প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (আর্কাইভ)

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 30° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 30° 
বা, x + x = 120°
বা, 2x = 120°
বা, x = 120°/2
∴ x = 60° 

∴ কোণটির মান = 60° ।

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর সংখ্যা, n = 8 

∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/8) 
= 180° - 45° 
= 135° ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের মধ্যে সম্পর্ক কী? 

সমাধান: 
সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান। 
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান। 
- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান। 
- সামান্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গ মিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা, ২s = (১৩ + ১৪ + ১৫) মিটার 
বা, s = ৪২/২ মিটার
∴ s = ২১ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s (s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার 
=  √{২১ (২১ - ১৩) (২১ - ১৪) (২১ - ১৫)} বর্গমিটার
=  √(২১ × ৮ × ৭ × ৬) বর্গমিটার
= √(৭০৫৬) বর্গমিটার 
= ৮৪ বর্গমিটার । 

প্রশ্ন: দুটি সরলরেখা পরস্পরের সমান্তরাল হলে তারা- 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না। 

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত- 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

প্রশ্ন: যদি cosθ = 1/2 হয়, তাহলে cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosθ = 1/2 
বা, cosθ = cos60° 
∴ θ =60° 

এখন, 
cotθ 
= cot60° 
= 1/√3  ।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 
অপর কর্ণটি = ৮ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১০ × ৮
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে, 
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)² - (16)²}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? 

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি, 
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan45° = h/25
বা, 1 = h/25
∴ h = 25

∴ মিনারটির উচ্চতা = 25 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৪৪° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৪৪°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ১৪৪ক = ৩৬০
বা, ৩৬ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩৬ 
∴ ক = ১০

∴ বাহুর সংখ্যা = ১০টি ।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের ১ টি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১ টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)^২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার 

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট তল = ৬ টি 
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ২৬৯° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৬৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4) = 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 625/25
⇒ x² = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) মিটার = 20 মিটার
এবং
লম্বের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার = (3 × 5) মিটার = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?  

সমাধান: 
মনে করি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. হলে 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি. 
এবং
বৃত্তের পরিধি = 2πr সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি. ।

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি থাকে? 

সমাধান:
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 
- রশ্মির ১ টি প্রান্তবিন্দু থাকে। 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার  
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

যেহেতু, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১০০ মিটার  

আমরা জানি, 
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০ 
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = ৫০ মিটার ।

প্রশ্ন: secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²A - tan²A = 1 
বা, (secA + tanA)(secA - tanA) = 1 
বা, 4/5 (secA + tanA) = 1 
∴ secA + tanA = 5/4 

প্রশ্ন: 15 টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ + প্রস্থ) মিটার 
= ২ × (৮ + ৬) মিটার 
= (২ × ১৪) মিটার 
= ২৮ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে? 

সমাধান: 
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার 
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার 
= ২ বার 

এখন,
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০° 
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২) 
= ৭২০° 

∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে =  ৭২০°।