প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: যদি 2^{x + 1} = 32 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{x + 1} = 32
⇒ 2^{x + 1} = 2⁵
⇒ x + 1 = 5
⇒ x = 5 - 1
∴ x = 4

প্রশ্ন: 12 + 9 + 6 + ... ধারাটির 30 তম পদটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা, কারণ প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের থেকে 3 করে কমছে।
প্রথম পদ, a = 12,
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 12 = - 3

n তম পদের সূত্র, a_n = a + (n - 1) d

এখন 30 তম পদের জন্য, a₃₀ = 12 + (30 - 1)(- 3)
= 12 + 29(- 3)
= 12 - 87
= - 75

∴ 30 তম পদটি - 75

প্রশ্ন: log₁₀​(0.001) এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
log₁₀​(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 × 1  ; [log₁₀10 = 1]

∴ log₁₀​(0.001) এর মান - 3

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি S_n = (n/2)(4n + 2) হলে, প্রথম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,  
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]

এখন, 
n = 1 স্থাপন করলে, প্রথম পদ a হবে,
S₁ = a
= (1/2)(4 × 1 + 2)
= (1/2)(6)
= 3

∴ প্রথম পদ = 3

প্রশ্ন: গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং চতুর্থ পদ 40 হয়, তবে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অনুপাত, r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}

চতুর্থ পদ a₄ = 40 এর মান বসিয়ে পাই, 
a₄ = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = 5 × r³
⇒ r³ = 40/5
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো = 2

প্রশ্ন: log₂​(8√2​) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
 log_2​(8√2​)
= log₂ (2³ × 2^1/2)
= log₂ (2^{3 + 1/2})
= log₂ (2^{(6 + 1)/2})
= log₂ 2^7/2
= 7/2
= 3.5

∴ log_⁡2(8√2) = 3.5

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?  

সমাধান:
n তম পদ, a_n​ = 101,
প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 101 = 11 + (n - 1) × 5 [মান বসিয়ে]
⇒ 101 - 11 = (n - 1) × 5
⇒ 90 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 90/5
⇒ n - 1 = 18
⇒ n = 18 + 1
∴ n = 19

∴ 19 তম পদটি 101 হবে।

প্রশ্ন: যদি log⁡(2x) = log⁡10 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
log⁡(2x) = log⁡10
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2 
⇒ x = 5

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ....... এই ধারার প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 3
এবং পদ সংখ্যা n = 7

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n টি পদের সমষ্টি, 
Sn = a × [(rⁿ - 1)/(r - 1)]
S₇ = 4 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= 4 × [(3⁷ - 1)/2]
= 4 × [(2187 - 1)/2]
= 4 × [2186/2]
= 4 × 1093
= 4372

∴ 7 টি পদের যোগফল 4372

প্রশ্ন: যদি 4^x = 8^{x - 1}, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4^x = 8^{x - 1}
⇒ (2²)^x = (2³)^{x - 1} 
⇒ 2^2x = 2^{3(x - 1)}
⇒ 2x = 3x - 3
⇒ - x = - 3
∴ x = 3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3। 10টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n টি পদের যোগফল,
S₁₀= (10/2) [2 × 5 + (10 - 1) × 3]
= 5 [10 + 9 × 3]
= 5 [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

∴ 10টি পদের যোগফল 185

প্রশ্ন: যদি log⁡₂(x) + log⁡₂(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?  

সমাধান:
log⁡₂x + log⁡₂(x - 2) = 3
⇒ log⁡₂[x × (x - 2)] = 3 (লগের যোগের নিয়ম)
⇒ x(x - 2) = 2³
⇒ x(x - 2) = 8
⇒ x² - 2x = 8
⇒ x² - 2x - 8 = 0
⇒ x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0
⇒ x = 4 বা x = - 2

লগারিদমের জন্য x > 0, তাই x = - 2 বাতিল।
∴ x = 4

প্রশ্ন: 25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 25,
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 25 = - 5 

সমান্তর ধারার n তম পদ, 
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = 25 + (n - 1)(- 5) [a_n​ = 0]
⇒ 0 = 25 - 5(n - 1)
⇒ 5(n - 1) = 25 
⇒ 5n - 5 = 25
⇒ 5n = 30
⇒ n = 30/5
n = 6

∴ শূন্য হবে 6 তম পদে।

প্রশ্ন: 3^x​/9 = 27 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^x​/9 = 27
⇒ 3^x/3² = 3³
⇒ 3^{x - 2} = 3³
⇒ x - 2 = 3
⇒ x = 3 + 2
∴ x = 5

প্রশ্ন: log₄​(64) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₄​(64)
= log₄4³
= 3 log₄4
= 3 ; [log₄4 = 1]

প্রশ্ন: (20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (20 × 1) + 1
= 1 + 20 + 1
= 22

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অনুপাত 2। অষ্টম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = 2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
অষ্টম পদ a₈ = 3 × 2^{8 - 1}
= 3 × 2⁷
​= 3 × 128
= 384

∴ অষ্টম পদ 384

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 10 এবং প্রথম 4টি পদের যোগ 850। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n​ = a[rⁿ - 1/ r - 1]
প্রথম পদ, a = 10,
পদসংখ্যা, n = 4, 
4টি পদের যোগফল, S₄ ​= 850, 

প্রশ্নমতে,
⇒ 850 = 10[r⁴ - 1/r - 1]
⇒ 85 = [r⁴ - 1/r - 1]  
⇒ 85 = [(r - 1)(r³ + r² + r + 1)/(r - 1)]
⇒ 85 = r³ + r² + r + 1
⇒ 84 = r³ + r² + r ..... (1)

