নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: (16^2/3)^3/4 = কত?

সমাধান: 
(16^2/3)^3/4
= (16)^1/2
= (4²)^1/2
= 4

প্রশ্ন: 2 - 5 - 12 - 19 - .......... ধারাটির 11 তম পদ কোনটি? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 এবং সাধারণ অন্তর, d = - 5 - 2 = - 7

ধারাটির 11 তম পদ
= a + (11 - 1)d
= 2 + 10(- 7)
= 2 - 70
= - 68

প্রশ্ন: r এর কোন মানের জন্য a + ar + ar² + ... অসীম গুণােত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

সমাধান:
|r| < 1 অর্থাৎ, -1 < r < 1 হলে, a + ar + ar² + ar³... অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a / (1-r).
r এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না।

প্রশ্ন:  

সমাধান: 
³√a = √5
⇒ (a)^1/3 = (5)^1/2
⇒ a = {(5)^1/2}³ 
⇒ a = 5^3/2
⇒ a = 5.5^1/2
⇒ a = 5√5

প্রশ্ন: যদি log_x400 = 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x400 = 4
⇒ x⁴ = 400
⇒ x⁴ = (2√5)⁴
∴ x = 2√5

প্রশ্ন: 4 + 7 + 10 + 13 + ........... ধারাটির কততম পদের মান 298 হবে?

সমাধান: 
4 + 7 + 10 + 13 +........ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3

মনে করি,
n তম পদ= 298
আমরা জানি,
n তম পদ= a+(n - 1)d

প্রশ্নমতে, 
a+(n-1)d = 301
বা, 4 + (n - 1)3 = 298
বা, (n - 1)3 = 298 - 4
বা, n - 1 = 294/3
বা, n = 98 + 1 = 99 

প্রশ্ন: (1/√7) - 1 + √7 - ........... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
এখানে,
(- 1)/(1/√7) = - √7
√7/(- 1) = - √7

∴  সাধারণ অনুপাত - √7

প্রশ্ন: x² = (x^ab . x^ab)^c হলে abc এর মান কত? 

সমাধান: 
x² = (x^ab . x^ab)^c
⇒ x² = (x^2ab)^c
⇒ x² = x^2abc
∴ 2 = 2abc
∴ abc = 1

প্রশ্ন: 2√2 এর 2 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান: 
log₂2√2
= log₂2.2^1/2
= log₂2^3/2
= 3/2 log₂2
= 3/2 

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার x তম পদ y এবং y তম পদ x হলে, ধারাটির (x + y) তম পদ কত?

সমাধান: 
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0

প্রশ্ন: (1/12) + (1/24) + (1/48) + (1/96) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6

প্রশ্ন: (3^{- 1} ÷ 9^{- 1})^{- 1} এর মান কত?

সমাধান: 
(3^{- 1} ÷ 9^{- 1})^{- 1}
= {(1/3) ÷ (1/9)}^{- 1}
= {(1/3) × 9}^{- 1}
= (3)^{- 1}
= 1/3

প্রশ্ন: log21 এর মান নিচের কোনটির সমান?

সমাধান:
log21
= log(7 × 3)
= log7 + log3

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + .......... ধারাটির n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = n - 1
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2){2.a + (n - 1)d}

∴ ধারার n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(n - 1)/2}{2 × 1 + (n - 1 -1)2}
= {(n - 1)/2}{2 + 2n - 4}
= {(n - 1)/2}{2n - 2}
= {(n - 1)/2} × 2(n - 1)
= (n - 1) × (n - 1)
= (n - 1)²

প্রশ্ন: 1/√2, - 1, √2 ........... ধারাটির পরবর্তী পদ কত?

