খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহু = ক সে.মি.

আমরা জানি,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ১৪^২ = ক^২ + ক^২
⇒ ২ক^২ = ১৯৬
⇒ ক^২ = ১৯৬/২
⇒ ক = √৯৮

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) × (√৯৮) × (√৯৮)
= (১/২) × ৯৮
= ৪৯ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হলে বাহুর সংখ্যা ৮টি হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, অন্তঃকোণ = {(2n - 4) × 90°}/n

∴ বাহুর সংখ্যা ৮টি হলে, অন্তঃকোণ = {(2 · 8 - 4) × 90°}/8
= 1080/8
= 135°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ২৪ ও ৭ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ = √(৭^২ + ২৪^২)
= √(৪৯ + ৫৭৬)
= √(৬২৫)
= ২৫ সেন্টিমিটার

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = ২৫ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 10 মিটার কম হত তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হত। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
xy = 2000 ..... (1)
এবং x - 10 = y  ..... (2)

∴ x(x - 10) = 2000
⇒  x² - 10x - 2000 = 0
⇒ x²- 50x + 40x - 2000 = 0
⇒ x(x - 50) + 40(x - 50)
⇒ (x - 50)(x + 40) = 0
হয়, x = 50 অথবা x = - 40
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 50 মিটার।

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
- একটি বিন্দু থেকে অসংখ্য রশ্মি আঁকা যায়।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাসার্ধ 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (3r + r) = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)² = 16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ > ৭
৫ + ৮ > ৯
২ + ৪ = ৬ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
৩ + ৫ > ৭

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৭ মিটার। ১৪ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১৪ কিলোমিটার = ১৪০০০ মিটার

৭ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৭ বার
∴ ১৪০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৪০০০)/৭ বার
= ২০০০ বার

প্রশ্ন: tanA = 5/12 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
tanA = 5/12
⇒ cotA = 12/5
⇒ cot²A=144/25
⇒ cosec²A - 1 = 144/25
⇒ cosec²A = (144/25) + 1
⇒ cosec²A =(144 + 25)/25
⇒ cosec²A =169/25
⇒ cosecA = 13/5
∴ sinA = 5/13

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। 4 সে.মি. বাহুটিকে উচ্চতা ধরে 3 সে.মি. বাহুটিকে ঘুরিয়ে একটি কোণক তৈরি করা হলে, কোণকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h
= (1/3) × π3²4
= 12π cm³

প্রশ্ন: 32 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 32 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 32/4 = 8 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 8√2
ব্যাসার্ধ = 8√2/2 = 4√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(4√2)²
= 32π বর্গমিটার

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 5 হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 5
⇒ 5(sinθ - cosθ) = sinθ + cosθ
⇒ 5sinθ - 5cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 5sinθ - sinθ = cosθ + 5cosθ
⇒ 4sinθ = 6cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 6/4
∴ tanθ = 3/2

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 27 বর্গ সে.মি হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
⇒ 27 = (1/2) × 9 × 12 × sinθ
⇒ 54 × sinθ = 27
⇒ sinθ = 27/54
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°
অতএব, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে, তবে গ্যালারির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্যের ভুল উপস্থাপন?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: ২৫ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
২৫^২ = ২০^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক^২ = ১৫
∴ ক = ১৫ মিটার

প্রশ্ন: (1 + tanθ + secθ)(1 + cotθ - cosecθ) = কত?

সমাধান:
(1 + tanθ + secθ)(1 + cotθ - cosecθ)
= {1 + (sinθ/cosθ) + (1/cosθ)} {1 + (cosθ/sinθ) - (1/sinθ)}
= {(cosθ + sinθ + 1)/cosθ} {(sinθ + cosθ - 1)/sinθ}
= {(sinθ + cosθ)² - 1²}/sinθcosθ
= (sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ - 1)/sinθcosθ
= (1 + 2sinθcosθ - 1)/sinθcosθ
= 2sinθcosθ/sinθcosθ
= 2

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি হলে, বহুভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমাধান:
ধরি,
ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4√2 সে.মি
বাহুর সংখ্যা n = 6 টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na²)/4} cot (180/n)

একটি সুষম ষড়ভুজে ৬টি সমবাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ 60°

∴ সুষম ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল = {(6a²)/4} cot (180/6)
= [{6 × (4√2)²}/4] × cot 30°
= (192/4) × √3
= 48√3 বর্গ সেমি

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 96
⇒ 12a²/2 = 96
⇒ 6a² = 96
⇒ a² = 16
∴ a = 4

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে 3 × 4 = 12 সে.মি. এবং 4 × 4 = 16 সে.মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:
- বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: 2sinθ + 3cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a sinθ + b cosθ এর সর্বোচ্চ মান = √(a² + b²)

∴ 2sinθ + 3cosθএর সর্বোচ্চ মান = √(2² + 3²)
= √(4 + 9)
= √13

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ × ৩৬° = ১০৮°
বহিঃস্থ কোণ = ৭২°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৭২° = ৫ টি

∴ বহুভুজটি হবে একটি পঞ্চভুজ।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√2 হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 12√2
⇒ বাহু = 12√2/√2 = 12

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 12² = 144 বর্গ একক

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৫° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৫° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০৫°/২
= ৫২.৫°

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে, ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

ধরি, গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত।
∴ tan 45° = AB/AC
⇒ 1 = 15/a
∴ a = 15 মিটার

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ১৬০° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃকোণ)
= ৩৬০°/(১৮০° - ১৬০°)
= ৩৬০°/২০°
= ১৮ টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১৮(১৮ - ৩)}/২
= ২৭০/২
= ১৩৫ টি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

সমাধান:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে।
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। 
অতএব ট্রাপিজিয়াম, সামন্তরিক নয়।

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। 
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়। 
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে। 

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 12°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 12°) = 1/2
⇒ sin(θ + 12°) = sin30°
⇒ θ + 12° = 30°
⇒ θ = 30° - 12°
∴θ = 18°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৫০°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৫০°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৫০° = ৩০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০°
= ১২ টি