ × √৩)/√৩ = ২ ; যা মূলদ

ঘ) √৩/২ ; যা অমূলদ

সুতরাং, সঠিক উত্তর: গ) √১২/√৩ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১৫% এর সাথে ৩৪ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নানুসারে, 
ক-এর ১৫% এর সাথে ৩৪ যোগ করলে যোগফল ক হয়।
অর্থাৎ, 
১৫% এর ক + ৩৪ = ক
⇒ (১৫/১০০) × ক + ৩৪ = ক
⇒ (৩/২০) × ক + ৩৪ = ক
⇒ ক - (৩ক/২০) = ৩৪ 
⇒ ১৭ক/২০ = ৩৪ 
⇒ ক = (৩৪ × ২০)/১৭ 
∴ ক = ৪০ 

প্রশ্ন: ১২, ১৮ ও ২৮ এর চতুর্থ সমানুপাতি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি = ১২ 
২য় রাশি = ১৮ 
৩য় রাশি = ২৮
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ ১২ × ৪র্থ রাশি = ১৮ × ২৮
⇒ ৪র্থ রাশি = (১৮ × ২৮)/১২
∴ ৪র্থ রাশি = ৪২ 

প্রশ্ন: বৃহত্তম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ক) ০.৮৫ = ০.৮৫

খ) ৫/৬ = ০.৮৩

গ) ৮/৯ = ০.৮৮ 

ঘ) ৪/৫ = ০.৮০

তুলনা করে পাই, ০.৮০ < ০.৮৩ < ০.৮৫ < ০.৮৮ 

সুতরাং সবচেয়ে বড় ৮/৯

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার ৬% হলে, ২৫০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০
= (২৫০০ × ৬ × ৫)/১০০
= (২৫০০ × ৩০)/১০০
= ৭৫০০০/১০০
= ৭৫০ টাকা

সুতরাং, ৫ বছরের মুনাফা ৭৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। যদি দ্রব্যটি আরও ৬০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করা হতো, তবে ৫% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১০৫ - ৯০) টাকা
= ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০)/১৫ টাকা
= ৪০০ টাকা 

∴  দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৩/৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = ১২
ল.সা.গু. = ১৮০

ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক 
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক/৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ক × ৩ক/৫ = ১২ × ১৮০ 
⇒ ৩ক^২/৫ = ২১৬০
⇒ ক^২ = (২১৬০ × ৫)/৩ 
⇒ ক^২ = ৭২০ × ৫
⇒ ক = √ ৩৬০০ 
∴ ক = ৬০ 

সুতরাং, বড় সংখ্যা = ৬০
এবং ছোট সংখ্যা = (৩/৫) × ৬০ = ৩৬

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২৩৫ থেকে যত ছোট, ১৬৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি
সংখ্যাটি = ক
তাহলে, 
২৩৫ - ক = ক - ১৬৫
⇒ ২ক = ২৩৫ + ১৬৫
⇒ ২ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০/২
∴ ক = ২০০

সঠিক উত্তর গ) ২০০

শর্টকাট:
সংখ্যাটি = (২৩৫ + ১৬৫)/২ = ৪০০/২ = ২০০

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: টাকায় ৭টি করে পণ্য ক্রয় করে টাকায় ৫টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
৭টি পণ্যের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি পণ্যের ক্রয়মূল্য = ১/৭ টাকা

আবার, 
৫টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ১টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ লাভ = (১/৫) - (১/৭) টাকা
= (৭ - ৫)/৩৫
= ২/৩৫ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (২/৩৫)/(১/৭) × ১০০%
= (২/৫) × ১০০%
= ৪০%

সুতরাং, শতকরা ৪০% লাভ হয়। 

প্রশ্ন: ২৫ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪ : ১। ৫ লিটার পানি যোগ করলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২৫ লিটার
দুধ : পানি = ৪ : ১
∴ মোট = ৪ + ১ = ৫ অংশ

∴ দুধের পরিমাণ = (৪/৫) × ২৫ = ২০ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = (১/৫) × ২৫ = ৫ লিটার

