১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: যদি a ≤ (a/2) + 3 হয়, তাহলে -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3} [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 2a ≤ {(2a/2) + 6}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a [উভয়পক্ষ থেকে a বিয়োগ করে]
∴ a ≤ 6

প্রশ্ন: p² - 6p + 9 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 6p + 9 = 0
⇒ p2 - 3p - 3p + 9 = 0
⇒ p(p - 3) - 3(p - 3) = 0
⇒ (p - 3)(p - 3) = 0

হয়, p - 3 = 0 ⇒ p = 3
অথবা, p - 3 = 0 ⇒ p = 3

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b² - 4ac = 0 হয় তবে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে।

এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই -
b = - 6
a = 1
c = 9

নিশ্চায়ক = (- 6)² - 4.1.9
= 36 - 36
= 0

অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট অনুসারে সমীকরণটির মূল ২টি।
====================
⇒ জেনে রাখা ভালো -

অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে (2 + a) + 3 - 3(a + 2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2 + a) + 3 - 3(a + 2) = 0
বা, 2 + a + 3 - 3a - 6 = 0
বা, - 2a - 1 = 0
বা, - 2a = 1
∴ a = - (1/2)

∴ a এর মান - (1/2) হলে (2 + a) + 3 - 3(a + 2) = 0 হবে।

প্রশ্ন:  |1 - 2a| < 1 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
|1 - 2a| < 1
⇒ - 1 < 1 - 2a < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 2a - 1 < 1 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে (- 1) বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < - 2a < 0
⇒ (- 2)/(- 2) > (- 2a)/(- 2) > 0/(- 2) [উভয়পক্ষকে (- 2) দ্বারা ভাগ করে, (-) দ্বারা ভাগ করলে চিহ্ন পরিবর্তন হয়]
⇒ 1 > a > 0
⇒ 0 < a < 1

∴ |1 - 2a| < 1 এর সমাধান: 0 < a < 1

প্রশ্ন: p = 2r, p/q = r/s এবং s = 3 হলে q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p/q = r/s
বা, 2r/q = r/3 [p = 2r এবং s = 3 বসিয়ে] 
বা, qr = 6r 
বা, q = 6r/r 
∴ q = 6 

প্রশ্ন: দুদুইটি সংখ্যার যোগফল ৫৫। ছোট সংখাটির ৬ গুণ বড় সংখ্যাটির ৫ গুণের সমান হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
তাহলে, বড় সংখ্যাটি = ৫৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৫(৫৫ - ক)
বা, ৬ক = ২৭৫ - ৫ক
বা, ৬ক + ৫ক = ২৭৫
বা, ১১ক = ২৭৫
বা, ক =২৭৫/১১
∴ ক = ২৫

∴ ছোট সংখ্যাটি ২৫।

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান:
|2x - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
⇒ 1 ≤ x ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 2.

প্রশ্ন: যদি y/x = 1/3 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y/x = 1/3
বা, x/y = 3
বা, (x + y)/(x - y) = (3 + 1)/(3 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, (x + y)/(x - y) = 4/2
∴ (x + y)/(x - y) = 2

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান ২০ টি ৪ ও ৬ এর মাধ্যমে ৯২ রান করে। তার ৪ এর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
৪ এর সংখ্যা = ক
৬ এর সংখ্যা = ২০ - ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬(২০ - ক) = ৯২
বা, ৪ক + ১২০ - ৬ক = ৯২
বা, - ২ক = ৯২ - ১২০
বা, - ২ক = - ২৮
বা, ক = ২৮/২
∴ ক = ১৪ 

∴ তার ৪ এর সংখ্যা ১৪ টি। 

প্রশ্ন: 3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
3a + 4b = 14 .........(1)
4a - 3b = 2 ...........(2)

