১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

a^x√x = (a^√x)^x
বা, a^x√x = a^x√x
বা, x^√x = x√x
বা, x^√x = x^3/2
বা, √x = 3/2
∴ x = 9/4

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = (3³)^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = 3^{9x + 18}
বা, 2x - 3 = 9x + 18
বা, 7x = -21
∴ x = -3

³√{³√(a^-27)}
= ³√{(a^-27)^1/3}
= ³√(a^-9)
= (a^-9)^1/3
= a^-3
= 1/a³

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ)
= {7ⁿ.7² + (5 × 7) × 7^{n - 1}}/(6 × 7ⁿ)
= (49 × 7ⁿ + 5 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= (54 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= 9

(625)^1/2 - (4096)^1/3
= (25²)^1/2 - (16³)^1/3
= 25 - 16
= 9
এখন, (625)^1/2 - (4096)^1/3 = 3a
বা, 9 = 3a
∴ a = 3

0.3x = √0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 90x² = 9 [1000 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 9/90 = 1/10
বা, x = 1/√10
∴ 1/x = √10

5ⁿ/aⁿ
= 5⁰/a⁰
= 1/1
= 1

বা, 15/(3^-1) = 9^{n - 1} × 5^{n - 1}
বা, (3 × 5)/(3^-1) = (9 × 5)^{n - 1}
বা 3^{1 + 1} × 5 = (45)^{n - 1}
বা, 3² × 5 = (45)^{n - 1}
বা, (45)^{n - 1} = 45 = (45)¹
বা, n - 1 = 1
∴ n = 2

log_√749 + log₃27
= log_(√7)(√7)⁴ + log₃3³
= 4log_√7√7 + 3log₃3
= 4 + 3 [যেহেতু log_a^a = 1]
= 7

log₃√15 + log₃√(3/5)
= log₃√(3 × 5) + log_3⁽√3/√5)
= log₃√3 + log₃√5 + log₃√3 - log₃√5
= 2 log ₃√3
= 2 log ₃3^1/2
= 2 × 1/2 log₃3
= 1 × 1
= 1

log_৩৭২৯
= log_৩৩^৬
= ৬log_৩৩
= ৬ × ১
= ৬

log_x4 = 2
বা, x² = 4
∴ x = 2
∴ log₅(x - 1)
= log₅(2 - 1)
= log₅1
= log₅5⁰
= 0 log₅5
= 0.1
= 0

log₁₆2
= log₁₆(16)^1/4
= 1/4log₁₆16
= (1/4).1
= 1/4

log₃√x = -1 
বা, √x = 3^-1
বা, √x = 1/3
∴ x = 1/9

১ম পদ (a) = 11,
সাধারণ অন্তর (d) = 14 - 11 = 3
মনে করি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 302 = 11 + (n - 1)3
বা, (n - 1)3 = 291
বা, n - 1 = 97
∴ n = 98

এখানে,
১ম পদ = 3,
সাধারণ অন্তর = 5 - 3 = 2
শেষ পদ = 383 
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর)} + 1
= {(383 - 3)/2} + 1
= (380/2) + 1
= 190 + 1
= 191

১ম পদ (a) = ৪,
সাধারণ অন্তর (d) = ৭ - ৪ = ৩
পদসংখ্যা (n) = ২৮
∴ ২৮-তম পদ = a + (২৮ - ১)d
= ৪ + ২৭ × ৩
= ৮৫

এখানে।
d = 8, প্রথম পদ a হলে,
7-তম পদ = a + (7 - 1)d = 53
বা, a + 6.8 = 53
বা, a = 53 - 48 = 5
∴ 16-তম পদ = a + (16 - 1)8
= 5 + 15 × 8
= 125

এখানে,
a = 19, d = 24-19 = 5
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(144 - 19)/5} + 1
= 26
∴ সমষ্টি = n/2 × (144 + 19)
= 26/2 × 163
= 13 × 163
= 2119

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
পদসংখ্যা (n) = ২০
∴ সমষ্টি (s) = (২০/২){২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × (১০ + ৭৬)
= ৮৬০

১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে,
৫ম পদ = a + ৪d = ২৮ … (১)

∴ ১ম ৫টি পদের সমষ্টি = (৫/২){২a + (৫ - ১)d}
বা, (৫/২){২a+৪d} = ১০০
বা, ৫{a + (a + ৪d)} = ২০০
বা, a + ২৮ = ৪০
∴ a = ১২
(১) নং থেকে পাই,
a + ৪d = ২৮
বা, ১২ + ৪d = ২৮
বা, ৪d = ১৬
∴ d = ৪

1³ + 2³ + 3³ + .... + n³
= {n(n + 1)/2}²
= {n²(n+1)²}/4

১ম পদ (a) = ১২৮,
সাধারণ অনুপাত (r) = ৬৪/১২৮ = ১/২
∴ নবম পদ = a.r^{n - 1}
= ১২৮ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১২৮ × (১/২)^৮
= ১২৮/২৫৬
= ১/২

১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত (r) = 8/4 = 2
ধরি, n-তম পদ = 1024
বা, a.r^{n - 1} = 1024
বা, 4.2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2².2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2^{n + 1} = 2¹⁰
বা, n + 1 = 10
∴ n = 9

a = 4,
r = 8/4 = 2
∴ সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 4(2ⁿ - 1)
∴ 4(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

a = 2, r = 1/2, n = 8
∴ সমষ্টি = a.{(1 - r⁸)/(1 - r)
= 2.{(1 - (1/2)⁸}/(1 - 1/2)
= 2.{1 - (1/256)}/(1/2)
= 2 × 2 × (255/256)
= 255/64

১ম পদ, a = 5,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৪র্থ পদ = ar^4-1 = 135
বা, 5r³ = 135
বা, r³ = 27 = 3³
∴ r = 3
∴ a = ২য় পদ
= ar
= 5.3
= 15

যেহেতু ধারাটির জোড় সংখ্যা পদ সংবলিত এবং পদগুলোর অর্ধেক ধনাত্মক এবং অর্ধেক ঋণাত্মক
∴ যোগফল = 0.

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১