আবার, 
৫ লিটার পানি যোগ করলে, নতুন পানির পরিমাণ = ৫ + ৫ = ১০ লিটার
এবং নতুন দুধের পরিমাণ = ২০ লিটার (অপরিবর্তিত)

∴ নতুন অনুপাত = দুধ : পানি = ২০ : ১০
= ২ : ১

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে ২ : ১। 

প্রশ্ন: (৩/২)% কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= (৩/২)%
= (৩/২)/১০০
= ৩/(২ × ১০০)
= ৩/২০০
= ০.০১৫

প্রশ্ন: একটি শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৪৮ লক্ষ। প্রতি হাজারে বৃদ্ধির হার ২০ জন। ২ বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৪৮০০০০০
বার্ষিক বৃদ্ধির হার = ২০ প্রতি হাজারে = ২০/১০০০ = ০.০২ = ২%

∴ ২ বছর পর জনসংখ্যা (চক্রবৃদ্ধি হারে), A = P × (১ + r)^২
= ৪৮০০০০০ × (১.০২)^২
= ৪৮০০০০০ × ১.০৪০৪
= ৪৯৯৩৯২০

অতএব, ২ বছর পর জনসংখ্যা হবে ৪৯,৯৩,৯২০ জন।

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চারগুণ হলে শতকরা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ক টাকা
সুতরাং, ক্রয়মূল্য ৪ক টাকা

∴ ক্ষতি = (৪ক - ক) = ৩ক টাকা

এখন, 
৪ক টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক/৪ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৩ক × ১০০)/৪ক = ৭৫ টাকা

সুতরাং, শতকরা ৭৫% ক্ষতি হয়।

প্রশ্ন: ২২০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
২২০ এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ = ২ × ২ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৫^১ × ১১^১ 

আমরা জানি, কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করার সূত্র হলো এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণফল নির্ণয় করা।
এখানে ঘাতসমূহ হলো ২, ১ এবং ১।

∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ২ × ২
= ১২ টি

প্রশ্ন: তিনজন ব্যক্তি একটি পথে বরাবর দৌড়াচ্ছেন। তারা যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে এক চক্কর পূর্ণ করেন। সকাল ৮টার সময় তারা একই স্থান থেকে দৌড় শুরু করলে, পুনরায় কখন তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন?

সমাধান: 
১০ = ২ × ৫ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ১০, ১২ এবং ১৫ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
তারা আবার শুরুর স্থানে একসঙ্গে মিলিত হবেন ৬০ মিনিট পর।
শুরু করেছে সকাল ৮ : ০০ টায়
এবং ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা
∴ ৮ : ০০ + ১ ঘণ্টা = সকাল ৯ : ০০ টা

সুতরাং, তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন সকাল ৯টায়।

প্রশ্ন: a ∈ N হলে, a² + 2a + 1 কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
কারণ a² + 2a + 1 রাশিটিকে (a + 1)² হিসাবে লেখা যায়।
এখানে a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N), তাই (a + 1) ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

আমরা জানি, 
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সর্বদা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ,
যদি a = 1 হয়, তবে (1 + 1)² = 2² = 4, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
যদি a = 2 হয়, তবে (2 + 1)² = 3² = 9, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: গতকাল শেয়ারের দাম ৩০% বেড়েছিল, কিন্তু আজ ২৫% কমেছে। শেয়ারের দাম মোট কত কমেছে বা বেড়েছে?

