৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (a + b + c)² এর সম্প্রসারণ কী হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

আবার,
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 2x - 15
= x² - 5x + 3x - 15
= x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x + 3)

প্রশ্ন: 2x - 4 ≤ 10  হলে, x এর মান কী?

সমাধান:
2x - 4 ≤ 10
⇒ 2x ≤ 10 + 4
⇒ x ≤ 14/2
∴ x ≤ 7

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 21 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= (10)² - 2 × 21
= 100 - 42
= 58

প্রশ্ন: x³ - 16x =?

সমাধান:
x³ - 16x
= x(x² - 16)
= x(x² - 4²)
= x(x + 4)(x - 4)

প্রশ্ন: যদি - 3 < 2x + 1 < 5 হয়, তাহলে x এর সীমা কোনটি?

সমাধান:
- 3 < 2x + 1 < 5
⇒ - 3 - 1 < 2x < 5 - 1
⇒ - 4 < 2x < 4
∴ - 2 < x < 2

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 3 হয়, তবে x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2. x .(1/x)
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: f(x) = 4x³ - 3x² + 2x - 5 কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
f(x) = 4x³ - 3x² + 2x - 5
∴ f(3) = 4 × 3³ - 3 × 3² + 2 × 3 - 5
= 4 × 27 - 3 × 9 + 6 - 5
= 108 - 27 + 1
= 82

প্রশ্ন: 3x + 2 > 5x - 6 এর সমাধান কী?

সমাধান:
3x + 2 > 5x - 6
⇒ 3x + 2 - 5x + 6 > 0
⇒ - 2x + 8 > 0
⇒ - 2x > - 8
⇒ - x > - 4
∴ x < 4

প্রশ্ন: (x + y)² - (x - y)² =?

সমাধান:
(x + y)² - (x - y)²
= x² + 2xy + y² - (x² - 2xy + y²)
= x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y²
= 4xy

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
x³ - 8
= x³ - 2³
= (x - 2)(x² + 2x + 2²)
= (x - 2)(x² + 2x + 4)

প্রশ্ন: 8 < x < 12 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 12)/2 = 10
এখন,
8 < x < 12
⇒ 8 - 10 < x - 10 < 12 - 10 [উভয়পক্ষ থেকে 10 বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < x - 10 < 2
⇒ |x - 10| < 2

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 10| < 2

প্রশ্ন: যদি x + y = 12, x - y = 8 হয়, তাহলে xy এর মান কত?

সমাধান:
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (12/2)² - (8/2)²
= 6² - 4²
= 36 - 16
= 20

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - 7x + 10 রাশিটির উৎপাদক নয়?

সমাধান:
x² - 7x + 10
= x² - 5x - 2x + 10
= x(x - 5) - 2(x - 5)
= (x - 5)(x - 2)

প্রশ্ন: ∣x - 3∣< 5 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
∣x - 3∣< 5
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ - 2 < x < 8 

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (5² - 9)/2
= (25 - 9)/2
= 16/2
= 8

প্রশ্ন: p² - 37p - 650 এর একটি উৎপাদক p + 13 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
p² - 37p - 650
= p² - 50p + 13p - 650
= p(p - 50) + 13(p - 50)
= (p - 50)(p + 13)

প্রশ্ন: যদি x > 0, y > 0 এবং (1/x) > (y/1) হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > 0, y > 0

এখানে,
(1/x) > (y/1)
⇒ (1/x) > y
⇒ 1 > xy 
∴ xy < 1

প্রশ্ন: x² - √7x + 1 = 0 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √7x
∴ x + 1/x = √7

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√7)³ - 3(√7)
= 7√7 - 3√7
= 4√7

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ a = - 7

প্রশ্ন: 2a + 7 > 11 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 7 > 11
⇒ 2a + 7 - 7 > 11 - 7
⇒ 2a > 4
⇒ 2a/2 > 4/2
⇒ a > 2
∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 2

এবং সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 2}

প্রশ্ন: p + 1/p = 2 হলে p⁵ - 1/p⁵ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + 1/p = 2
⇒ p² + 1 = 2p
⇒ p² - 2p + 1 = 0
⇒ (p - 1)² = 0
⇒ p - 1 = 0
∴ p = 1

∴ p⁵ - 1/p⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1 
= 0

প্রশ্ন: x³ - x + 60 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x³ - x + 60 
f(- 4) = (- 4)³ - (- 4) + 60
f(- 4) = - 64 + 64 = 0

∴ (x + 4) হলো x³ - x + 60 এর একটি উৎপাদক। 

প্রশ্ন: ।x - 8। > 6 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
(x - 8) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
x - 8 > 6
x - 8 + 8 > 6 + 8
x > 14

আবার 
(x - 8) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
- (x - 8) > 6
- x + 8 > 6
- x + 8 - 8 > 6 - 8
- x > - 2
(- x)(- 1) < (- 1)(- 2)
x < 2

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 36a² - ab + 81 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
36a² - ab + 81
= (6a)² - 2.6a.9 + 9² [ ধরি, b = 2 × 6 × 9 = 108]
= (6a - 9)²

∴ b = 108 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।