সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 121 : 169। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 121 : 169

∴ বর্গদুটির বাহুর অনুপাত = √121 : √169
= 11:13

∴  পরিসীমার অনুপাত = 4×11 : 4×13
= 44 : 52
= 11:13 

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 121 : 169 হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত 11:13 হবে।

প্রশ্ন: ১৩, ৩৯ ও ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ১৩ × ৪র্থ সংখ্যা = ৩৯ × ৮
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (৩৯ × ৮)/১৩
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ২৪

∴ ১৩,৩৯ ও ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যা হবে ২৪।

প্রশ্ন: একজন লোক মাসে ২০০০০ টাকা আয় করেন এবং ১৯৮০০ টাকা ব্যয় করেন। তাঁর সঞ্চয়ের সঙ্গে আয়ের অনুপাত হবে-

সমাধান:
একজন লোক মাসে ২০০০০ টাকা আয় করেন
১৯৮০০ টাকা ব্যয় করেন
সঞ্চয় করেন = ২০০০০ - ১৯৮০০ টাকা
= ২০০ টাকা

∴  তাঁর সঞ্চয়ের সঙ্গে আয়ের অনুপাত = ২০০ : ২০০০০
= ১ : ১০০

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪৫ ও ২০ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

সমাধান:
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। 
রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)২ = ৪৫ × ২০
বা, (মধ্য রাশি)২ = ৯০০
বা, মধ্য রাশি = √৯০০
∴ মধ্য রাশি = ৩০

প্রশ্ন: ৩৬০ টাকা তিন ভাইয়ের মধ্যে ১/৮ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে ভাগ করে দিলে, প্রথম ভাই কত টাকা পাবে? 

সমাধান:
১/৮ : ১/৩ : ১/৬
= (১/৮) × ২৪  :  (১/৩) × ২৪  :  (১/৬) × ২৪                         [৮, ৩, ৬ এর ল.সা.গু = ২৪]
=  ৩ : ৮ : ৪

∴ প্রথম ভাই কমলা পাবে = ৩৬০ এর (৩/১৫) টি
=৭২ টি

প্রশ্ন: শতকরা ৬ টাকা হার সুদে কত বছরে ৫০০ টাকা সুদে-মূলে ৮০০ টাকা হয়?

সমাধান:
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদ, I = ৮০০ - ৫০০ = ৩০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
বা, n = (৩০০ × ১০০)/(৫০০ × ৬)
∴ n = ১০ বছর

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ৪ বছরে আসল, সুদ - আসলের ৪/৫ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সুদাসল ৫ টাকা, আসল ৪ টাকা
∴ সুদ = (৫ - ৪) টাকা = ১ টাকা

৪ টাকায় ৪ বছরের সুদ ১ টাকা
১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ = (১ × ১০০)/(৪ × ৪) 
= ৬.২৫ টাকা

∴ সুদের হার ৬.২৫%

প্রশ্ন:  ৮% মুনাফায় ৫০০০ টাকা এবং ১২% মুনাফায় ৭০০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হার মুনাফা পাওয়া যাবে?

সমাধান :
৮% হারে ৫০০০ টাকার মুনাফা (৫০০০ × ৮)/১০০ = ৪০০ টাকা
১২% হারে ৭০০০ টাকার মুনাফা (৭০০০ × ১২)/১০০ = ৮৪০ টাকা
মোট মুনাফা = ৪০০+৮৪০ = ১২৪০ টাকা

∴ মোট মূলধনের উপর শতকরা গড় মুনাফা=  (১২৪০ × ১০০) ∕ (৫০০০ + ৭০০০)
= ১২৪০০০/১২০০০ %
= ১০.৩৩%

প্রশ্ন: ১২৫০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ এবং ১৫০০ টাকার ৬ বছরের সরল সুদ একত্রে ১৪০০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
১২৫০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ১২৫০×৪ বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
আবার ১৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ = ১৫০০×৬ বা ৯০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ মোট আসল = (৫০০০ + ৯০০০) টাকা
= ১৪০০০ টাকা।;

১৪০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৪০০ টাকা
 ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৪০০×১০০)/১৪০০০ টাকা

∴ শতকরা সুদের হার= ১০%

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে সুদে আসলে ৭৩৫ টাকা এবং ১২ বছরে সুদে আসলে ৭৮৪ টাকা হলে আসল কত?