সমাধান: 
ধরি,
শেয়ারের প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা
৩০% বৃদ্ধিতে শেয়ারের মূল্য হয় = ১০০ + ৩০ = ১৩০ টাকা

আবার,
২৫% হ্রাস পেয়ে শেয়ারের মূল্য হয় = ১৩০ - (১৩০ এর ২৫%) = ১৩০ - ৩২.৫০ = ৯৭.৫০  টাকা

সুতরাং, শেয়ারের মূল্য কমেছে = ১০০ - ৯৭.৫০ = ২.৫০ টাকা 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৮৪ এবং অনুপাত ৩ : ৪। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করা হয় তাহলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি সংখ্যার যোগফল = ৮৪
অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩x এবং ৪x
তাহলে,
⇒ ৩x + ৪x = ৮৪
⇒ ৭x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/৭
∴ x = ১২
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৩x = ৩ × ১২ = ৩৬
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪x = ৪ × ১২ = ৪৮

এখন, প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করলে নতুন সংখ্যা দুটি হবে,
∴ নতুন প্রথম সংখ্যা = ৩৬ - ৬ = ৩০
∴ নতুন দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮ - ৬ = ৪২

∴ নতুন অনুপাত = ৩০ : ৪২ = ৫ : ৭

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ভগ্নাংশটি = x/y  ; [যেখানে x = লব, y = হর]

দেওয়া শর্ত দুটি, লবের সাথে ৫ যোগ করলে মান ৩ হয়
⇒ (x + ৫)/y = ৩
⇒ x + ৫ = ৩y
∴ x = ৩y - ৫ ……… (১)

এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে মান ৪ হয়
⇒ x/(y - ৪) = ৪
⇒ x = ৪(y - ৪)  
⇒ ৩y - ৫ = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪y - ১৬ 
⇒ ৪y - ৩y = ১৬ - ৫ 
∴ y = ১১

(১) নং হতে পাই, 
⇒ x = ৩y - ৫
⇒ x = ৩৩ - ৫ 
∴ x = ২৮ 

সুতরাং ভগ্নাংশটি = ২৮/১১

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধন সরল সুদে ১০ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হলে, সুদের হার কত?

সমাধান: 
মূলধন সরল সুদে ১০ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হয়।
ধরি, 
আসল = P
সুদ-আসল = ৩P
মুনাফা = ৩P - P = ২P
সময়, n = ১০ বছর 

আমরা জানি, 
মুনাফা = (P × r × n)/১০০
⇒ ২P = (P × r × ১০)/১০০
⇒ ২ = (১০r)/১০০
⇒ ১০r = ২০০
⇒ r = ২০০/১০ 
∴ r = ২০%

সুতরাং, সুদের হার ২০%। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০০ টাকায় ২৫টি লেবু ক্রয় করে এবং ১০০ টাকায় ২০টি লেবু বিক্রয় করে। তার শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হয়েছে?

সমাধান: 
২৫ টা লেবুর ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ১টা লেবুর ক্রয়মূল্য ১০০/২৫ = ৪ টাকা

আবার, 
২০ টা লেবুর বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ১ টা লেবুর বিক্রয়মূল্য ১০০/২০ = ৫  টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ৫ - ৪ = ১ টাকা

∴ লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (১/৪) × ১০০%
= ২৫%

সুতরাং, তার ২৫% লাভ হয়েছে।

প্রশ্ন: ৪/৯, ২/৫ ও ৪/৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ৪, ২ ও ৪ এর গ.সা.গু. = ২
এবং হর ৯, ৫ ও ৯ এর ল.সা.গু. = ৪৫

∴ গ.সা.গু. = ২/৪৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০। প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ১২ × ১৮০ 
= ২১৬০

এখন, 
প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ২০ × ৩ = ৬০ 

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক 
সুতরাং, ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০ 
∴ ক = ৩৬ 

সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যা ৩৬ 

প্রশ্ন: ৬০ এর চেয়ে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায় না।

২ থেকে ৫৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = মোট ১৭টি
(৬০ নিজে মৌলিক নয়, তাই এটি গণনায় আসে নাই)

সুতরাং, ৬০ এর চেয়ে ছোট ১৭টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 

প্রশ্ন: নির্মাতা ২৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে একটি জিনিস বিক্রি করে। নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হলে, খুচরা মূল্য কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নির্মাণ খরচ = ২০০ টাকা
নির্মাতা ২৫% লাভে বিক্রি করে
খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রি করে