সমাধান: 
এখানে,
(- 1)/(1/√2) = - √2
√2/(- 1) = - √2 

সুতরাং ধারাটি গুণোত্তর ধারার মত,
পরের পদ অর্থাৎ ৪র্থ পদ হবে,
(1/√2)(- √2)^{4 - 1}
= (1/√2) (- √2)³
= - 2

প্রশ্ন: 7^{- x} = 1/2401 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
7^{- x} = 1/2401
⇒ 7^-x = 1/7⁴
⇒ 7^{- x} = 7^{- 4}
∴ - x = - 4
∴ x = 4 

প্রশ্ন: log_am × log_xa × log_yx = 1 হলে, y = কত?

সমাধান: 
log_am × log_xa × log_yx = 1
⇒ log_am × log_xa = 1/log_yx
⇒ (log_xm × log_ax) . log_xa = log_xy
⇒ log_xm × (1/log_xa). log_xa = log_xy
⇒ log_xm = log_xy
∴ m = y

প্রশ্ন: 8 + 16 + 24 + ..... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা, n = 10
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ S = (10/2) {2 × 8 + (10 - 1)8} [n = 10 বসিয়ে]
= (10/2) {16+ 72}
= 5 × 88
= 440

∴ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি 440

প্রশ্ন: ⁴√x × x^1/4 এর মান কোনটি?

সমাধান: 
⁴√x × x^1/4
= x^1/4 × x^1/4 
= x^{1/4 + 1/4}
= x^2/4
= x^1/2 
= √x 

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = কত?

সমাধান: 
5log3 - log9
= log3⁵ - log3²
= log(3⁵ ÷ 3²)
= log(3³)
= log27

প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 + ....... - 27 = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 29;
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = - 4;
সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।
ধারাটির n তম পদ = a + ( n - 1 ) d এবং
সমষ্টি = (n/2) {2a + (n - 1) d}

ধরি,
ধারার শেষ পদ n তম পদ,
ধারাটির n তম পদ a + (n - 1) d = - 27
বা, 29 + (n - 1) × (- 4) = - 27
বা, 29 - 4n + 4 = - 27
বা, - 4n + 33 = - 27
বা, - 4n = - 60
∴ n = 15

∴ সমষ্টি = (15/2){2 × 29 + (15 - 1) × (-4)}
= (15/2){2 × 29 + 14 (-4)}
= (15/2)(58 - 56)
= (15/2) × 2
= 15

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 9² = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n+1)(2n+1)}/6

∴ 9টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {9(9 + 1)(2× 9 +1)}/6
= {9 × 10 × 19}/6
= 1710/6
= 285

প্রশ্ন: 25^{x + 2} = 125 হলে x = কত?

সমাধান: 
25^{x + 2} = 125
⇒ (5²)^{x + 2} = 5³ 
⇒ 5^{2x + 4} = 5³
⇒ 2x + 4 = 3
⇒ 2x = - 1 
∴ x = - 1/2 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d 

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

প্রশ্ন: 1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 < 1
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1 - rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1

∴ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি
S₈ = 1{1 - (1/3)⁸} / {(1 - (1/3)}
= {1 - (1/6561) / (2/3)
= (6560/6561) × (3/2)
= 3280/2187

প্রশ্ন: 4^a = 8 হলে, a = কত?

সমাধান: 
4^a = 8
⇒ 2^2a = 2³
∴ 2a = 3
∴ a = 3/2

প্রশ্ন: log (a³/b³) + 3log b = কত?

সমাধান: 
log (a³/b³) + 3log b
= log (a³/b³) + log b³
= log {(a³/b³) × b³)
= log a³
= 3log a

প্রশ্ন: 9 + 7 + 5 + ......... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 119 হলে, n এর মান কত?

