১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: q² + 7q - 120 এর একটি উৎপাদক q - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
q² + 7q - 120
= q² - 8q + 15q - 120
= q(q - 8) + 15(q - 8)
= (q - 8)(q + 15)

প্রশ্ন: 15x²y⁴ কে 4x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
15x²y⁴ × 4x²y³
= (15 × 4) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (15 × 4) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 60x⁴y⁷  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x⁴y⁷ 

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 70 হলে, a² + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (5)² + 2 × 70 
= 25 + 140 
= 165

প্রশ্ন: যদি s এবং t দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে s সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে t সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কী হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি সংখ্যা s, যার 5 গুণ 5s
এবং অপর একটি সংখ্যা t, যার 4 গুণ 4t

∴ নির্ণেয় বিয়োগফল = 5s - 4t 

প্রশ্ন: x³ - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 27
= (x³) - (3³)
= (x - 3)(x² + 3x + 3²)
= (x - 3)(x² + 3x + 9)

প্রশ্ন: (5x - 3y) এর বর্গ হচ্ছে:

সমাধান: 
(5x + 3y) এর বর্গ
= (5x - 3y)²
= (5x)² - 2.5x.3y + (3y)²
= 25x² - 30xy + 9y²  । 

প্রশ্ন: b³ - b এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
b³ - b
= b(b² - 1)
= b(b + 1) (b - 1)

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)² = 3²
⇒ x² - 2.x.(1/x) + (1/x)² = 9
⇒  x² + 1/x² = 11
⇒ (x² + 1/x²)² = (11)²
⇒ (x²)² + 2.x².(1/x²) + (1/x²)² = 121
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 119

প্রশ্ন: q - {q - (q + 1)} = কত?
 
সমাধান:
q - {q - (q + 1)}
= q - {q - q - 1}
= q - { - 1}
= q + 1

প্রশ্ন: (x² - 5x + 6) এবং (x² - 7x + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(x² - 5x + 6)
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(x² - 7x + 12)
= x² - 3x - 4x + 12
= x(x - 3) - 4(x - 3)
= (x - 3)(x - 4)

সাধারণ উৎপাদক = (x - 3)

প্রশ্ন: 2(a² - b²) এবং (a² - 2ab + b²) এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 2(a² - b²)
= 2(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (a - b)(a - b) 

এখানে,
সাংখ্যিক সহগ 2 ও 1 এর গ.সা.গু = 1
এবং সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = (a - b)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1 × (a - b)
= (a - b) 

প্রশ্ন: (x + p)⁶ এর পদ সংখ্যা কয়টি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)ⁿ এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (x + p)⁶ এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি

প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24

প্রশ্ন: মকবুল ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং বুলবুল চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা হলে মকবুলের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করুন?

সমাধান: 
1 টি কলমের দাম = x টাকা
∴ 6 টি কলমের দাম = 6x টাকা

আবার,
1 টি খাতার দাম = y টাকা
∴ 3 টি খাতার দাম = 3y টাকা 

∴ মকবুলের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি = 6x + 3y 

প্রশ্ন: f(x) = x³ + 4x² + x - 6 হলে, নিচের কোনটি f(x) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?

সমাধান:
ধরি,
x = 1

∴ f(1) = 1³ + 4 .1² + 1 - 6 
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 
= 0
∴ (x - 1) হলে f(x) এর একটি উৎপাদক 

f(x) = x³ + 4x² + x - 6
= x³ - x² + 5x² - 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x² + 5x + 6)
= (x - 1)(x² + 2x + 3x + 6)
= (x - 1){x(x + 2) + 3(x + 2)}
= (x - 1)(x + 2)(x + 3)

প্রশ্ন: p + q = 6 এবং p - q = 2 হলে, p² + q² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
p² + q² = (1/2){(p + q)² + (p - q)²}
= (1/2)(6² + 2²)
= (1/2) × 40
= 20

প্রশ্ন: 2a² + 7ab - 15b² রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
2a² + 7ab - 15b²
= 2a² + 10ab - 3ab - 15b²
= 2a(a + 5b) - 3b(a + 5b)
= (a + 5b)(2a - 3b)

প্রশ্ন: x³ - 3x² - 10x এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x⁴ - 27x² + 1
= (x²)² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)