এখন, 
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ২৫% 
= ২০০ + ২০০ এর (২৫/১০০)
= ২০০ + ৫০ 
= ২৫০ টাকা 
অর্থাৎ, নির্মাতা খুচরা বিক্রেতার কাছে ২৫০ টাকায় বিক্রি করে।

আবার, 
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = ২৫০ + ২৫০ এর ২০%
= ২৫০ + ২৫০ এর (২০/১০০) 
= ২৫০ + ৫০ 
= ৩০০ টাকা 

সুতরাং, খুচরা মূল্য ৩০০ টাকা হবে। 

প্রশ্ন: তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫। সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স ৩০ বছর হলে, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স = ৩০ বছর
এবং অনুপাতে সবচেয়ে বড় অংশ = ৫ অংশ

সুতরাং, ৫ অংশ = ৩০ বছর
∴ ১ অংশ = ৩০/৫ = ৬ বছর

∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের অংশ = ৪ অংশ
∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স = ৪ × ৬ = ২৪ বছর

সুতরাং, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স ২৪ বছর। 

প্রশ্ন: একটি সম্পত্তির ৭/৮ অংশ ২ পুত্র ও ৩ কন্যার মধ্যে এমনভাবে বণ্টন করা হলো যার ফলে প্রত্যেক কন্যা প্রত্যেক পুত্রের অর্ধেক পায়। প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির কত অংশ পেল?

সমাধান:
মনেকরি,
প্রত্যেক পুত্র পায় 'ক' অংশ।
তাহলে, প্রত্যেক কন্যা পায় = ক/২ অংশ। 

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৭/৮
⇒ ২ক + ৩(ক/২) = ৭/৮
⇒ ৪ক + ৩ক = ১৪/৮ = ৭/৪
⇒ ৭ক = ৭/৪
⇒ ক = ৭/(৪ × ৭)
∴ ক = ১/৪

সুতরাং, প্রত্যেক পুত্র সম্পত্তির ১/৪ অংশ পেল।

প্রশ্ন: ৪৩২১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩৪) ৪৩২১ (১২৭ 
       ৩৪ 
_____________
         ৯২
         ৬৮ 
______________
           ২৪১ 
           ২৩৮
______________ 
                ৩ 
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৪ - ৩ = ৩১

প্রশ্ন: একটি জিনিস ১৫০০ টাকায় ক্রয় করে ২৫% ক্ষতিতে বিক্রিয় করা হয়। তাহলে জিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২৫% ক্ষতি হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা

এখন, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৭৫/১০০) × ১৫০০ = ১১২৫ টাকা

সুতরাং, জিনিসটির বিক্রয়মূল্য ১১২৫ টাকা। 

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৩ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৩ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০ 

যেহেতু প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ বেশি।
∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৩) জন = ১৮৩ জন।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
৯-এর নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও বিভাজ্য হবে। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ৩৪৫৬
৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ১৮ ; ৯ দিয়ে বিভাজ্য (৩৪৫৬ ÷ ৯ = ৩৮৪, অবশিষ্ট ০)

খ) ৫৬৭৩
৫ + ৬ + ৭ + ৩ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

গ) ৮৯০৪
৮ + ৯ + ০ + ৪ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

ঘ) ৭৯০১
৭ + ৯ + ০ + ১ = ১৭ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৮)

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ক) ৩৪৫৬

প্রশ্ন: ৩০০টি ডিম কেনা হয়েছিল। পরীক্ষায় দেখা গেল ১৫টি ডিম খারাপ। শতকরা কতগুলো ডিম ভালো আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ডিম কেনা হয়েছে = ৩০০টি
খারাপ ডিম = ১৫টি

∴ ভালো ডিম = মোট ডিম - খারাপ ডিম
= (৩০০ - ১৫) টি 
= ২৮৫টি

∴ শতকরা ভালো ডিম = (ভালো ডিম/মোট ডিম) × ১০০%
= (২৮৫/৩০০) × ১০০%
= ৯৫% 

সুতরাং, শতকরা ৯৫% ডিম ভালো আছে।

প্রশ্ন: রাহিম ও করিম আয়ের অনুপাত ৫ : ৪ এবং করিম : জাহিদ আয়ের অনুপাত ৬ : ৭। রাহিমের আয় ১৫০০ টাকা হলে, জাহিদের আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রাহিম : করিম = ৫ : ৪
করিম : জাহিদ = ৬ : ৭
রাহিমের আয় = ১৫০০ টাকা

