প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: secA + tanA = 4/3 হলে secA - tanA =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secA + tanA = 4/3

আমরা জানি,
⇒ sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA + tanA)(secA - tanA) = 1
⇒ (4/3)(secA - tanA) = 1
⇒ secA - tanA = 1/(4/3)
⇒ secA - tanA = 3/4

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 10 মিটার ও 12 মিটার এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বিপরীত বাহু যথাক্রমে,
a =10 মিটার
b = 12 মিটার এবং
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ
=(1/2) × 10 × 12 × sin⁡60^∘
= 5 × 12 × (√3/2)
= 5 × 6× √3
= 30√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ছায়া 10 মিটার লম্বা এবং সূর্যের উন্নতি 45°, তাহলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য = 10 মিটার
সূর্যের উচ্চতা কোণ = 45^∘

ধরি, খুঁটির উচ্চতা = h

আমরা জানি,
⇒ tanθ = খুঁটির উচ্চতা​/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan45^∘ = h/​10
⇒ 1 = h/10
⇒ h = 10 মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার । দুটি সমান্তরাল বাহুর একটির দৈর্ঘ্য 8 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার 
একটির দৈর্ঘ্য, a = 8 মিটার এবং উচ্চতা, h = 5 মিটার 

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2)​ × (a + b) × h
⇒ 50 = (1/2)​ × (8 + b) × 5
⇒ 100 = (8 + b) × 5
⇒ 8 + b = 100/5 = 20
⇒ b = 20 - 8 = 12 
∴ b = 12 মিটার 

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার ।

প্রশ্ন: cos90^∘ - cos30^∘ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos⁡90^∘ = 0
cos⁡30^∘=√3/2

প্রদত্ত রাশি,
= cos90^∘ - cos30^∘
= 0 - (√3/2)
= - √3/2

প্রশ্ন: যদি sin⁡A = 5/13 হয়, তবে cot⁡A =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 5/13

আমরা জানি,
⇒ sin⁡²A + cos⁡²A =1
⇒ cos²A = 1 - sin²A = 1 - (5/13​)² = 1 - (25/169) = 144/169
⇒ cosA = √(144/169) = 12/13

এখন,
cot⁡A = cos⁡A/sin⁡A = (12/13)/(5/13) = 12/5

∴ cot⁡A = 12/5

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 90° হলে, বৃত্ত চাপের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8 সে. মি.
কেন্দ্রীয় কোণ, θ =90^∘

আমরা জানি,
বৃত্ত চাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360^∘​) × πr²
= (90/360) × π(8)2
= (1/4) × 3.1416 × 64
= 3.1416 × 16
= 50.27

∴ বৃত্ত চাপের ক্ষেত্রফল 50.27 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: Cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Cos(nπ/2)
এটি একটি পূর্ণাঙ্গ ত্রিকোণমিতিক ধারার মতো, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
অনুক্রমটির সাধারণ পদ, n = 1, 2, 3, 4,… এবং π = 180°
১ম পদ = Cos(nπ/2) = Cos⁡(1 × 180°)/2 = Cos 90° = 0 
২য় পদ = Cos(nπ/2) = Cos⁡(2 × 180°)/2 = Cos 180° = -1
৩য় পদ = Cos(nπ/2) = Cos⁡(3 × 180°)/2 = Cos 270° = 0

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 50 মিটার। এর ভিতরে চারদিকে 3 মিটার প্রশস্ত রাস্তা থাকলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = 80 মিটার 
প্রস্থ = 50 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = 80 × 50 = 4000 বর্গ মিটার

আবার,
রাস্তা বাদে,
নতুন দৈর্ঘ্য = 80 - (2 × 3) = 74 মিটার
নতুন প্রস্থ = 50 - (2 × 3) = 44 মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = 74 × 44 = 3256 বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 4000 - 3256 = 744 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি মই 28 মিটার লম্বা এবং মাটির সাথে 60° কোণ তৈরি করেছে, মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় লাগানো আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = 28 মিটার
মাটির সাথে কোণ = 60°
দেয়ালের উচ্চতা, h = ?

আমরা জানি,
⇒ sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin60° =h/28
⇒ √3/2 = h/28
⇒ h = 28√3/2 = 14√3 মিটার

∴ মইটি দেয়ালের 14√3 মিটার উচ্চতায় লাগানো আছে

প্রশ্ন: একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে, তার সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি.

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × 6²
= (6 × 36)
= 216 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: একটি পাত্রে 20 লিটার পানি রাখা হয়েছে। যদি পাত্রের দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. এবং প্রস্থ 20 সে.মি. হয়, তবে এর গভীরতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা

আবার,
1 লিটার = 1000 ঘন সে. মি.
20 লিটার = (1000 × 20) = 20000 ঘন সে. মি.

∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= 20000/(50 × 20)
= 20000/1000
= 20

∴ গভীরতা 20 সে. মি.

প্রশ্ন: Sin{(9π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= Sin{(9π/2) + θ}
= Sin{9 × (π/2) + θ}
= Sin(9 × 90° + θ)        ; π = 180°

90° করে ঘুরে, 9 বার ঘুরে 2^nd  চতুর্ভাগে আসবে । যেখানে Sinθ এর মান ধনাত্মক । 
আবার Sin(90° + θ) = Cosθ

∴ Sin{(9π/2) + θ} = Cosθ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কামরার পরিসীমা 44 ফুট এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গ ফুট হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x
প্রস্থ = y

∴ 2(x + y) = 44
⇒ x + y = 44/2 = 22
এবং,
xy = 120

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy = (22)² - 4 × 120
             = 484 - 480
             = 4
⇒ (x - y)² = 4
⇒ x - y = 2

এখন,
⇒ x + y + x - y = 22 + 2
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
⇒ x = 12

∴ দৈর্ঘ্য = x = 12 ফুট

প্রশ্ন: rsinθ = 7/2 এবং rcosθ = 7√3/2 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 7/2.......... (১)
rcosθ = 7√3/2 ........... (২)
(১) ও (২) বর্গ করে যোগ করে পাই,
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 49/4 + (147/4)
⇒ r²(sin²θ + cos²θ ) = 196/4
⇒ r² = 49    ;[sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r = 7

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 3 সে. মি.

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3) × ​πr³
 = (4/3) × ​π(3)³
= (4/3) × ​π × 27
= 4 × ​π × ​9
= 36 × 3.1416
= 113.1 ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: 


সমাধান:

a/√(b² - a²)

প্রশ্ন: কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২
⇒ ক^২ = ৪৯
⇒ ক = √৪৯
∴ ক = ৭ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ৭ মিটার

∴  বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক = ৪ × ৭ = ২৮ মিটার
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ মিটার।

প্রশ্ন: tanθ = 1/0 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ tanθ = 1/0 
⇒ tanθ = ∞ = tan90°
∴ θ = 90°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি 12 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) ​× ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) ​× 12 × 5 
= 30 বর্গমিটার

প্রশ্ন: sin1260° এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= sin1260°
= sin(14 × 90° + 0°)
= sin0°
= 0