নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ৩৬ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক ডিগ্রি
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক) ডিগ্রি

শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ৩৬
⇒ ক - ৯০ + ক = ২৪
⇒ ২ক = ৩৬ + ৯০
⇒ ২ক = ১২৬
⇒ ক = ১২৬/২
∴ ক = ৬৩

∴ কোণটির মান ৬৩ ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 30 মি., 25 মি., 21 মি. হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা 2s হলে,

আমরা জানি,
2s = a + b + c
⇒ 2s = (30 + 25 + 21)
⇒ 2s = 76
∴ s = 38

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা 38 মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 4 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 5 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 55 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম বাহু = x মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (x + 4) মিটার

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 5 × (x + x + 4) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 5 × (x + x + 4) = 55
⇒ 5 × (x + x + 4) = 110
⇒ 2x + 4 = 22
⇒ 2x = 18
∴ x = 9

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9 + 4) = 13 মিটার

প্রশ্ন: ৫০° কোণের সম্পূরক ও পূরক কোণের সমষ্টি কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে কোণ দুটিকে পরস্পর এর পূরক কোণ বলা হয়।
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে কোণ দুটিকে পরস্পর এর সম্পূরক কোণ বলা হয়।

সুতরাং,
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫০° = ১৩০°
পূরক কোণ = ৯০° - ৫০° = ৪০°

∴ সমষ্টি = ১৩০° + ৪০° = ১৭০° যা একটি স্থূলকোণ

স্থূলকোণ: যে কোণের মান ৯০° থেকে বেশি কিন্তু ১৮০° থেকে কম, তাকে স্থূলকোণ বলে।

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

অন্যদিকে,
- রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
- এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

প্রশ্ন: বাহু a = 12 , বাহু b = 35 , এবং বাহু c = 37 হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?

সমাধান:
12² + 35²
= 144 + 1225
= 1369
= 37²

সুতরাং এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ”ক” একক হলে পরিসীমা = ৩ক একক।

এবং
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য “ক” একক হলে পরিসীমা = ৪ক একক।

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৪ × ৯ = ৩৬ মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ৩৬ মিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণ = √2 × বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য

5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণ = √2 × 5 = 5√2 সে.মি.

∴ কর্ণের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (5√2)² = 50 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = “ক”
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ (ক + ১)
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

∴ ক + ক + ২ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯২° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯২°
⇒ ২ক = ৮৮°
∴ ক = ৪৪°

প্রশ্ন: 40x মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (8x + 6) মিটার, x এর মান কত হলে অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 18 মিটার হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (8x + 6) মিটার
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 18 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(8x + 6 + 18) = 40x
⇒ 8x + 24 = 20x
⇒ 24 = 20x - 8x
⇒ 12x = 24
∴ x = 2

প্রশ্ন: 32 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 32 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (32/4) = 8 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 8√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (8√2)/2 = 4√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (4√2)² বর্গ মিটার
= (π × 16 × 2) বর্গ মিটার
= 32π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 6 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (6/4) × √{4 × (5)² - (6)²}
= (3/2) × √(100 - 36)
= 3/2 × √64
= 3/2 × 8
= 12

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার, এর ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০০/৮ = ৫০ মিটার

বাগানের পরিসীমা = ২(৫০ + ৮) মিটার
=২ × ৫৮ মিটার
= ১১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার, 14 মিটার এবং 15 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 13
b = 14
c = 15

∴অর্ধ-পরিসীমা s = (13 + 14 + 15)/2
= 42/2
= 21

∴ ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}
= √(21 × 8 × 7 × 6)
= √(3 × 7 × 2 × 2 × 2 × 7 × 2 × 3)
= 3 × 7 × 2 × 2
= 84

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং উচ্চতা 22 মি. হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 22 এর 3/4
= 33/2 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (33/2) × 22
= 363 বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৫০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৫০/৬০ বার
= ৫/৬ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
∴ গাড়ির চাকা ৫/৬ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (৫/৬)} ডিগ্রি
=৩০০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7, 24, এবং 25 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
7² + 24²
= 49 + 576
= 625
= 25²
সুতরাং এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∴ সমকোণী ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × 7 × 24
= 84 বর্গ একক।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫০° ও ৬৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫০° ও ৬৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৫০° + ৬৫°)
= ১৮০° - ১১৫°
= ৬৫°

আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৬৫° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৬৫°
⇒ বহিঃস্থ কোণ = ১১৫°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)² + a² = 7² 
⇒ 24 + a² = 49
⇒ a² = 49 - 24
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x, 2x, 3x, 2x হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°।

শর্তমতে,
x + 2x + 3x + 2x = 360°
⇒ 8x = 360°
⇒ x = 360°/8
∴ x = 45°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 3 × 45° = 135°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 45°, 55°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
যেহেতু প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

বৈশিষ্ট্য:
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
∴ r = 2

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π(2)²
= 4π

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে কী বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

লম্বকেন্দ্র:
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

অন্তকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: কয়েকটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:
 

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°

এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১১০° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ অথবা বৃত্তস্থ কোণ, কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১১০° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ = ১১০° ÷ ২
= ৫৫° 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

সমাধান:

ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো ∠ABD এবং ∠ACE

প্রশ্নমতে,
∠ABD = ∠ACE
⇒ 180° - ∠ABD = 180° - ∠ACE [চিত্র হতে]
⇒ ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC

∴ △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: △ABC-এ, ∠A = 40°, ∠C = 80° এবং BC || DE হলে, ∠BDE = ?

সমাধান:
BC || DE এবং AC ছেদক।
∴ ∠AED = ∠C = 80°

∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠BDE = ∠A + ∠AED
⇒ ∠BDE = 80° + 40°
∴ ∠BDE = 120°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। মাঠের ভিতরে চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
শুধুমাত্র খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট
রাস্তা বাদে খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = 50 - (2 × 2) = 46 ফুট
রাস্তা বাদে খেলার মাঠের প্রস্থ = 40 - (2 × 2) = 36 ফুট

∴ রাস্তা বাদে খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (46 × 36) বর্গফুট
= 1656 বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2000 - 1656) বর্গফুট
= 344 বর্গফুট

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল হলে, x এর মান কত?


সমাধান:

এখানে,
∠AOF + ∠BOF = ∠AOB
⇒ ∠AOF + 50° = 180°
⇒ ∠AOF = 180° - 50°
∴ ∠AOF = 130°

আবার,
∠AOF = ∠CPO [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠x = 130°

[অনুরূপ কোণ: যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করে, তখন যে কোণগুলো একই পাশে এবং একই অবস্থানে গঠিত হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।]

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ মি. এবং প্রস্থ 6 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ মি.
সুতরাং দৈর্ঘ্য = 48/6 = 8 মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(8² + 6²) = √(100) = 10 মি.

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৯৬০ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার = ৩০ মিটার

বাগানের পরিসীমা = ৩০ × ৪ মিটার = ১২০ মিটার

∴ প্রতি মিটারে খরচ হয় = (৯৬০/১২০) টাকা
= ৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 40° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 40°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 3² × 40°)/360°
= (π × 9 × 40°)/360°
= π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = π বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: 3x + 6y = 6 সমীকরণের রেখার ঢাল কী হবে?

সমাধান:
3x + 6y = 6 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

3x + 6y = 6
⇒ 6y = - 3x + 6
⇒ y = - (1/2)x + 1

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - (1/2) সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - (1/2)