∴ রাহিম : করিম = ৫ : ৪ = (৫ × ৬) : (৪ × ৬) = ৩০ : ২৪ = ১৫ : ১২
∴ করিম : জাহিদ = ৬ : ৭ = (৬ × ৪) : (৭ × ৪) = ২৪ : ২৮ = ১২ : ১৪

∴ রাহিম : করিম : জাহিদ = ১৫ : ১২ : ১৪

∴ জাহিদের আয় = (১৪/১৫) × ১৫০০ = ১৪০০ টাকা

সুতরাং, জাহিদের আয় ১৪০০ টাকা। 

প্রশ্ন: একজন চাকুরিজীবীর মাসিক আয়ের ১/৪ অংশ বাসা ভাড়ায়, ২/৫ অংশ খাদ্যে এবং ১/১০ অংশ যাতায়াতে ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ সঞ্চয় হয়? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাসা ভাড়া = ১/৪ অংশ
খাদ্য = ২/৫ অংশ
যাতায়াত = ১/১০ অংশ

মোট ব্যয় = (১/৪) + (২/৫) + (১/১০)
= (৫ + ৮ + ২)/২০ 
= ১৫/২০
= ৩/৪ অংশ

∴ সঞ্চয়ের অংশ = মোট আয় - মোট ব্যয়
= ১ - (৩/৪)
= ১/৪ অংশ

∴ শতকরা সঞ্চয় = (১/৪) × ১০০% = ২৫%

সুতরাং, তার আয়ের শতকরা ২৫ ভাগ সঞ্চয় হয়। 

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০ 
= (৫০০০ × ১০ × ৩)/১০০
= ১৫০০ টাকা

আবার, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P (১ + r)ⁿ - P
= ৫০০০(১ + ১/১০)^৩ - ৫০০০
= ৫০০০(১১/১০)^৩ - ৫০০০
= ৫ × (১১ × ১১ × ১১) - ৫০০০ 
= ৬৬৫৫ - ৫০০০ 
= ১৬৫৫ টাকা 

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা = ১৬৫৫ - ১৫০০ = ১৫৫ টাকা

সুতরাং, সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মধ্যে পার্থক্য ১৫৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯০টি লাল এবং ১৫০টি নীল বল আছে। সর্বাধিক কতগুলো প্যাকেটে ভাগ করা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও নীল বল থাকে?

সমাধান:
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫ 
১৫০ = ২ × ৩ ×৫ × ৫

∴ ৯০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু = ৩০ 

∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ৩০টি প্যাকেটে রাখা যাবে।

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৮৫ জন গণিতে পাস করেছে। গণিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭৫ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
১০০ জনে ফেল করে = (১০০ - ৮৫) জন 
= ১৫ জন 

১৫ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ জন 
∴ ১ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০/১৫ জন 
∴ ৭৫ জন গণিতে ফেল করলে পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৭৫)/১৫ জন 
= ৫০০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫০০ জন ।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৪৫ হলে, শেষ সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ক 
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে, 
⇒ ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) = ১৪৫
⇒ ৫ক + ১০ = ১৪৫
⇒ ৫ক = ১৩৫
⇒ ক = ১৩৫/৫
∴ ক = ২৭

সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ২৭, ২৮, ২৯, ৩০, ৩১
∴ শেষ দুইটি সংখ্যা = ৩০ এবং ৩১

∴ তাদের গুণফল = ৩০ × ৩১ = ৯৩০

প্রশ্ন: দুধের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি দুধের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি দুধের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধান:
ধরি,
২৫% বৃদ্ধিতে দুধের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

এখন,
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ দুধের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)% = ২০%