সমাধান:
১২ বছরের সুদ + আসল = ৭৮৪ টাকা
৫ বছরে সুদ + আসল = ৭৩৫ টাকা

৭ বছরের সুদ = ৭৮৪-৭৩৫ টাকা
= ৪৯ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৪৯/৭ টাকা
= ৭ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৭ × ৫) টাকা
= ৩৫ টাকা

∴ আসল, P = ৭৩৫ - ৩৫ = ৭০০ টাকা

প্রশ্ন:  একটি দুর্গে ৫৫ দিনের জন্য ১২০০ সৈন্যের খাবার রয়েছে। ১০ দিন পর,২০০ সৈন্য দুর্গ ছেড়ে যায়। অবশিষ্ট খাবার কত দিন চলবে? 

সমাধান:
১০ দিন পর সৈন্য আছে= (১২০০ - ২০০) জন
= ১০০০ জন 

দিন বাকি = ৫৫-১০ দিন
= ৪৫ দিন

১২০০ জন সৈন্যের খাবার আছে ৪৫ দিনের 
১  জন সৈন্যের খাবার আছে   ৪৫ ×১২০০ দিনের 
১০০০ জন সৈন্যের খাবার আছে (৪৫ ×১২০০)/১০০০ দিনের 
=৫৪ দিনের

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ১০০০ টাকার মুনাফা ২০০ টাকা হবে? 

সমাধান:
এখানে,
মুনাফার r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময় n = ? 
আসল P  = ১০০০ টাকা 
মুনাফা I = ২০০ টাকা 

আমরা জানি,
I  =Pnr 
n = I/Pr
= ২০০/(১০০০ × ১/২০)
= ২০০/৫০
= ৪ বছর

প্রশ্ন: দৈনিক ৬ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৮ জন ব্যক্তি একটি কাজ করে ১৫ দিনে। দৈনিক ৫ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৯ জন ব্যক্তি কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
দৈনিক ৬ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৮ জন ব্যক্তি একটি কাজ করতে পারে ১৫ দিনে
দৈনিক ১ ঘন্টা পরিশ্রম করে ১ জন ব্যক্তি কাজটি ১৫ × ৮ ×৬ দিনে
∴ দৈনিক ৫ ঘণ্টা পরিশ্রম ৯ জন ব্যক্তি কাজটি করতে পারে = (১৫ × ৮ ×৬)/(৫ × ৯) দিনে
= ১৬ দিনে

প্রশ্ন: ২৫% সরল মুনাফায় কোন আসল কত বছরে মুনাফা আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সময়, n বছর
আসল, P টাকা 
∴ মুনাফা, I = ৩P - P টাকা 
= ২P টাকা 
হার, r = ২৫/১০০ = ১/৪  

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr
⇒ n = I/(Pr)
= ২P/(Pr)
= ২/(১/৪)
= ২ × ৪
= ৮ 

∴ ৮ বছরে।

প্রশ্ন: ৬ জন স্ত্রীলোক অথবা ৮ জন বালক একটি কাজ ৫০ দিনে শেষ করতে পারে ৭ জন স্ত্রীলোক ও ২৪ জন বালক ঐ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
৮ জন বালক = ৬ জন স্ত্রীলোক

২৪ জন বালক = (৬ × ২৪)/৮ = ১৮ জন জন স্ত্রীলোক
∴ ৭ জন স্ত্রীলোক ও ২৪ জন বালক = ৭ + ১৮ জন স্ত্রীলোক
= ২৫ জন স্ত্রীলোক

৬ জন স্ত্রীলোক কাজ করে = ৫০ দিনে
১ জন স্ত্রীলোক কাজ করে = (৫০ × ৬) দিনে
২৫ জন স্ত্রীলোক কাজ করে =(৫০ × ৬)/২৫ দিনে
= ১২ দিনে 

প্রশ্ন: এক ব্যাক্তি তার মোট সম্পদের ২৮% তার ছেলেকে, ৩২% তার মেয়েকে এবং অবশিষ্ট সম্পদের ৯০% তার স্ত্রীকে দিলেন। পুত্র, কন্যা ও স্ত্রীর মাঝে তিনি কি অনুপাতে তার সম্পদ ভাগ করে দিয়েছেন?  