(1) নং সমীকরণে r = 4 বসালে, সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। 
⇒ 4³ + 4² + 4  
= 64 + 16 + 4 
= 84

সুতরাং r = 4 

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, 
log⁡_a(MN) = log⁡_aM + log_⁡aN
log_⁡a(b^x) = xlog_⁡ab

এখন,
log_⁡a(b²c) = log_⁡a(b²) + log_⁡a(c)
= 2log_a​(b) + log⁡_a(c)
= 2 × 2 + 3 [মান বসিয়ে]
= 4 + 3
= 7

∴ log⁡_a(b²c) এর মান = 7

প্রশ্ন: 81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 81
সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3​ 

আমরা জানি, 
গুনোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
⇒ a₇ =  a × r^{7 - 1}
⇒ a₇ = 81 × (1/3)⁶
⇒ a₇ = 81 × (1/729)
⇒ a₇ = 81/729
∴ a₇ = 1/9

∴ সপ্তম পদ = 1/9

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280

প্রশ্ন: 7^{x - 2} = 49 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
7^{x - 2} = 49
⇒ 7^{x - 2} = 7²
⇒ x - 2 = 2
⇒ x = 2 + 2
⇒ x = 4

প্রশ্ন: log₃(27) + log₃(1/9) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
log₃(27) + log₃(1/9)
= log₃(3³) + log₃(3^{- 2})
= 3 × log₃3 + (- 2) × log₃3   [∵ log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 3 × 1 + (- 2) × 1   [∵ log_aa = 1]
= 3 - 2
= 1

প্রশ্ন: যদি x^2/3 - 1 = 15 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^2/3 - 1 = 15
⇒ x^2/3 = 16
⇒ x = 16^3/2 [উভয় পাশে 3/2 ঘাত নিয়ে, কারণ (x^2/3)^3/2 = x ]
⇒ x = (√16​)³ 
⇒ x = (4)³
⇒ x = 64

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 22 এবং পনেরো তম পদ 52। প্রথম পদ কত? 

সমাধান: 
সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

a₅ = 22 থেকে:
a₁ + 4d = 22........(i)

a₁₅​ থেকে:
a₁ + 14d = 52......(ii)

(ii) থেকে (i) বাদ দিয়ে: 
(a₁ + 14d) - (a₁ + 4d) = 52 - 22
⇒ 10d = 30
⇒ d = 3 

(i) এ d = 3 স্থাপন করে:
a₁ + 4 × 3 = 22
a₁ + 12 = 22 
⇒ a₁ = 10

প্রশ্ন: যদি 5^2x = 125 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
5^2x = 125
⇒ 5^2x = 5³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 6 এবং পঞ্চম পদ 162। চতুর্থ পদটি কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}

a_2​ = 6 থেকে:
⇒ a₁ × r = 6......(i)

a₅​ = 162 থেকে:
⇒ a₁ × r⁴ = 162......(ii)

(ii) / (i) করলে:
⇒ (a₁​r⁴)​/a₁r = 162/6
⇒ r³ = 27
⇒ r = ³√27
⇒ r = 3

(i) এ r = 3 স্থাপন করে পাই:
⇒ a₁ × 3 = 6  
⇒ a₁ = 2

তাহলে,
a₄ = a₁ × r³
= 2 × 3³
= 2 × 27
= 54

প্রশ্ন: log_4​16 - log_4​2 এর মান কত?

সমাধান: 
বেস চেঞ্জ ফর্মুলার সাহায্যে, 
log₄16
= log16/log4
= log 2⁴/log2²
= 4log2/2log2
= 4/2
= 2 

আবার, 
log₄2
= log2/log4
= log2/log2²
= log2/2log2
= 1/2

তাহলে, 
log₄16 - log₄2 = 2 - (1/2)
= (4 - 1)/2
= 3/2

প্রশ্ন:  2 + 5 + 8 + 11 + ...…ধারাটির 11 তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a₁ = 2 
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

১১ম পদ a₁₁:
a₁₁​ = 2 + (11 - 1)3
= 2 + 10 × 3
= 2 + 30
= 32

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24…... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}
প্রথম পদ a₁ = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

৭ম পদ a_7​:
a₇ = 3 × 2^7-1
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

∴ সপ্তম পদ = 192

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 3 হয়, তবে b এর মান কত?  

সমাধান:
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার:
log_⁡ab = 3  
⇒ a³ = b

∴ b = a³

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ,  a₁ = 1,
শেষ পদ, a_n = 100,  
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

সমান্তর ধারার এর সাধারণ সূত্র:
S_n = (n/2) × (a₁ + a_n)

প্রথমে পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে: 
a_n = a₁ + (n - 1)d
⇒ 100 = 1 + (n - 1)⋅3
⇒ 100 - 1 = (n - 1)⋅3 
 ⇒ 99 = 3(n - 1)  
⇒ n - 1 = 33  
⇒ n = 34 
 
S₃₄​ = (34/2) × ​(1 + 100)
= 17 × 101
= 1717

প্রশ্ন: যদি 10^2x = 1000 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
10^2x = 1000
⇒ 10^2x = 10³
⇒ 2x = 3 
 ⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

nসংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
= 2{1 - (- 1)²ⁿ⁺⁵}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - (- 1)}/ 2  [যেহেতু 2n + 5 বিজোড় সংখ্যা, তাই (- 1)^{2n + 5} = - 1] 
= 2(1 + 1)/2 
= 2 × 2/2
= 4/2
= 2 

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1 = 1/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.01/0.1 = 1/10

গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/10)/{1 - (1/10)}
= (1/10)/{(10 - 1)/10}
= (1/10)/(9/10)
= (1/10) × (10/9)
= 1/9