অর্থাৎ, তিনি পূর্বের ব্যবহারের তুলনায় ২০% কম দুধ ব্যবহার করবেন।

প্রশ্ন: X এবং Y, ৫ : ৮ অনুপাতে কিছু টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করে। যদি বছরের শেষে ৫ : ৪ অনুপাতে লাভ ভাগ করা হয় এবং X, ১২ মাসের জন্য বিনিয়োগ করে, তবে Y কত মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
X এবং Y-এর বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৮
লাভ ভাগের অনুপাত = ৫ : ৪
X বিনিয়োগ করেছে ১২ মাস
এবং Y বিনিয়োগ করেছে = m মাস 

আমরা জানি, 
ব্যবসায় লাভের ভাগাভাগি হয় = বিনিয়োগ × সময় ; অর্থাৎ মূলধন × সময় অনুপাতে।

লাভের অনুপাত = (X-এর বিনিয়োগ × X-এর সময়) : (Y-এর বিনিয়োগ × Y-এর সময়)
⇒ ৫ : ৪ = (৫ × ১২) : (৮ × m)
⇒ ৫/৪ = ৬০/৮m
⇒ ৫ × ৮m = ৪ × ৬০
⇒ ৪০m = ২৪০
⇒ m = ২৪০/৪০
∴ m = ৬

উত্রাং, Y, ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৩৫। এদের একটি ৬/৭ হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৩৫
এদের একটি ভগ্নাংশ = ৬/৭

ধরি, অপর ভগ্নাংশটি = ক
তাহলে:
(৬/৭) × ক = ১৮/৩৫
⇒ ক = (১৮/৩৫)/(৬/৭)
⇒ ক = (১৮/৩৫) × (৭/৬)
⇒ ক = (১৮ × ৭)/(৩৫ × ৬)
∴ ক = ৩/৫

সুতরাং, অপর ভগ্নাংশটি ৩/৫

প্রশ্ন: ৬% হারে আট মাসে ৮০০০ টাকার উপর সরল সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল সুদ, SI = (P × r × n)/১০০
= (৮০০০ × ৬ × ৮/১২)/১০০
= ৮০ × ৪  
= ৩২০ টাকা

অতএব, ৮ মাসে ৮০০০ টাকার উপর সরল সুদ হবে ৩২০ টাকা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একজন দোকানদারের কাছে ৩০টি কলম আছে। তিনি কিছু কলম ৪০ টাকা লাভে এবং বাকিগুলো ১৫ টাকা ক্ষতিতে বিক্রি করলে মোট ৫৪০ টাকা লাভ হয়। কতগুলো কলম ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রতি কলমে লাভ = ৪০ টাকা
প্রতি কলমে ক্ষতি = ১৫ টাকা
মোট লাভ = ৫৪০ টাকা

ধরি,
লাভে বিক্রি করা কলমের সংখ্যা = ক টি
ক্ষতিতে বিক্রি করা কলমের সংখ্যা = (৩০ - ক) টি

প্রশ্নমতে, 
⇒ ৪০ক - ১৫(৩০ - ক) = ৫৪০
⇒ ৪০ক - ৪৫০ + ১৫ক = ৫৪০
⇒ ৫৫ক - ৪৫০ = ৫৪০
⇒ ৫৫ক = ৫৪০ + ৪৫০
⇒ ৫৫ক = ৯৯০
⇒ ক = ৯৯০/৫৫
∴ ক = ১৮
অর্থাৎ লাভে বিক্রি করা হয়েছে = ১৮টি কলম।
∴ ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে = ৩০ - ১৮ = ১২টি

সুতরাং, ক্ষতিতে বিক্রি করা কলম = ১২টি

প্রশ্ন: ০.৯৬০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
√০.৯৬০৪
= √(৯৬০৪/১০০০০)
= √(৯৮^২/১০০^২)
= ৯৮/১০০
= ০.৯৮

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫২০ টি আম রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি আম যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ এবং ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩

৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
        ৪৮
     ___________
           ৪০
           ৩৬
    _____________
              ৪ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক আম যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

∴ আম যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে, 
১৫x = ১২০ 
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮ 

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