সমাধান: 
পুত্র ও কন্যাকে দেয়ার পর অবশিষ্ট থাকে = (১০০-২৮-৩২)%
= ৪০%

অবশিষ্ট সেই ৪০% সম্পদের ৯০% = মোট সম্পদের (৪০ × ৯০%)%
= (৪০× ৯০/১০০ )%
= ৩৬%

পুত্র, কন্যা ও স্ত্রীর সম্পদের অনুপাত = ২৮ : ৩২ : ৩৬
= ৭ :৮ : ৯

প্রশ্ন: একটি রশিকে ২ : ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করা হলো । সবচেয়ে ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে, রশিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
একটি রশিকে ২: ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করা হলো
তাহলে টুকরোগুলির দৈর্ঘ্য ২ক, ৩ক, ৫ক

সবচেয়ে ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য  = ২ক

∴ ২ক = ৪
⇒ ক = ২

তাহলে টুকরোগুলির দৈর্ঘ্য ৪, ৬, ১০ মিটার
রশিটির দৈর্ঘ্য = ১০ + ৪ + ৬ মিটার = ২০ মিটার

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ২ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ =?

সমাধান:
ক : খ = ৪ : ৭
= (২ × ৫) : (৭ × ৫)
= ১০ : ৩৫

খ : গ = ৫ : ৭
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭)
= ৩৫ : ৪৯

∴ ক : খ : গ = ১০ : ৩৫ : ৪৯

প্রশ্ন: ৮১ লিটার মিশ্রনে দুধ ও পানি ৭ : ২ অনুপাতে মিশ্রিত আছে। কি পরিমাণ দুধ যোগ করলে মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত ৮ : ২ হবে?

সমাধান : 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৯
∴ দুধ = (৮১ × ৭)/৯ = ৬৩ লিটার এবং
পানি = (৮১ × ২)/৯ = ১৮

মনে করি, 
ক লিটার দুধ যোগ করতে হবে

প্রশ্নমতে,
 ৬৩ + ক : ১৮= ৮ : ২
বা, ৬৩ + ক/১৮ = ৮/২
বা, ৬৩ + ক/৯ = ৮
বা, ৬৩ + ক = ৭২

∴ ক = ৭২-৬৩ লিটার

= ৯ লিটার

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩ : ১। ১২ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৯ : ১ ছিল। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বয়স ৩ক বছর
পুত্রের বয়স  ক বছর

শর্তমতে,
৩ক - ১২ : ক - ১২ = ৯ : ১
বা, ৩ক - ১২/ক - ১২ = ৯ /১
বা, ৩ক - ১২ = ৯(ক - ১২)
বা, ৩ক - ১২ = ৯ক - ১০৮
বা, ৬ক = ১০৮-১২
বা, ৬ক = ৯৬
বা, ক = ১৬

∴ পিতার বয়স ৩ × ১৬ বছর = ৪৮ বছর
∴ পুত্রের বয়স = ১৬ বছর

১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৪৮+১০ : ১৬+১০
= ৫৮ : ২৬
= ২৯ : ১৩

প্রশ্ন: ১৫% চক্রবৃদ্ধি হার মুনাফায় ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ১৫% = ১৫/১০০
অর্থাৎ সময়, n = ২ বছর 
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ১০০০০ টাকা

আমরা জানি,  
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r)ⁿ 

চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০০(১ + ১৫/১০০)^২
= ১০০০০(১১৫/১০০)^২
= ১০০০০ × ১১৫/১০০ × ১১৫/১০০
= (১০০০০ × ১১৫ × ১১৫)/(১০০ × ১০০)
= ১৩২২৫ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১৩২২৫ - ১০০০০ টাকা
= ৩২২৫  টাকা

প্রশ্ন: ৪০% যৌগিক মুনাফায় ১০০০০ টাকা ১ বছরের জন্য বিনিয়ােগ করা হলাে। যদি যৌগিক মুনাফা ত্রৈমাসিক হিসেবে ধরা হয়, তাহলে বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে?
 
সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বার্ষিক মুনাফার হার = ৪০%
সুতরাং  ত্রৈমাসিক মুনাফার হার, r = (৪০/৪)% = ১০%

এখানে, যৌগিক মুনাফা ত্রৈমাসিক হিসেবে ধরা হয়েছে। 
অর্থাৎ বছরে মুনাফা বাড়বে, n = ৪ বার

প্রারম্ভিক মূলধন, P = ১০০০০ টাকা

আমরা জানি,
 চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r)ⁿ

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০০(১ + ১০%)^৪ টাকা
= ১০০০০(১ + ১০/১০০)^৪ টাকা
= ১০০০০(১১০/১০০)^৪ টাকা
= ১০০০০ × ১.১ × ১.১ × ১.১ × ১.১ টাকা
= ১৪৬৪১ টাকা

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৫০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
সুদের হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০ 

আমরা জানি
সরল মুনাফা,I = Pnr
= ৫০০ × ২ × ১/১০
= ১০০

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
   = ৫০০(১ + ১/১০)^২ 
   = ৫০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
   = ৬০৫ টাকা 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৬০৫ - ৫০০
= ১০৫ টাকা।

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (১০৫ - ১০০) টাকা
=৫ টাকা। 

প্রশ্ন: কোনো শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৪৮ লক্ষ। শহরটির জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ২৫ জন হলে, ২ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:

জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি সূত্র প্রযোজ্য।
এখানে,
শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৪৮০০০০০
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = ২৫/১০০০ = ১/৪০
সময়, n = ২ বছর
সুতরাং ২ বছর পর মোট জনসংখ্যা হবে,
C = ৪৮০০০০০(১ + ১/৪০)^২
= ৪৮০০০০০ × (৪১/৪০) × (৪১/৪০)
= ৩০০০ × ৪১× ৪১
= ৫০৪৩০০০ জন

প্রশ্ন: একই হার মুনাফায় কোনো মূলধনের দুই বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন 2420 টাকা এবং তিন বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন 2662 টাকা হলে মুনাফা হার কত? 

সমাধান: 

মনেকরি 
মুনাফার হার r 

প্রশ্নমতে 
P(1 + r/100)² = 2420 ..............(1)
P(1 + r/100)³ = 2662 ..............(2)

(2) ÷ (1) ⇒ 
(1 + r/100) = 2662/2420
 r/100 = (2662/2420) - 1 
r/100 = 242/2420
r/100 = 1/10
r = 100/10
r = 10 

সুদের হার 10%

প্রশ্ন: ৯.৫% হারে সরল মুনাফায় ৬০০ টাকার ২ বছরের মুনাফা-আসলে কত হবে?

সমাধান: 
মুনাফার হার, r = ৯.৫% = ৯.৫/১০০ = ৯৫/১০০০
আসল, p = ৬০০ টাকা 
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৬০০ × ২ × (৯৫/১০০০)
= ১১৪ টাকা 

মুনাফা-আসলে = (৬০০ + ১১৪) টাকা
= ৭১৪ টাকা

প্রশ্ন: ১৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 
১৬ : ৬৪ দ্বিভাজিত অনুপাত =√১৬ : √৬৪ = ৪ : ৮

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৫ দিন পরে ৩ জন চলে গেলে কাজটি শেষ করতে বাকি লোকের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
মনে করি ,
সম্পূর্ন কাজটি = ৮০ একক।

দেয়া আছে,
৮ জনের
২০ দিনে শেষ হয় = ৮০ একক।
∴ ৫ দিনে শেষ হয় = ৮০×৫/২০ একক।
= ২০ একক।

কাজ বাকি থাকে = ৮০ - ২০ একক
= ৬০ একক, যা (৮-৩) বা ৫ জন লোক শেষ করে। 

এখন,
৮ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮ দিনে
∴ ৫ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮/৫ দিনে
∴ ৫ জন লোক ১ একক কাজ করে = (২০×৮)/(৫×৮০) দিনে
∴ ৫ জন লোক ৬০ একক কাজ করে = (২০×৮×৬০)/(৫×৮০) দিনে
= ২৪ দিনে

উত্তর: ২৪ দিনে

প্রশ্নঃ ৩ : ৫, ৮ : ৭, ৭ : ৯ অনুপাত গুলোর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান : 
দেয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৩ : ৫, ৮ : ৭, ৭ : ৯

অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = ৩ × ৮ × ৭  = ১৬৮
অনুপাত তিনটির উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৫ × ৭ × ৯ = ৩১৫

নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ১৬৮ : ৩১৫
= ২৪ : ৪৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি লঘু অনুপাত?

সমাধান:
লঘু অনুপাত: পূর্ব রাশি উত্তর রাশির চেয়ে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন ২ : ৫ 

গুরু অনুপাত: পূর্ব রাশি উত্তর রাশির চেয়ে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন ৫ : ২