{(1) × 3} + {(2) × 4} ⇒
9a + 12b + 16a - 12b = 42 +8
⇒ 25a = 50
∴ a = 2

a এর মান (1) নং এ বসাই,
4b = 14 - (3 × 2)
∴ b = (14 - 6)/4 = 2

∴(a, b) = (2, 2)

প্রশ্ন: (6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে  y এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)

(1) + (2) হতে পাই,
6x - y - 6x + 5y = 1 + 7
⇒ 4y = 8
⇒ y = 8/4
∴ y = 2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে।  প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 20 টি।

প্রশ্ন: a = 16 - 5b এবং b = a/3 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b = a/3
বা, a = 3b …… (i)

আবার,
a = 16 - 5b
বা, a + 5b = 16
বা, 3b + 5b = 16 [(i) নং হতে a এর মান বসিয়ে]
বা, 8b = 16
বা, b = 16/8
∴ b = 2

∴ b এর মান 2.

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ৪৮০০ চকলেট বিতরণ করা হলো। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ক জন 
∴ চকলেট পায় = ৩ক টি করে

প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ৪৮০০
বা, ৩ক^২ = ৪৮০০
বা, ক^২ = ৪৮০০/৩
বা, ক^২ = ১৬০০
∴ ক = ৪০

∴ মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ৪০ জন।

প্রশ্ন: যদি x - y = 2 এবং xy = 24 হয়, তবে y এর ধনাত্মক মানটি হবে -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
বা, x = 2 + y

এবং, xy = 24
বা, y = 24/x
বা, y = 24/(2 + y)
বা, 2y + y² = 24
বা, y² + 2y - 24 = 0
বা, y² + 6y - 4y - 24 = 0
বা, y(y + 6) - 4(y + 6) = 0
বা, (y + 6)(y - 4) = 0

হয়, y + 6 = 0 ⇒ y = - 6
অথবা, y - 4 = 0 ⇒ y = 4 
∴ y এর ধনাত্মক মানটি হবে 4.

প্রশ্ন: x ≤ y এবং x ≥ y হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ≤ y
x ≥ y

x < y সম্ভব নয়, কারণ y, x এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x > y সম্ভব নয়, কারণ x, y এর সমান বা ছোট হতে পারে।
x ≠ y সম্ভব নয়, কারণ x ≤ y, x ≥ y
∴ x = y সত্য হবে, কারণ x ≤ y এবং x ≥ y

প্রশ্ন: a³ + ka + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
∵ একটি সমাধান = 2,
k = 2 বসিয়ে পাই, 
2³ + 2k + 10 = 0
⇒ 8 + 2k + 10 = 0
⇒ 2k = - 18
⇒ k = (- 18)/2
∴ k = - 9

∴ k এর মান (- 9)

প্রশ্ন: p = 5q + 4 এবং 5q + 8 = 40 হয় তবে p এর মান কত?

সমাধান: 
5q + 8 = 40
⇒ 5q = 32
∴ q = 32/5

∴ p = 5(32/5) + 4
= 32 + 4
= 36

প্রশ্ন: 6 < x < 10 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (6 + 10)/2
= 16/2
= 8

এখন,
6 < x < 10
⇒ 6 - 8 < x - 8 < 10 - 8 [উভয়পক্ষ থেকে 8 বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < x - 8 < 2
⇒ |x - 8| < 2

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 8| < 2

প্রশ্ন: a + b = 12 হলে, ab এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 12
∴ a এবং b এর বৃহত্তম মান হতে পারে = 12/2 = 6

অর্থাৎ,
a এর  বৃহত্তম মান = 6
b এর  বৃহত্তম মান = 6
∴ ab এর বৃহত্তম মান = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং  a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 8 .......... (1)
a - b = 2 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 8 + 2
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসাই,
5 + b = 8
⇒ b = 8 - 5
∴ b = 3
∴ (a, b) = (5, 3)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। একক স্থানীয় অঙ্কটি a হলে, সংখ্যাটি হবে - 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2a

∴ সংখ্যাটি = a + (10 × 2a)
= a + 20a
= 21a