Math Master

প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?

সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)! 
= (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!/(n - 2)! [কারণ (n + 1)! = (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!]
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n + 1) × (n - 1)
= n × (n² - 1)
= n³ - n

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

 সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹¹C₅
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'P'?

 সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'P' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - M, I, I, I, I, S, S, S, S, P।

এখানে I চারটি, S চারটি, M একটি, P একটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 10!/(4! × 4! × 1! × 1!)
= 10!/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/24
= 151200/24
= 6300

∴ 'P' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 6300

প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে, 12 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹²C₃
= 12!/{3! × (12 - 3)!}
= 12!/(3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 × 9!)/(3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
= (12 × 11 × 10)/6
= 1320/6
= 220

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে মোট 220 টি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: "ORANGE" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 6টি।
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (O, A, E) 3টি।
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (R, N, G) 3টি।

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

অতএব, ORANGE শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₆ হয়, তাহলে ⁿC₃ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।
এখানে,
ⁿC₈ = ⁿC₆
⇒ 8 + 6 = n
⇒ n = 14।

∴ ⁿC₃ = ¹⁴C₃
= 14!/{3! × (14 - 3)!}
= 14!/(3! × 11!)
= (14 × 13 × 12 × 11!)/(3 × 2 × 1 × 11!)
= (14 × 13 × 12)/6
= 2184/6
= 364

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 78টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি, টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 78
⇒ n(n - 1)(n - 2)!/{2!(n - 2)!} = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78
⇒ n(n - 1) = 78 × 2
⇒ n(n - 1) = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n + 12)(n - 13) = 0

হয় n + 12 = 0 অথবা n - 13 = 0
⇒ n = - 12 অথবা n = 13

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 12 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 13

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 13টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
6 জন পুরুষ থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁶C₂
= 6!/(2! × 4!)
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

4 জন মহিলা থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁴C₂
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 15 × 6 = 90

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2
এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6! / 2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / 2
= 720 / 2
= 360

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা = 6টি
এদের থেকে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করতে হবে (প্রতিটি অঙ্ক একবারই ব্যবহার করা যাবে)
∴ মোট সংখ্যা = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

অতএব, মোট 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360টি।

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জনকে বসানোর উপায় = (9 - 1)! = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

প্রশ্ন: যদি ⁶P_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁶P_r = 120
⇒ 6!/(6 - r)! = 120
⇒ 720/(6 - r)! = 120
⇒ (6 - r)! = 720/120
⇒ (6 - r)! = 6
⇒ (6 - r)! = 3!
⇒ 6 - r = 3
⇒ r = 6 - 3
∴ r = 3

প্রশ্ন: “PUZZLES” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা “SUCCESS” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
SUCCESS শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ
S = 3টি, C = 2টি, U = 1টি, E = 1টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(3! × 2!)
= 5040/(6 × 2)
= 5040/12
= 420

PUZZLES শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ
Z = 2টি, বাকি সব একবার করে

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 5040/2
= 2520

∴ অনুপাত = 2520/420 = 6

অতএব, “PUZZLES” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা “SUCCESS” শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 6 গুণ।

প্রশ্ন: COMMON শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন M গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
COMMON শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।
এখানে O দুইবার এবং M দুইবার এসেছে।
∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720/4
= 180

এখন,
দুটি M একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
MM, C, O, O, N (মোট ৫টি একক, যেখানে O দুইবার আছে)।
∴ বিন্যাস = 5!/2!
= 120/2
= 60

∴ M একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

প্রশ্ন: 25 জন সদস্যের একটি ক্লাব থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সহ-সভাপতি কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

 সমাধান:
প্রথমে 25 জন সদস্য থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায় = ²⁵C₁
= 25

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে 24 জন।
∴ 24 জন থেকে 1 জন সহ-সভাপতি নির্বাচন করা যায় = ²⁴C₁
= 24

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 25 × 24 = 600

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থী 5টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।
∴ মোট ফেল করার উপায়,
= ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

প্রশ্ন: 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁵C₃
= 5!/(3! × 2!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ³C₂
= 3!/(2! × 1!)
= 3

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 10 × 3 = 30

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 30 × 120
= 3600

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে 5টি করে মোট 10টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট 6টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ 4টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট 6টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে 4টির বেশি নেওয়া যাবে না।
সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-
1) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
2) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
3) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(1) ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50
(2) ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100
(3) ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50

∴ মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

প্রশ্ন: EDUCATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
EDUCATION শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে।
স্বরবর্ণ: E, U, A, I, O মোট 5টি এবং সব ভিন্ন।

যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (D, C, T, N) সাজানো যাবে।
ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।

∴ সাজানোর সংখ্যা = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ARRANGE' শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 টি এবং R = 2 টি।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 2)
= 5040 / 4
= 1260