সমাধান: 
১ম পদ,a = 9 এবং
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল,
(n/2){2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 119
⇒ (n/2){18 - 2n + 2} = - 1119
⇒ (n/2){20 - 2n} = - 119
⇒ (n/2) × 2(10 - n) = - 119
⇒ n(10 - n) = - 119
⇒ 10n - n² = - 119
⇒ n² - 10n - 119 = 0
⇒ n² - 17n + 7n - 119 = 0
⇒ n(n - 17) + 7(n - 17) = 0
⇒ (n - 17)(n + 7) = 0
∴ n = 17 অথবা n = - 7 [ - 7 গ্রহণযোগ্য নয়] 

প্রশ্ন: 3 + a + b + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 3
দ্বিতীয় পদ = a
তৃতীয় পদ = b
এবং চতুর্থ পদ = 81

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1}
3r³ = 81
বা, r³ = 81/3
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
∴ r = 3


তৃতীয় পদ, b = ar^{3 - 1}
= ar²
= 3 × 3²
= 3 × 9
= 27

প্রশ্ন: a/b = 49  হলে log₇a - log₇b = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a/b = 49 

এখন,
log₇a - log₇b
= log₇(a/b)
= log₇49
= log₇7²
= 2log₇7
= 2 × 1
= 2 

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির ২য় পদ কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1).
∴ ধারার ১ম পদ = 1(1 + 1) = 1 × 2 = 2

ধারার ২য় পদের সমষ্টি 2(2 + 1) = 2 × 3 = 6 

∴ ধারার ২য় পদ = 6 - 2 = 4 

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + ...... গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ কত?

সমাধান:
a = 256
r = 128/ 256
= 1/2
∴ পঞ্চম পদ = ar⁴
= 256 × (1/2)⁴
= 256 × (1/16)
= 256/16
= 16

প্রশ্ন: (16)^3/4 ÷ (16)^1/2 = কত?

সমাধান: 
(16)^3/4 ÷ (16)^1/2
= (16)^{3/4 - 1/2}
= (16)^1/4
= (2⁴)^1/4
= 2 

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 5n + 3 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারার n তম পদ 5n + 3.

∴ ধারার ১ম পদ 5 × 1 + 3 = 5 + 3 = 8 
∴ ধারার ২য় পদ 5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13

∴ সাধারণ অন্তর = 13 - 8 = 5 

প্রশ্ন: 1 + 4 + 16 + ......  ধারাটির কততম পদ 1024?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 16/4 = 4
ধরি,
n-তম পদ = 1024
a.r^{n - 1} = 1024
বা, 1.4^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2^{2n - 2} = 2¹⁰
∴ 2n - 2 = 10
বা, 2n = 12
∴ n = 6 

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি log₁₀7= a হয় তাহলে log₁₀(1/70) = কত?

সমাধান: 
log₁₀(1/70)
= log₁₀1 - log₁₀70
= 0 - log₁₀70
= - log₁₀(7 × 10)
= - log₁₀7 - log₁₀10
= - a - 1
= - (a + 1) 

প্রশ্ন: 5^{3x - 7} = 3^{3x - 7} হলে, x = কত?

সমাধান: 
5^{3x - 7} = 3^{3x - 7}
⇒ 5^{3x - 7} ÷ 3^{3x - 7} = 1
⇒ (5/3)^{3x - 7} = (5/3)⁰
∴ 3x - 7 = 0
⇒ 3x = 7
∴ x = 7/3

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀ [5(5x + 1)] = log₁₀ [10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 3x = 9
∴ x = 3

প্রশ্ন: প্রথম ৩০টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
সুতরাং প্রথম ৩০টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = ৩০(৩০ + ১)/২
= (৩০ × ৩১)/2
= ৯৩০/২
=৪৬৫

প্রশ্ন: 2 + a + b + c + 162 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 2
দ্বিতীয় পদ = a
তৃতীয় পদ = b
চতুর্থ পদ = c
পঞ্চম পদ = 162

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1}
বা, 2r⁴ = 162
বা, r⁴ = 162/2
বা, r⁴ = 81
বা, r⁴ = 3⁴
∴ r = 3

প্রশ্ন: যদি m + n = 2 হয়, তবে (- 1)ⁿ × (- 1)^m × (- 1)² এর মান কত?

সমাধান:
(- 1)ⁿ × (- 1)^m × (- 1)²
= (- 1)ⁿ × (- 1)^m 
= (- 1)^{m + n}
= (- 1)²
= 1

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b) 
∴ a + b = 1