Math Master

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪৫ মিটার এবং প্রস্থ ৩৫ মিটার। চারপাশে ৪ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়ের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ৩৫ মিটার
পাড়ের বিস্তার = ৪ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩৫ = ১৫৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
পাড় সহ মোট দৈর্ঘ্য = ৪৫ + (২ × ৪) = ৪৫ + ৮ = ৫৩ মিটার
এবং প্রস্থ = ৩৫ + (২ × ৪) = ৩৫ + ৮ = ৪৩ মিটার

∴ পাড় সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৫৩ × ৪৩ = ২২৭৯ বর্গমিটার

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = পাড় সহ ক্ষেত্রফল - পুকুরের ক্ষেত্রফল
= ২২৭৯ - ১৫৭৫ = ৭০৪ বর্গমিটার।

সুতরাং, পাড়ের ক্ষেত্রফল ৭০৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: tanB = 4/3 হলে, cosB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanB = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, cosB = ভূমি/অতিভুজ = 3/5

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h = 14 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h
= (22/7) × 6² × 14
= 22 × 36 × 2
= 1584  ঘন সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের আয়তন 1584 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ  বর্গমিটার।

প্রশ্নমতে,
ক × ২ক = ৫০ 
⇒ ২ক^২ = ৫০ 
⇒ ক^২ = ৫০/২ = ২৫ 
⇒ ক^২ = ২৫ = ৫২ 
⇒ ক  = ৫ মিটার
∴ প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ = ১০ মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(১০ + ৫) = ২ × ১৫ = ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin30° = 1/2
cos60° = 1/2

প্রদত্ত রাশি, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2) 
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = ক সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = ৩ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২৮
⇒ (১/২) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১২৮
⇒ (১/২) × ক × (ক + ৩ক) = ১২৮
⇒ ৪ক^২/২ = ১২৮
⇒ ২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
⇒ ক = ৮

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ৬ মি., প্রস্থ ৪ মি. এবং উচ্চতা ২৫০ সে. মি.। কক্ষটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য = ৬ মি
প্রস্থ = ৪ মি
উচ্চতা = ২৫০ সে.মি. = ২.৫ মি   ; [১ মি = ১০০ সে.মি.]

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রাকার কক্ষের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক।
= ৬ × ৪ × ২.৫
= ২৪ × ২.৫
= ৬০ ঘন মিটার।

সুতরাং,  কক্ষটির আয়তন ৬০ ঘন মিটার।

প্রশ্ন: যদি P + Q = 90° এবং tanP = 1/√3 হয়, তবে Q এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
P + Q = 90°......(1)
এবং tanP = 1/√3
⇒ tanP = tan30°  ; [tan 30° = 1/√3]
∴ P = 30°

এখন, P এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
P + Q = 90°
⇒ 30° + Q = 90°
⇒ Q = 90° - 30°
∴ Q = 60°

অতএব, Q এর মান 60°

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 512x³ ঘন একক। ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি ঘনকের আয়তন 512x³ ঘন একক


আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = a³  ; [ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = a একক]

প্রশ্নমতে,
a³ = 512x³
⇒ a³ = (8x)³
∴ a = 8x

সুতরাং, ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য 8x একক।

প্রশ্ন: 3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)² - (2/3)(sin60°)² 
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 5 × (1)² - (2/3) × (√3/2)² 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + (1/2) + 5 - (1/2)
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৩০২৪০/২৭০ = ১১২ মিটার

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ক এবং ৬ক

শর্তমতে,
২(৮ক + ৬ক) = ১১২
⇒ ২৮ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/২৮
∴ ক = ৪

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৮ × ৪ = ৩২ মিটার 
প্রস্থ = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ × ২৪ = ৭৬৮ বর্গ মিটার

সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 120 × 4 = 480 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (90 - 4) × 4 = 344 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 + 344) বর্গমিটার
= 824 বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4   ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 20² = 400
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 10² [r = 20/2 = 10 cm]
= 314

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = (400 - 314)
= 86 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ২/৫​ গুণ। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মি. এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১৫ মি. কম। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪০ মি.
এবং প্রস্থ = ৪০ - ১৫ = ২৫ মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪০ × ২৫ = ১০০০ বর্গ মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২/৫) × ১০০০ = ৪০০ বর্গ মি.

আবার, 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a মি.

প্রশ্নমতে, 
a^২ = ৪০০
⇒ a^২ = ২০^২ 
∴ a = ২০ মি.

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু = ৪ × ২০ = ৮০ মি.।

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৮০ মি.।

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6) [এখানে n = 5]

এখন,
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (2 × 90° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2

প্রশ্ন: একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। একটি ট্রাক ৪ মিটার দৈর্ঘ্য, ২ মিটার প্রস্থ এবং ১.৫ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট হলে, ট্রাকে কতগুলো ইট রাখা যাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ মিটার = ১০০ সে.মি.

দেওয়া আছে, 
ট্রাকের দৈর্ঘ্য = ৪ মি = ৪০০ সে.মি.
প্রস্থ = ২ মি = ২০০ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১.৫ মি = ১৫০ সে.মি.

ট্রাকের আয়তন = ৪০০ × ২০০ × ১৫০ = ১২০০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার, 
ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৮ = ১৬০০ ঘন সে.মি.

∴ মোট ইটের সংখ্যা = ১২০০০০০০/১৬০০ = ৭৫০০ টি 

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ 7(sinθ - cosθ) = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - 7cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - sinθ = cosθ + 7cosθ
⇒ 6sinθ = 8cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 8/6
∴ tanθ = 4/3